高中數(shù)學必修一第一章 1.5.1

1、1 / 11 15 全稱量詞與存在量詞全稱量詞與存在量詞 15.1 全稱量詞與存在量詞全稱量詞與存在量詞 學習目標 1.理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義.2.理解存在量詞、存在量詞命題的定義. 3.會判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會判斷它們的真假 知識點 全稱量詞和存在量詞 全稱量詞 存在量詞 量詞 所有的、任意一個 存在一個、至少有一個 符號 命題 含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題 含有存在量詞的命題是存在量詞命題 命題形式 “對 m 中任意一個 x，p(x)成立”，可用符號簡記為“xm，p(x)” “存在 m中的元素 x，p(x)成立”，可用符號簡記為“xm，p(x)” 1

2、“有些”“某個”“有的”等短語不是存在量詞( ) 2全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”( ) 3“三角形內(nèi)角和是 180 ”是全稱量詞命題( ) 一、全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析 例 1 (1)下列語句不是存在量詞命題的是 ( ) 2 / 11 a有的無理數(shù)的平方是有理數(shù) b有的無理數(shù)的平方不是有理數(shù) c對于任意 xz,2x1是奇數(shù) d存在 xr,2x1 是奇數(shù) 答案 c 解析 因為“有的”“存在”為存在量詞，“任意”為全稱量詞，所以選項 a，b，d 均為存在量詞命題，選項 c 為全稱量詞命題 (2)給出下列幾個命題： 至少有一個 x，使 x22x10 成立； 對任意的

3、 x，都有 x22x10 成立； 對任意的 x，都有 x22x10 不成立； 存在 x，使 x22x10 成立 其中是全稱量詞命題的個數(shù)為( ) a1 b2 c3 d0 答案 b 解析 因為“至少有一個”、“存在”是存在量詞，“任意的”為全稱量詞，所以為存在量詞命題，為全稱量詞命題，所以全稱量詞命題的個數(shù)為 2. 反思感悟 全稱量詞命題或存在量詞命題的判斷 注意：全稱量詞命題可以省略全稱量詞，存在量詞命題的存在量詞一般不能省略 跟蹤訓練 1 下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)為( ) 3 / 11 平行四邊形的對角線互相平分； 梯形有兩邊平行； 存在一個菱形，它的四條邊不相等 a0 b1 c2 d3

4、 答案 c 解析 是全稱量詞命題，是存在量詞命題 二、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷 例 2 判斷下列命題的真假 (1)xz，x30. 解 (1)因為1z，且(1)311， 所以“xz，x30”是假命題 反思感悟 全稱量詞命題和存在量詞命題真假的判斷 (1)要判斷一個全稱量詞命題為真，必須對于給定集合的每一個元素 x，命題 p(x)為真；但要判斷一個全稱量詞命題為假時，只要在給定的集合中找到一個元素 x，使命題 p(x)為假 (2)要判斷一個存在量詞命題為真，只要在給定的集合中找到一個元素 x，使命題 p(x)為真；要判斷一個存在量詞命題為假，必須對于給定集合的每一個元素 x，命題 p(

5、x)為假 跟蹤訓練 2 指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假 (1)xn,2x1 是奇數(shù)； 4 / 11 (2)存在一個 xr，使1x10. 解 (1)是全稱量詞命題，因為xn,2x1都是奇數(shù)，所以該命題是真命題 (2)是存在量詞命題因為不存在 xr，使1x10成立，所以該命題是假命題 三、由全稱量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù) 例 3 已知集合 ax|2x5，bx|m1x2m1，且 b. (1)若命題 p：“xb，xa”是真命題，求 m 的取值范圍； (2)命題 q：“xa，xb”是真命題，求 m的取值范圍 解 (1)由于命題 p：“xb，xa”是真命題， 所以 b

6、a，b， 所以 m12m1，m12，2m15， 解得 2m3. (2)q 為真，則 ab， 因為 b，所以 m2. 所以 m15，2m12，m2. 解得 2m4. 反思感悟 求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍的策略 對于全稱(存在)量詞命題為真的問題，實質(zhì)就是不等式恒成立(能成立)問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值(或最小值) 跟蹤訓練 3 若命題“對任意實數(shù) x,2xm(x21)”是真命題，求實數(shù) m的取值范圍 解 由題意知，不等式 2xm(x21)恒成立， 5 / 11 即不等式 mx22xm0恒成立 (1)當 m0 時，不等式可化為2x0，顯然不恒成立，不合題意 (2)當 m0 時，要使不等式 m

7、x22xm0 恒成立， 則 m0，44m20. 解得 m1. 綜上可知，所求實數(shù) m 的取值范圍是 m1. 1下列語句不是全稱量詞命題的是( ) a任何一個實數(shù)乘以零都等于零 b自然數(shù)都是正整數(shù) c高二(一)班絕大多數(shù)同學是團員 d每一個學生都充滿陽光 答案 c 解析 “高二(一)班絕大多數(shù)同學是團員”，即“高二(一)班有的同學不是團員”，是存在量詞命題 2下列命題中為全稱量詞命題的是( ) a有些實數(shù)沒有倒數(shù) b矩形都有外接圓 c存在一個實數(shù)與它的相反數(shù)的和為 0 d過直線外一點有一條直線和已知直線平行 答案 b 3下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是( ) 6 / 11 a每個二次函數(shù)

8、的圖象都開口向上 b存在一條直線與已知直線不平行 c對任意實數(shù) a，b，若 ab0，則 ab d存在一個實數(shù) x，使等式 x22x10成立 答案 c 解析 b，d 是存在量詞命題，故應排除；對于 a，二次函數(shù) yax2bxc(a3，xa 恒成立，則 a 的取值范圍是_ 答案 a3 解析 對于任意 x3，xa恒成立，即大于 3的數(shù)恒大于 a，所以 a3. 1知識清單： (1)全稱量詞命題、存在量詞命題的概念 (2)含量詞的命題的真假判斷 (3)通過含量詞的命題的真假求參數(shù) 2常見誤區(qū)：有些命題省略了量詞，全稱量詞命題強調(diào)“整體、全部”，存在量詞命題強調(diào)“個別、部分” 7 / 11 1下列命題是“

9、xr，x23”的另一種表述方式的是( ) a有一個 xr，使得 x23 b對有些 xr，使得 x23 c任選一個 xr，使得 x23 d至少有一個 xr，使得 x23 答案 c 2存在量詞命題“存在實數(shù) x，使 x210 bxr，x210 cxr，x212 答案 b 4給出下列三個命題： 對任意的 xr，x20； 8 / 11 存在 xr，使得 x2x成立； 對于集合 a，b，若 xab，則 xa且 xb. 其中真命題的個數(shù)是( ) a0 b1 c2 d3 答案 c 解析 對于，存在 x0，使得 x20，故是假命題；顯然是真命題 5下列說法正確的是( ) a對所有的正實數(shù) t，有 tt b存在

10、實數(shù) x，使 x23x40 c不存在實數(shù) x，使 x4 答案 b 解析 t14時， tt，所以 a 選項錯；由 x23x40，得 x1 或 x4，因此當 x1或 x4 時，x23x40，故 b 選項正確；由 x25x240，得 x8 或 x3，所以 c選項錯；x0時，不成立，所以 d 選項錯 6下列存在量詞命題中真命題有_ 有的實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)； 有些三角形不是等腰三角形； 有的菱形是正方形 答案 7命題“有些負數(shù)滿足不等式(1x)(19x)20”用“”寫成存在量詞命題為_ 答案 x0 解析 存在量詞命題“存在 m 中的元素 x，使 p(x)成立”可用符號簡記為“xm，p(x)” 9 /

11、11 8下列命題中，是全稱量詞命題的有_(填序號) 有的實數(shù)是整數(shù)； 三角形是多邊形； 矩形的對角線互相垂直； xr，x220； 有些素數(shù)是奇數(shù) 答案 9判斷下列命題的真假 (1)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)來表示； (2)存在一個實數(shù) x，使得等式 x2x80 成立 解 (1)假命題，如邊長為 1 的正方形，其對角線的長度為 2， 2 就不能用正有理數(shù)表示 (2)假命題，方程 x2x80的判別式 310. a1 b2 c3 d0 答案 b 12已知命題 p：xr，x22xa0.若 p為真命題，則實數(shù) a的取值范圍是( ) aa1 ba0對 xr 恒成立，所以必有 44a0，解得 a1. 1

12、3若存在 xr，使 ax22xa0，則實數(shù) a的取值范圍為_ 答案 a|a1 解析 當 a0 時，顯然存在 xr，使 ax22xa0時，需滿足 44a20，得1a1， 故 0a1. 綜上所述，實數(shù) a的取值范圍是 a1. 14若任意 xr，函數(shù) ymx2xma 的圖象和 x 軸恒有公共點，求實數(shù) a 的取值范圍 解 (1)當 m0 時，yxa與 x軸恒相交，所以 ar. (2)當 m0 時，二次函數(shù) ymx2xma 的圖象和 x 軸恒有公共點的充要條件是 14m(ma)0 恒成立， 即 4m24am10恒成立 又 4m24am10是一個關于 m 的二次不等式， 恒成立的充要條件是 (4a)2160， 解得1a1. 綜上所述，當 m0時，ar； 當 m0 時，1a1. 11 / 11 15已知 ax|1x2，命題“xa，x2a0”是真命題的一個充分不必要條件是( ) aa4 ba4 ca5 da5 答案 c 解析 當該命題是真命題時，只需 a(x2)max，xax|1x2又 yx2在 1x2上的