2020初中數(shù)學(xué)壓軸題型之一：三條弦之間的數(shù)量關(guān)系(適合各版本)

1、證明三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，是初二及初三數(shù)學(xué)的考試熱點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)中 的重難點(diǎn)。有些同學(xué)在學(xué)習(xí)該版塊時(shí)，苦于找不到線段之間的數(shù)量關(guān)系，導(dǎo)致對(duì) 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心大減。下面，用幾種方法從三個(gè)方面分析，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系究竟怎么解答！例題、(1)已知，如圖,在ABC 中，BAC=90°,AB=AC,直線 m 經(jīng) 過(guò)點(diǎn) A,BD 直線 m,CE直線 m,垂足分別為點(diǎn) D,E, 求證：DE=BD+CE;(2)如圖,將(1)中的條件改為在ABC 中，AB=AC,D,A,E 三點(diǎn)都 在直線 m 上， 并且有BDA=AEC=BAC=,其中 為任意鈍角， 請(qǐng)問(wèn)結(jié)論 DE=BD+CE 是否 成立？若成立

2、，請(qǐng)你給出證明：若不成立， 請(qǐng)說(shuō)明理由.證明：(1)因?yàn)?BD直線 m,CE直線 m, 所以BDA=CEA=90°,因?yàn)锽AC=90°,所以BAD+CAE=90°,因?yàn)锽AD+ABD=90°,所以CAE=ABD,因?yàn)樵贏DB 和CEA 中：ABD=CAE，BDA=CEA，AB=AC所以ADBCEA(AAS), 所以 AE=BD,AD=CE, 所以 DE=AE+AD=BD+CE.(2)成立.理由如下：因?yàn)锽DA=BAC=,所以DBA+BAD=BAD+CAE=180°-,所以CAE=ABD,因?yàn)樵贏DB 和CEA 中，ABD=CAE，BDA=CEA

3、，AB=AC所以ADBCEA(AAS), 所以 AE=BD,AD=CE,所以 DE=AE+AD=BD+CE.方法二、等面積法例題、已知在ABC 中，AB=AC，D 是 BC 邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) D 分別向 AB，AC 引垂線，垂足分別為 E，F(xiàn)（1） 如圖 1，當(dāng)點(diǎn) D 在邊 BC 的什么位置時(shí)，DE=DF？并給出證明；（2） 如圖 2，過(guò)點(diǎn) C 作 AB 邊上的高 CG，垂足為 G，試猜想線段 DE，DF，CG 的 長(zhǎng)度之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn) D 在 BC 的中點(diǎn)上時(shí)，DE=DF， 證明：D 為 BC 中點(diǎn)，BD=CD，AB=AC，B=C，DEAB，DFAC

4、，DEB=DFC=90°，在BED 和CFD 中，B=C，DEB=DFC，BD=CD，BEDCFD（AAS），DE=DF（2）CG=DE+DF證明：連接 AD，S 三角形 ABC=S 三角形 ADB+S 三角形 ADC， 0.5AB×CG=0.5AB×DE+0.5AC×DF，AB=AC，CG=DE+DF方法三、截長(zhǎng)補(bǔ)短法：構(gòu)造全等三角形例、已知ABC 和DEF 為等腰三角形，AB=AC，DE=DF，BAC=EDF，點(diǎn) E 在 AB 上，點(diǎn) F 在射線 AC 上。(1) 如圖 1，若BAC=60°，點(diǎn) F 與點(diǎn) C 重合，求證：AF=AE+AD；

5、(2) 如圖 2，若 AD=AB，求證：AF=AE+BC。(提示：在 FA 上截取 FM=AE，連接 DM)證明：(1)BAC=EDF=60°，ABC、DEF 為等邊三角形，BCE+ACE=DCA+ECA=60°，在BCE 和ACD 中 BC=AC，BCE=ACD，CE=CD BCEACE(SAS)，AD=BE，AE+A=AE+BE=AB=AF：(2)在 FA 上截取 FM=AE，連接 DM，BAC=EDF，AED=MFD，在AED 和MFD 中 AE=MF，AED=MFD，ED=DF， AEDMFD(SAS)，DA=DM=AB=AC，ADE=MDF，ADE+EDM=MDF+EDM，即ADM=EDF=BAC，在ABC 和DAM 中，AB=DA，BAC=ADM，AC=DM，ABCDAM(SAS)，AM=BC，AE+BC=FM+AM=AF即 AF=AE+BC鞏固練習(xí)如圖 1，在ABC 中，ACB 是直角，B60°，AD、CE 分別是BAC、BCA 的平分線，AD、CE 相交于點(diǎn) F。(1) 直接寫出AFC 的度數(shù)(2) 請(qǐng)你判斷并