高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)1.3.2.2正弦、余弦的圖象與性質(zhì)學(xué)案蘇教版必修4-蘇教版高中必修

1、第 2 課時正弦、余弦的圖象與性質(zhì)1 掌握ysin x，ycos x的最大值與最小值， 并會求簡單三角函數(shù)的值域和最值( 重點、難點 ) 2掌握y sin x，ycos x的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性比較大小( 重點 ) 3會求函數(shù)yasin(x) 及yacos(x) 的單調(diào)區(qū)間( 重點、易錯點 ) 基礎(chǔ)初探 教材整理正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)閱讀教材 p28p29的全部內(nèi)容，完成下列問題. 函數(shù)正弦函數(shù)ysin x，xr余弦函數(shù)ycos x，xr圖象定義域rr值域 1,1 1,1 最值當(dāng)x2k2(kz) 時，取得最大值1；當(dāng)x2k2(kz) 時，取得最小值1 當(dāng)x 2k(kz)時，取得最大值

2、1；當(dāng)x 2k(kz) 時，取得最小值1 周期性周期函數(shù)，t2周期函數(shù)，t2奇偶性奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱單調(diào)性在 2k2， 2k2(kz) 上是增函數(shù)；在 2k2，2k32(kz) 上是減函數(shù)在 2k， 2k(kz)上是增函數(shù)；在 2k， (2k1)(k z) 上是減函數(shù)對稱性關(guān)于xk2(kz) 成軸對稱，關(guān)于(k， 0)(nz) 成中心對稱關(guān)于xk(kz) 成軸對稱，關(guān)于k2，0(kz) 成中心對稱判斷 (正確的打“”，錯誤的打“”)(1)ysinx2是奇函數(shù) ( ) (2)ycos x是周期為 的偶函數(shù) ( ) (3)ysin x在 2，2上單調(diào)遞減( ) (4)

3、ycos x的值域為 ( 1,1) ( ) 【解析】(1) . ysinx2cos x，是偶函數(shù)(2) .ycos x的周期為2.(3) .ysin x在 2，2上單調(diào)遞增(4) .ycos x的值域為 1,1 【答案】(1) (2) (3) (4) 質(zhì)疑手記 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問 1：解惑：疑問 2：解惑：疑問 3：解惑： 小組合作型 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：(1)ycos 2x；(2)y2sin4x. 【導(dǎo)學(xué)號： 06460024】【精彩點撥】(1) 借助y cos x的單調(diào)性求解；(2) 解答本題要先用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正

4、數(shù)，再確定所求的單調(diào)區(qū)間后求解【自主解答】(1) 令z 2x，由ycos z的單調(diào)遞增區(qū)間為 2k， 2k ，kz 可知 2k2x2k，kz，2kxk，kz，單調(diào)遞增區(qū)間為2k，k ，kz. (2)y2sin4x 2sinx4，令zx4，則y 2sin z. 因為z是x的一次函數(shù)，所以要取y 2sin z的遞增區(qū)間，即取sin z的遞減區(qū)間，即 2k2z2k32(k z) ，2k2x42k32(kz) ，2k34x2k74(kz)，函數(shù)y2sin4x的遞增區(qū)間為2k34，2k74(kz) 求函數(shù)yasinxa0，0的單調(diào)區(qū)間的一般步驟：1當(dāng)0 時，把“x”看成一個整體，由2k2x2k2kz解出

5、x的范圍，即為函數(shù)遞增區(qū)間；由2k2x2k32kz解出x的范圍，即為函數(shù)遞減區(qū)間. 2當(dāng)0，0的單調(diào)性討論同上. 再練一題 1. 求函數(shù)y2sin2x6，x， 0 的單調(diào)減區(qū)間【解】當(dāng) 2k22x62k32時，函數(shù)單調(diào)遞減，解得：k6xk23. x ， 0 ，取k 1，此時6x23，即56x3. 故函數(shù)y2sin2x6，x ， 0 的單調(diào)減區(qū)間為56，3. 比較三角函數(shù)值的大小用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小(1)sin18與 sin10；(2)sin 196與cos 156 ；(3)cos235 與 cos 174 . 【精彩點撥】先把異名函數(shù)同名化，再把異單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角化為同一單調(diào)

6、區(qū)間內(nèi)，最后借助單調(diào)性比較大小【自主解答】(1) 210182，又函數(shù)ysin x在 2，2上是增函數(shù)，sin18sin10. (2)sin 196sin(180 16) sin 16 ，cos 156 cos(18024) cos 24 sin 66 ，0166690，sin 16 sin 66 ；從而 sin 16 sin 66 ，即 sin 196 cos 156 .(3)cos235 cos 235cos 435 cos35，cos 174 cos 174cos 44 cos4. 0435，且ycos x在0 ， 上是減函數(shù)，cos 35 cos 4，即 cos 235 cos 174

7、 . 比較三角函數(shù)值的大小時，若函數(shù)名不同， 一般應(yīng)先化為同名三角函數(shù)，再運用誘導(dǎo)公式把它們化到同一單調(diào)區(qū)間上，以便運用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較. 注意，有些時候，可以先用式子的符號進(jìn)行分類比較大小. 再練一題 2比較下列各組數(shù)值的大?。?1)sin 2與 cos 1 ；(2)sinsin 38與 sincos 38. 【解】(1) 因為 cos 1 sin21 ，sin 2 sin( 2) ，又 021 22且ysin x在 0，2上是遞增的，從而 sin21 sin( 2) ，即 cos 1sin 2. (2) cos 38sin 8，0sin 8sin 381，即 0cos 38sin 38

8、12，又y sin x在 0，2上是增函數(shù)，sincos 38sinsin 38. 探究共研型 與三角函數(shù)有關(guān)的值域問題探究 1 如何求函數(shù)ysin x，x 3，6上的值域？【提示】借助函數(shù)ysin x在 3，6上的單調(diào)性求解因為x 3，6時，ysin x是單調(diào)遞增函數(shù)，所以 sin3sin xsin6，即32sin x12，其值域為32，12. 探究 2 如何求形如yasin xb(a，b0)的值域？【提示】令tsin x，則t 1,1 ，從而轉(zhuǎn)化為yatb，t 1,1 型的值域問題探究 3 如何求形如yasin2xbsin xc的值域？【提示】令 sin xt，t 1,1 ，從而yat2b

9、tc，t 1,1 ，即轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間的二次函數(shù)值域問題(1) 求函數(shù)y2sin2x36x6的最大值和最小值；(2) 求函數(shù)y 2cos2x2sin x3，x6，56的值域【精彩點撥】(1) 由x的范圍 ? 2x3的范圍 ? 借助單調(diào)性求y 2sin2x3的最值；(2) 由x的范圍 ? sin x的范圍 ? 函數(shù)的值域【自主解答】(1) 6x6，02x323，0sin2x31，當(dāng) sin2x31 時，取得最大值2；當(dāng) sin2x30 時，取得最小值0. (2)y 2(1 sin2x) 2sin x3 2sin2x2sin x 1 2 sin x12212. x6，56，12sin x1.當(dāng) si

10、n x1 時，取得最大值5；當(dāng) sin x12時，取得最小值52. 函數(shù)y 2cos2x 2sin x3 的值域為52，5. 1求形如yasin xb或yacos xb型的三角函數(shù)的最值問題，一般運用三角函數(shù)的有界性求最值 求最值時要注意三角函數(shù)的定義域，尤其要注意題目中是否給定了區(qū)間2求解形如yasin2xbsin xc( 或yacos2xbcos xc) ，xd的函數(shù)的值域或最值時，通過換元，令tsin x( 或 cos x) ，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可求解過程中要注意tsin x( 或 cos x) 的有界性 再練一題 3(2016南通高一檢測) 已知函

11、數(shù)f(x) 2asin2x3b的定義域為0，2，函數(shù)的最大值為1，最小值為5，求a和b的值【解】0 x2，32x323，32sin2x31.若a0，則2ab1，3ab 5，解得a12 63，b 23123.若a0，則2ab 5，3ab1，解得a 1263，b19 123.綜上知a1263，b 23123或a 12 63，b19123. 構(gòu)建體系 1函數(shù)y2sin 2x的奇偶性為 _【解析】2sin( 2x) 2sin 2x，函數(shù)y2sin 2x為奇函數(shù)【答案】奇函數(shù)2函數(shù)f(x) sinx4的圖象的一條對稱軸是_( 任寫一條 ) 【解析】令x4k2，xk34(kz) 【答案】x4或x34等3將

12、 cos 150 ，sin 470 ，cos 760 按從小到大排列為_. 【導(dǎo)學(xué)號： 06460025】【解析】cos 150 0，sin 470 sin 110 cos 20 0，cos 760 cos 40 0 且 cos 20cos 40 ，所以cos 150 cos 760 sin 470.【答案】cos 150 cos 760 sin 470 4函數(shù)f(x) sin2x4在區(qū)間0，2上的最小值是_【解析】0 x2，02x，42x434，22sin2x41，f(x) 取最小值22. 【答案】225求函數(shù)ysin2x4的單調(diào)區(qū)間【解】ysin2x4 sin2x4. 因為 2x4是關(guān)于x

13、的增函數(shù)，所以只需要考慮y sin2x4關(guān)于 2x4的單調(diào)性即可當(dāng) 2k22x42k2(kz) 時，ysin2x4為增函數(shù)，ysin2x4為減函數(shù)，解得k8xk38(kz) ，即函數(shù)ysin2x4的單調(diào)減區(qū)間為k8，k38(kz) ；同理，令 2k22x42k32(kz) ，求得函數(shù)ysin 2x4的單調(diào)增區(qū)間為k38，k78(kz) 我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學(xué)業(yè)分層測評 ( 九) 正弦、余弦的圖象與性質(zhì)( 建議用時： 45 分鐘 ) 學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo) 一、填空題1函數(shù)y 2cos x1 的最大值是 _，最小值是 _【解析】 cos x 1,1 ，y2cos

14、x1 3,1 最大值為1，最小值為 3. 【答案】1 3 2函數(shù)y cos x在區(qū)間 ，a 上為增函數(shù)，則a的取值范圍是 _【解析】ycos x在 ， 0 上為增函數(shù)，在0 ， 上為減函數(shù)，所以a( ，0 【答案】( ， 0 3函數(shù)f(x) 7sin23x152是_( 填“奇函數(shù)”或“偶函數(shù)”) 【解析】f(x) 7sin23x1527sin23x32 7cos 23x，f(x) 是偶函數(shù)【答案】偶函數(shù)4ysin x的定義域為 _，單調(diào)遞增區(qū)間為_【解析】 sin x0， 2kx 2k，kz. 當(dāng)x0 ， 時，ysin x在 0，2上單調(diào)遞增，其遞增區(qū)間為2k， 2k2，k z. 【答案】2k

15、， 2k ，kz2k， 2k2，kz5已知函數(shù)f(x) sin(2x) 的圖象關(guān)于直線x8對稱，則_. 【解析】由題意，當(dāng)x8時，f(x) sin281，故4k2(kz) ，解得k4(kz) 【答案】k4(kz) 6已知函數(shù)f(x) sinx2(xr) ，下面結(jié)論錯誤的是_( 只填序號 ) 【導(dǎo)學(xué)號： 06460026】函數(shù)f(x) 的最小正周期為2；函數(shù)f(x) 在區(qū)間0，2上是增函數(shù)； 函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x0 對稱；函數(shù)f(x) 是奇函數(shù)【解析】ysinx2 cos x，t2，即正確ycos x在 0，2上是減函數(shù)，則y cos x在 0，2上是增函數(shù)，即正確由圖象知y cos x

16、的圖象關(guān)于x 0對稱，即正確y cos x為偶函數(shù)，即不正確【答案】7(2016南京高一檢測) 若函數(shù)f(x) sin x(0) 在區(qū)間0，3上單調(diào)遞增，在區(qū)間3，2上單調(diào)遞減，則_. 【解析】因為當(dāng) 0 x2時，函數(shù)f(x) 是增函數(shù)，當(dāng)2x 時，函數(shù)f(x) 為減函數(shù)，即當(dāng) 0 x2時，函數(shù)f(x) 為增函數(shù)，當(dāng)2x時，函數(shù)f(x) 為減函數(shù)，所以23，所以32. 【答案】328(2016連云港高一檢測) 函數(shù)ycos2x4cos x 5的值域為 _【解析】令tcos x，由于xr，故 1t1.yt24t 5(t 2)21，當(dāng)t 1 時，即 cos x 1 時函數(shù)有最大值10；當(dāng)t1，即

17、cos x1 時函數(shù)有最小值2. 所以該函數(shù)的值域是2,10【答案】2,10 二、解答題9比較下列各組三角函數(shù)值的大?。?1)sin 250與sin 260 ； (2)cos158與 cos149；(3)sin 11，cos 10 ，sin 168 .【解】(1) 函數(shù)ysin x在2，32上單調(diào)遞減， 且 90250260270，sin 250 sin 260 .(2)cos158 cos 28cos 8，cos 149cos 249cos49. 函數(shù)ycos x在0 ， 上單調(diào)遞減，且 0849， cos8cos 49，cos158cos 149. (3)sin 168sin(180 12

18、) sin 12 ，cos 10 sin(90 10) sin 80 .又因為ysin x在x 0，2上是增函數(shù)，所以 sin 11 sin 12 sin 80 ，即 sin 11 sin 168 cos 10 .10(2016蘇州高一檢測) 已知函數(shù)f(x) 2cos3x4. (1) 求f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間(2) 求f(x) 的最小值及取得最小值時相應(yīng)的x值【解】(1) 令 2k3x42k(kz) ，解得2k3512x2k312(kz) ，f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為2k3512，2k312(kz) (2) 當(dāng) 3x42k(kz) 時，f(x) 取最小值 2. 即x2k3512(kz) 時，f(x) 取最小值 2. 能力提升 1若f(x) 2sin x(01) 在區(qū)間0，3上的最大值是2，則_. 【解析】由題意知0 x3時，0 x33，f(x) 取最大值2sin32時， sin322，34，34. 【答案】342若函數(shù)f(x)sinx3(0,2 ) 是偶函數(shù)，則_. 【解析