數(shù)形結(jié)合-一種重要數(shù)學(xué)思維模式的實踐與認識

1、    數(shù)形結(jié)合:一種重要數(shù)學(xué)思維模式的實踐與認識    付夢琳+劉海峰+周慶樺摘 要：數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要思維方式。本文通過3個題例分析，從數(shù)形結(jié)合角度探索解題途徑，對數(shù)形結(jié)合模式在解題中的方便之處進行梳理和總結(jié)，從學(xué)習(xí)角度對這一經(jīng)典的數(shù)學(xué)思維方法的理解與把握方面談?wù)勛约涸趯W(xué)習(xí)中的體會，以期與同學(xué)們共同提高數(shù)學(xué)思維能力。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；解題；化繁為簡一、引言 數(shù)學(xué)大師華羅庚曾精彩地詮釋：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！倍鞲袼挂苍f過：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系?！睌?shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思

2、維方法，利用這種手段解題常常達到事半功倍的效果。“數(shù)”反映數(shù)量關(guān)系，有精確性；“形”反映圖形性質(zhì)，有直觀性。數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的幾何圖形結(jié)合起來，讓代數(shù)運算法與直觀圖像法優(yōu)勢互補，抽象思維和形象思維共同運作，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題化繁為簡，找到解決問題的最佳方案。二、數(shù)形結(jié)合的途徑 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們總能發(fā)現(xiàn)“數(shù)”和“形”是分不開的。化形為數(shù)的橋梁是解析幾何，涉及到代數(shù)運算的方程組求解、變量代換、不等式的構(gòu)造與求解等方面，特別是在求異面直線構(gòu)成的角、線面角、面與面構(gòu)成的角以及判斷點線面的位置關(guān)系等問題中，向量的代數(shù)運算起著至關(guān)重要的作用。化數(shù)為形的例子也不勝枚舉，如解決函數(shù)問題時，畫

3、出大致圖像對解題有很大的幫助；判斷函數(shù)單調(diào)性、確定函數(shù)零點、尋找函數(shù)最值等方面化數(shù)為形的途徑常常為解決問題提供直觀印象及解題途徑啟示?？傊?數(shù)形結(jié)合以數(shù)解形，以形助數(shù)，化繁為簡，化難為易是一種重要的數(shù)學(xué)思維模式。三、數(shù)形結(jié)合實例及思路分析 本文通過幾個數(shù)形結(jié)合的題例分析，探討其在數(shù)學(xué)問題處理上的一般思路、解題技巧及方法總結(jié)，以期與同學(xué)一起培養(yǎng)借助這種數(shù)學(xué)模式處理具體問題的數(shù)學(xué)思維能力。分析下面題例：例1：已知橢圓c:+=1,在c上任取三個不同的點p1，p2，p3，使得p1fp2=p1fp3=p2fp3，證明+為定值，并求出該值。分析：與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程+=1對比，此處a=6，b=3，c=3，準(zhǔn)線x

4、=12，a=1/2。設(shè)afp1=?圯afp2=+2x/3afp3=+4x/3（按逆時針方向），記|fp1|=x1，則|fm1|=x1cos，點p1到準(zhǔn)線距離為2x1，由fd=fm+md=x1cos+2x1=-c=9，故有x1=?圯=，同理=，=,因此+=.點評：條件p1fp2=p1fp3=p2fp3為我們表示fp1,fp2,fp3提供了便利，也暗示了我們本題可能需要尋求幾何方法而非僅憑代數(shù)手段硬算。盡管解析幾何題一般思路是聯(lián)立方程組求解，但根據(jù)圓錐曲線橢圓的定義和幾何性質(zhì)解題，往往是簡化解題過程的最佳手段。這題若是用點斜式設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達定理和弦長公式解出線段fp1長度，類似

5、解出fp2,fp3長度，同樣可得到結(jié)果，但運算量過大，非最佳策略。例2：如果三個正實數(shù)x，y，z滿足x2+y2+xy=，x2+z2+xz=，y2+z2+yz=36，求xy+yz+zx的值。解：將三個等式變形為x2+y2-2xycos120°=()2，x2+z2-2xzcos120°=()2，y2+z2-2yzcos120°=62，如圖，構(gòu)造pbc、pca、pab，使pb=x，pa=y，pc=z.bpc=cpa=apb=120。ab=13/2,bc=5/2,ac=6.由勾股定理,abc是一個直角三角形.由sabc=spbc+spac=spab易得：（xy+yz+zx

6、）sin120°=，從而得xy+yz+zx=10.點評：從原題條件出發(fā)，根據(jù)題設(shè)表達式構(gòu)造基本幾何圖形是解答此題的關(guān)鍵。觀察題目給的三個條件，很容易聯(lián)想到余弦定理；三個數(shù)據(jù)也與勾股數(shù)相關(guān)，這些都提示我們將這個問題放到三角形中研究。這樣問題就顯得清晰、簡單、直觀。例3：已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0),且f(x)=x沒有實數(shù)根。問：f(f(x)=x是否有實數(shù)根？并證明你的結(jié)論。解法一：分析法 假設(shè)f(f(x)=x有實根，即存在實數(shù)x0使得f(f(x0)=x0，令f(x0)=t，此時有點a(x0,t),b(t,x0)都是y=f(x)上的點。由于f(x)=x沒有實數(shù)根，所以a，b

7、這兩點不重合且關(guān)于直線y=x對稱。所以y=f(x)=ax2+bx+c與y=x必有交點，即f(x)=x有實根，與條件矛盾，所以f(f(x)=x沒有實數(shù)根。解法二：數(shù)形結(jié)合圖像法當(dāng)a>0時，f(x)=x無實根，?坌x,f(x)>x,f(f(x)>f(x)>x對，f(f(x)=x無實數(shù)根；當(dāng)a<0時，同理可證f(f(x)<f(x)< p>點評：本題一題多解，通過比較，我們發(fā)現(xiàn)方法一簡潔嚴謹，方法二最直觀易懂。</f(x)摘 要：數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要思維方式。本文通過3個題例分析，從數(shù)形結(jié)合角度探索解題途徑，對數(shù)形結(jié)合模式在解題中的方便之處

8、進行梳理和總結(jié)，從學(xué)習(xí)角度對這一經(jīng)典的數(shù)學(xué)思維方法的理解與把握方面談?wù)勛约涸趯W(xué)習(xí)中的體會，以期與同學(xué)們共同提高數(shù)學(xué)思維能力。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；解題；化繁為簡一、引言 數(shù)學(xué)大師華羅庚曾精彩地詮釋：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！倍鞲袼挂苍f過：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系?！睌?shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，利用這種手段解題常常達到事半功倍的效果。“數(shù)”反映數(shù)量關(guān)系，有精確性；“形”反映圖形性質(zhì)，有直觀性。數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的幾何圖形結(jié)合起來，讓代數(shù)運算法與直觀圖像法優(yōu)勢互補，抽象思維和形象思維共同運作，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題化繁為簡

9、，找到解決問題的最佳方案。二、數(shù)形結(jié)合的途徑 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們總能發(fā)現(xiàn)“數(shù)”和“形”是分不開的?；螢閿?shù)的橋梁是解析幾何，涉及到代數(shù)運算的方程組求解、變量代換、不等式的構(gòu)造與求解等方面，特別是在求異面直線構(gòu)成的角、線面角、面與面構(gòu)成的角以及判斷點線面的位置關(guān)系等問題中，向量的代數(shù)運算起著至關(guān)重要的作用?；瘮?shù)為形的例子也不勝枚舉，如解決函數(shù)問題時，畫出大致圖像對解題有很大的幫助；判斷函數(shù)單調(diào)性、確定函數(shù)零點、尋找函數(shù)最值等方面化數(shù)為形的途徑常常為解決問題提供直觀印象及解題途徑啟示?？傊?數(shù)形結(jié)合以數(shù)解形，以形助數(shù)，化繁為簡，化難為易是一種重要的數(shù)學(xué)思維模式。三、數(shù)形結(jié)合實例及思路分析 本文通過

10、幾個數(shù)形結(jié)合的題例分析，探討其在數(shù)學(xué)問題處理上的一般思路、解題技巧及方法總結(jié)，以期與同學(xué)一起培養(yǎng)借助這種數(shù)學(xué)模式處理具體問題的數(shù)學(xué)思維能力。分析下面題例：例1：已知橢圓c:+=1,在c上任取三個不同的點p1，p2，p3，使得p1fp2=p1fp3=p2fp3，證明+為定值，并求出該值。分析：與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程+=1對比，此處a=6，b=3，c=3，準(zhǔn)線x=12，a=1/2。設(shè)afp1=?圯afp2=+2x/3afp3=+4x/3（按逆時針方向），記|fp1|=x1，則|fm1|=x1cos，點p1到準(zhǔn)線距離為2x1，由fd=fm+md=x1cos+2x1=-c=9，故有x1=?圯=，同理=，=,因

11、此+=.點評：條件p1fp2=p1fp3=p2fp3為我們表示fp1,fp2,fp3提供了便利，也暗示了我們本題可能需要尋求幾何方法而非僅憑代數(shù)手段硬算。盡管解析幾何題一般思路是聯(lián)立方程組求解，但根據(jù)圓錐曲線橢圓的定義和幾何性質(zhì)解題，往往是簡化解題過程的最佳手段。這題若是用點斜式設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達定理和弦長公式解出線段fp1長度，類似解出fp2,fp3長度，同樣可得到結(jié)果，但運算量過大，非最佳策略。例2：如果三個正實數(shù)x，y，z滿足x2+y2+xy=，x2+z2+xz=，y2+z2+yz=36，求xy+yz+zx的值。解：將三個等式變形為x2+y2-2xycos120°

12、;=()2，x2+z2-2xzcos120°=()2，y2+z2-2yzcos120°=62，如圖，構(gòu)造pbc、pca、pab，使pb=x，pa=y，pc=z.bpc=cpa=apb=120。ab=13/2,bc=5/2,ac=6.由勾股定理,abc是一個直角三角形.由sabc=spbc+spac=spab易得：（xy+yz+zx）sin120°=，從而得xy+yz+zx=10.點評：從原題條件出發(fā)，根據(jù)題設(shè)表達式構(gòu)造基本幾何圖形是解答此題的關(guān)鍵。觀察題目給的三個條件，很容易聯(lián)想到余弦定理；三個數(shù)據(jù)也與勾股數(shù)相關(guān)，這些都提示我們將這個問題放到三角形中研究。這樣問題

13、就顯得清晰、簡單、直觀。例3：已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0),且f(x)=x沒有實數(shù)根。問：f(f(x)=x是否有實數(shù)根？并證明你的結(jié)論。解法一：分析法 假設(shè)f(f(x)=x有實根，即存在實數(shù)x0使得f(f(x0)=x0，令f(x0)=t，此時有點a(x0,t),b(t,x0)都是y=f(x)上的點。由于f(x)=x沒有實數(shù)根，所以a，b這兩點不重合且關(guān)于直線y=x對稱。所以y=f(x)=ax2+bx+c與y=x必有交點，即f(x)=x有實根，與條件矛盾，所以f(f(x)=x沒有實數(shù)根。解法二：數(shù)形結(jié)合圖像法當(dāng)a>0時，f(x)=x無實根，?坌x,f(x)>x,f(f(

14、x)>f(x)>x對，f(f(x)=x無實數(shù)根；當(dāng)a<0時，同理可證f(f(x)<f(x)< p>點評：本題一題多解，通過比較，我們發(fā)現(xiàn)方法一簡潔嚴謹，方法二最直觀易懂。</f(x)摘 要：數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要思維方式。本文通過3個題例分析，從數(shù)形結(jié)合角度探索解題途徑，對數(shù)形結(jié)合模式在解題中的方便之處進行梳理和總結(jié)，從學(xué)習(xí)角度對這一經(jīng)典的數(shù)學(xué)思維方法的理解與把握方面談?wù)勛约涸趯W(xué)習(xí)中的體會，以期與同學(xué)們共同提高數(shù)學(xué)思維能力。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；解題；化繁為簡一、引言 數(shù)學(xué)大師華羅庚曾精彩地詮釋：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂

15、分家萬事休?！倍鞲袼挂苍f過：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。”數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，利用這種手段解題常常達到事半功倍的效果?！皵?shù)”反映數(shù)量關(guān)系，有精確性；“形”反映圖形性質(zhì)，有直觀性。數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的幾何圖形結(jié)合起來，讓代數(shù)運算法與直觀圖像法優(yōu)勢互補，抽象思維和形象思維共同運作，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題化繁為簡，找到解決問題的最佳方案。二、數(shù)形結(jié)合的途徑 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們總能發(fā)現(xiàn)“數(shù)”和“形”是分不開的?；螢閿?shù)的橋梁是解析幾何，涉及到代數(shù)運算的方程組求解、變量代換、不等式的構(gòu)造與求解等方面，特別是在求異面直線構(gòu)成的角、線面角、面與面構(gòu)成的角以及判斷點

16、線面的位置關(guān)系等問題中，向量的代數(shù)運算起著至關(guān)重要的作用?；瘮?shù)為形的例子也不勝枚舉，如解決函數(shù)問題時，畫出大致圖像對解題有很大的幫助；判斷函數(shù)單調(diào)性、確定函數(shù)零點、尋找函數(shù)最值等方面化數(shù)為形的途徑常常為解決問題提供直觀印象及解題途徑啟示。總之,數(shù)形結(jié)合以數(shù)解形，以形助數(shù)，化繁為簡，化難為易是一種重要的數(shù)學(xué)思維模式。三、數(shù)形結(jié)合實例及思路分析 本文通過幾個數(shù)形結(jié)合的題例分析，探討其在數(shù)學(xué)問題處理上的一般思路、解題技巧及方法總結(jié)，以期與同學(xué)一起培養(yǎng)借助這種數(shù)學(xué)模式處理具體問題的數(shù)學(xué)思維能力。分析下面題例：例1：已知橢圓c:+=1,在c上任取三個不同的點p1，p2，p3，使得p1fp2=p1fp3=

17、p2fp3，證明+為定值，并求出該值。分析：與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程+=1對比，此處a=6，b=3，c=3，準(zhǔn)線x=12，a=1/2。設(shè)afp1=?圯afp2=+2x/3afp3=+4x/3（按逆時針方向），記|fp1|=x1，則|fm1|=x1cos，點p1到準(zhǔn)線距離為2x1，由fd=fm+md=x1cos+2x1=-c=9，故有x1=?圯=，同理=，=,因此+=.點評：條件p1fp2=p1fp3=p2fp3為我們表示fp1,fp2,fp3提供了便利，也暗示了我們本題可能需要尋求幾何方法而非僅憑代數(shù)手段硬算。盡管解析幾何題一般思路是聯(lián)立方程組求解，但根據(jù)圓錐曲線橢圓的定義和幾何性質(zhì)解題，往往是簡化解題

18、過程的最佳手段。這題若是用點斜式設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達定理和弦長公式解出線段fp1長度，類似解出fp2,fp3長度，同樣可得到結(jié)果，但運算量過大，非最佳策略。例2：如果三個正實數(shù)x，y，z滿足x2+y2+xy=，x2+z2+xz=，y2+z2+yz=36，求xy+yz+zx的值。解：將三個等式變形為x2+y2-2xycos120°=()2，x2+z2-2xzcos120°=()2，y2+z2-2yzcos120°=62，如圖，構(gòu)造pbc、pca、pab，使pb=x，pa=y，pc=z.bpc=cpa=apb=120。ab=13/2,bc=5/2,ac=

19、6.由勾股定理,abc是一個直角三角形.由sabc=spbc+spac=spab易得：（xy+yz+zx）sin120°=，從而得xy+yz+zx=10.點評：從原題條件出發(fā)，根據(jù)題設(shè)表達式構(gòu)造基本幾何圖形是解答此題的關(guān)鍵。觀察題目給的三個條件，很容易聯(lián)想到余弦定理；三個數(shù)據(jù)也與勾股數(shù)相關(guān)，這些都提示我們將這個問題放到三角形中研究。這樣問題就顯得清晰、簡單、直觀。例3：已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0),且f(x)=x沒有實數(shù)根。問：f(f(x)=x是否有實數(shù)根？并證明你的結(jié)論。解法一：分析法 假設(shè)f(f(x)=x有實根，即存在實數(shù)x0使得f(f(x0)=x0，令f(x0)=