第三章中值定理與導數(shù)的應用(三峽大學高等數(shù)學教案)

1、學習必備歡迎下載第三章中值定理與導數(shù)的應用教學目的：1、理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應用。3、會用二階導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。4、掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。5、知道曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。6、知道方程近似解的二分法及切線性。教學重點 ：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達法則。

2、教學難點：1、 羅爾定理、拉格朗日中值定理的應用；2、 極值的判斷方法；3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪；4、洛必達法則的靈活運用。 3 1 中值定理一、羅爾定理費馬引理設函數(shù) f(x)在點 x0的某鄰域u(x0)內有定義并且在 x0處可導如果對任意xu(x0)有f(x) f(x0) (或 f(x) f(x0)那么 f (x0) 0羅爾定理如果函數(shù)y f(x)在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)在開區(qū)間 (a, b)內可導且有 f(a) f(b)那么在 (a, b)內至少在一點使得 f ( ) 0簡要證明(1)如果 f(x)是常函數(shù)則 f (x) 0定理的結論顯然成立(2)如果 f(x)不是常函數(shù)則f(x

3、)在(ab)內至少有一個最大值點或最小值點不妨設有一最大值點(a b)于是0)()(lim)()(xfxfffx0)()(lim)()(xfxfffx所以 f (x)=0. 學習必備歡迎下載二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 a b上連續(xù)在開區(qū)間 (a b)內可導那么在 (a b)內至少有一點(a b)使得等式f(b) f(a) f ( )(b a) 成立拉格朗日中值定理的幾何意義f ( )abafbf)()(定理的證明引進輔函數(shù)令(x) f(x) f(a)abafbf)()(x a)容易驗證函數(shù)f(x)適合羅爾定理的條件(a)(b) 0(x)在閉區(qū)間 a b 上連

4、續(xù)在開區(qū)間(a b)內可導且(x) f (x)abafbf)()(根據(jù)羅爾定理可知在開區(qū)間(a b)內至少有一點使( ) 0即f ( )abafbf)()(0由此得abafbf)()( f ( ) 即f(b) f(a) f ( )(b a)定理證畢f(xié)(b) f(a) f ( )(b a)叫做拉格朗日中值公式這個公式對于b0 或x0)或xx x (x0)應用拉格朗日中值公式得f(xx) f(x) f (xx)x (0 1)如果記 f(x)為 y則上式又可寫為y f (xx)x (0 1)試與微分d y f (x)x 比較d yf (x)x 是函數(shù)增量y 的近似表達式而f (xx)x 是函數(shù)增量y

5、 的精確表達式作為拉格朗日中值定理的應用我們證明如下定理定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間 i 上的導數(shù)恒為零那么 f(x)在區(qū)間 i 上是一個常數(shù)證在區(qū)間 i 上任取兩點x1x2(x1x2)應用拉格朗日中值定理就得f(x2) f(x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2)由假定f ( ) 0所以 f(x2) f(x1) 0即f(x2) f(x1)因為 x1x2是 i 上任意兩點所以上面的等式表明f(x)在 i 上的函數(shù)值總是相等的這就是說f(x)學習必備歡迎下載在區(qū)間 i 上是一個常數(shù)例證明當 x 0 時xxxx)1ln(1證設 f(x) ln(1 x)顯然 f(x)在區(qū)間 0 x上滿足拉格朗

6、日中值定理的條件根據(jù)定理就有f(x) f(0) f ( )(x 0) 0 x。由于 f(0) 0 xxf11)(因此上式即為1)1ln(xx又由 0 x有xxxx)1ln(1三、柯西中值定理設曲線弧c 由參數(shù)方程)()(xfyxfx(a x b) 表示其中 x 為參數(shù)如果曲線c 上除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線那么在曲線c 上必有一點x使曲線上該點的切線平行于連結曲線端點的弦ab曲線 c 上點 x處的切線的斜率為)()(ffdxdy弦 ab 的斜率為)()()()(afbfafbf于是)()()()()()(ffafbfafbf柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及 f(x)在閉區(qū)間 ab上連續(xù)在

7、開區(qū)間 (a b)內可導且 f(x)在(a b)內的每一點處均不為零那么在 (a b)內至少有一點使等式)()()()()()(ffafbfafbf成立顯然如果取 f(x) x那么 f(b) f(a) b a f (x) 1因而柯西中值公式就可以寫成f(b) f(a) f ( )(b a) (a b)這樣就變成了拉格朗日中值公式了作業(yè)： p134：2；7； 10；11（2） ；12 學習必備歡迎下載 3. 2 洛必達法則一、當ax或x時的未定式00型和型的情形定理 1 設（ 1）當ax時，函數(shù))(xf及)(xf都趨于零；（ 2）在點a的某去心領域內，)(xf及)(xf都存在且0)(xf；（ 3

8、）)()(limxfxfax存在（或無窮大） ，則)()(lim)()(limxfxfxfxfaxax例1.求bxaxxsinsinlim0，)0(b；例 2 求123lim2331xxxxxx例 3 求30sinlimxxxx定理 2 設（ 1）當x時，函數(shù))(xf及)(xf都趨于零；（ 2）當nx |時，)(xf及)(xf都存在且0)(xf；（ 3）)()(limxfxfx存在（或無窮大） ，則學習必備歡迎下載)()(lim)()(limxfxfxfxfxx例 4 求xxx1arctan2lim例 5 求0,lnlimnxxnx例 6 求為正整數(shù)nexxnx,lim3例 7 求xxxxxt

9、antanlim20二、 0,00,1 ,0型的未定式這幾種類型都可以化為未定式00型和型的情形。1. 0型例 8. 求0,lnlim0nxxnx2.型例 9. 求)1sin1(lim0 xxx3.00,1 ,0型例 10. 求xxx0lim例 11. 求111limxxx例 12. 求xxxln10)(cotlim例 13. 求xxxxxsintanlim20作業(yè)： p138：1（1） （2） （4） （5） （7） （9） （ 11） （13） （14） （15）學習必備歡迎下載 3. 3 泰勒公式對于一些較復雜的函數(shù)為了便于研究往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達由于用多項式表示的函數(shù)只要

10、對自變量進行有限次加、減、乘三種運算便能求出它的函數(shù)值因此我們經常用多項式來近似表達函數(shù)在微分的應用中已經知道當|x|很小時有如下的近似等式ex1 x ln(1 x) x這些都是用一次多項式來近似表達函數(shù)的例子但是這種近似表達式還存在著不足之處首先是精確度不高這所產生的誤差僅是關于x 的高階無窮小其次是用它來作近似計算時不能具體估算出誤差大小因此對于精確度要求較高且需要估計誤差時候就必須用高次多項式來近似表達函數(shù)同時給出誤差公式設函數(shù) f(x)在含有 x0的開區(qū)間內具有直到(n 1)階導數(shù)現(xiàn)在我們希望做的是找出一個關于(x x0)的 n次多項式pn(x) a 0a 1(x x0) a 2(x

11、x0) 2 an(x x0)n來近似表達f(x)要求 pn(x)與 f(x)之差是比 (x x0)n高階的無窮小并給出誤差 | f (x)pn (x)|的具體表達式我們自然希望pn(x)與 f(x)在 x0的各階導數(shù) (直到 (n 1)階導數(shù) )相等這樣就有pn(x) a 0a 1(x x0) a 2(x x0) 2 an(x x0)npn(x) a 12 a 2(x x0)nan(x x0)n 1 pn(x) 2 a 2 3 2a 3(x x0)n (n 1)an(x x0)n 2pn(x) 3!a 34 3 2a 4(x x0) n (n 1)(n 2)an(x x0)n 3pn (n)(

12、x) n! an學習必備歡迎下載于是pn(x0) a 0pn(x0) a 1pn(x0) 2! a 2pn(x) 3!a 3pn (n)(x) n! an按要求有f(x0) pn(x0) a0f (x0) pn(x0) a 1f(x0) pn(x0) 2! a 2f(x0) pn(x0) 3!a 3f(n)(x0) pn (n)(x0) n! an從而有a 0f(x0) a 1f (x0)(! 2102xfa)(! 3103xfa)(!10)(xfnann)(!10)(xfkakk(k 0 1 2n)于是就有pn(x) f(x0) f (x0) (x x0)(! 210 xf(x x0) 2

13、)(!10)(xfnn(x x0)n泰勒中值定理如果函數(shù)f(x)在含有 x0的某個開區(qū)間(a b)內具有直到 (n 1)的階導數(shù)則當 x在(a b)內時f(x)可以表示為 (x x0)的一個 n 次多項式與一個余項rn(x)之和)()(!1)(! 21)()()(00)(200000 xrxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn其中10) 1()()!1()()(nnnxxnfxr(介于 x0與 x 之間 )這里多項式nnnxxxfnxxxfxxxfxfxp)(!1)(! 21)()()(00)(200000稱為函數(shù)f(x)按(x x0)的冪展開的n 次近似多項式公式200000)(! 21)

14、()()(xxxfxxxfxfxf)()(!100)(xrxxxfnnnn稱為 f(x)按(x x0)的冪展開的n 階泰勒公式而 rn(x)的表達式其中10) 1()()!1()()(nnnxxnfxr( 介于 x 與 x0之間 )稱為拉格朗日型余項當 n 0 時泰勒公式變成拉格朗日中值公式f(x) f(x0) f ( )(x x0) ( 在 x0與 x 之間 )因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣如果對于某個固定的n 當 x 在區(qū)間 (a b)內變動時 |f(n 1)(x)|總不超過一個常數(shù)m則有估計式學習必備歡迎下載1010) 1(|)!1(|)()!1()(| )(|nnnnxxnm

15、xxnfxr及0)(lim0)(0nxnxxxxr可見妝 xx0時誤差 |rn(x)|是比 (x x0)n高階的無窮小即rn (x) o(x x0)n在不需要余項的精確表達式時n 階泰勒公式也可寫成200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf)()(!1000)(nnnxxoxxxfn當 x00 時的泰勒公式稱為麥克勞林公式就是)(!) 0(! 2) 0() 0()0()()(2xrxnfxfxffxfnnn或)(!) 0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf其中1) 1()!1()()(nnnxnfxr由此得近似公式nnxnfxfxffxf!)0(

16、! 2)0()0() 0()()(2誤差估計式變?yōu)?|)!1(| )(|nnxnmxr例 1寫出函數(shù)f(x) ex的 n 階麥克勞林公式解因為f(x) f (x) f(x)f( n)(x) ex所以f(0) f (0) f(0)f( n)(0) 1于是12)!1(!1! 211nxnxxnexnxxe(0)并有nxxnxxe!1! 2112這時所產性的誤差為|rn(x)| |)!1(nexxn 1|)!1(|nex| x |n 1當 x 1 時可得 e 的近似式!1! 2111nex其誤差為|rn|0則 f(x)在a b上的圖形是凹的(2)若在 (a b)內 f(x)0則 f(x)在a b上的

17、圖形是凸的簡要證明只證 (1)設21, xxx1x2a b且 x1x2記2210 xxx由拉格朗日中值公式得2)()()()(21101101xxfxxfxfxf011xx2)()()()(12202202xxfxxfxfxf220 xxx1x 2yxo 221xx221xxf2)()(21xfxff(x2) f(x1) x1x 2yxo 221xx221xxf2)()(21xfxff(x2) f(x1) 學習必備歡迎下載兩式相加并應用拉格朗日中值公式得2)()()(2)()(1212021xxffxfxfxf02)(1212xxf21即)2(2)()(2121xxfxfxf所以 f(x)在a

18、 b上的圖形是凹的拐點連續(xù)曲線 y f(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點確定曲線y f(x)的凹凸區(qū)間和拐點的步驟(1)確定函數(shù)y f(x)的定義域(2)求出在二階導數(shù)f(x)(3)求使二階導數(shù)為零的點和使二階導數(shù)不存在的點(4)判斷或列表判斷確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點注根據(jù)具體情況（1） （3）步有時省略例 1判斷曲線y ln x 的凹凸性解xy121xy因為在函數(shù)y ln x 的定義域 (0)內y 0所以曲線y ln x 是凸的例 2判斷曲線y x3的凹凸性解y3x 2y6x由 y0得 x 0因為當 x0 時 y 0 時 y 0所以曲線在 0)內為凹的例 3求曲線 y 2x 33x

19、22x 14 的拐點解y 6x 26x 12)21(12612xxy令 y0得21x因為當21x時 y0當21x時 y0 所以點 (212120)是曲線的拐點例 4求曲線 y 3x 44x31 的拐點及凹、凸的區(qū)間解 (1)函數(shù) y 3x 44x31 的定義域為 ()(2)231212xxy)32(3624362xxxxy(3)解方程 y0得01x322x(4)列表判斷( 0) 0 (0 2/3) 2/3 (2/3) f(x) 0 0 f(x) 1 11/27 學習必備歡迎下載在區(qū)間 (0和2/3)上曲線是凹的在區(qū)間 02/3上曲線是凸的點 (0 1)和(2/311/27)是曲線的拐點例 5問

20、曲線 y x 4是否有拐點？解y4x 3y12x 2當 x0 時 y 0在區(qū)間 ()內曲線是凹的因此曲線無拐點例 6 求曲線3xy的拐點解(1)函數(shù)的定義域為()(2) 3231xy3292xxy(3)無二階導數(shù)為零的點二階導數(shù)不存在的點為x 0(4)判斷當 x0當 x0 時 y 0因此點(0 0)曲線的拐點作業(yè)： p152：3（1） （3） （5） ；5（1） （2） （4） ；8（1） （3） ； 9（1） （3） ；12 3 5 函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值及其求法極值的定義定義設函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a, b)內有定義x0(a, b)如果在 x0的某一去心鄰域內有f(x)f

21、(x0)則稱 f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值如果在 x0的某一去心鄰域內有f(x) f(x0)則稱 f(x0)是函數(shù) f(x)的一個極小值設函數(shù) f(x)在點 x0的某鄰域 u(x0)內有定義如果在去心鄰域u(x0)內有 f(x) f(x0) (或 f(x) f(x0)則稱 f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值(或極小值 )函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值使函數(shù)取得極值的點稱為極值點函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的如果 f(x0)是函數(shù) f(x)的一個極大值那只是就x0附近的一個局部范圍來說f(x0)是 f(x)的一個最大值如果就 f(x)的整個定義域來說f(x0)不一定是最大值關

22、于極小值也類似極值與水平切線的關系在函數(shù)取得極值處曲線上的切線是水平的但曲線上有水平切線的地方函數(shù)不一定取得極值定理 1 (必要條件 )設函數(shù) f(x)在點 x0處可導且在 x0處取得極值那么這函數(shù)在x0處的導數(shù)為零即 f (x0) 0證為確定起見假定f(x0)是極大值 (極小值的情形可類似地證明)根據(jù)極大值的定義在x0的某個去心鄰域內對于任何點xf(x) f(x0)均成立于是當 xx0時0)()(00 xxxfxf因此f (x0)0)()(lim000 xxxfxfxx學習必備歡迎下載當 xx0時0)()(00 xxxfxf因此0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx從而得到f (

23、x0) 0 駐點使導數(shù)為零的點(即方程 f (x) 0 的實根 )叫函數(shù) f(x)的駐點定理就是說可導函數(shù)f(x)的極值點必定是函數(shù)的駐點但的過來函數(shù) f(x)的駐點卻不一定是極值點考察函數(shù)f(x) x3在 x 0 處的情況定理 (第一種充分條件)設函數(shù) f(x)在點 x0的一個鄰域內連續(xù)在 x0的左右鄰域內可導(1) 如果在 x0的某一左鄰域內f (x) 0 在 x0的某一右鄰域內f (x) 0那么函數(shù) f(x)在 x0處取得極大值(2) 如果在 x0的某一左鄰域內f (x) 0 在 x0的某一右鄰域內f (x) 0那么函數(shù) f(x)在 x0處取得極小值(3)如果在 x0的某一鄰域內f (x

24、)不改變符號那么函數(shù)f(x)在 x0處沒有極值定理 (第一種充分條件)設函數(shù) f(x)在含 x0的區(qū)間 (a, b)內連續(xù)在 (a, x0)及 (x0, b)內可導(1)如果在 (a, x0)內 f (x) 0在(x0, b)內 f (x) 0那么函數(shù)f(x)在 x0處取得極大值(2)如果在 (a, x0)內 f (x) 0在(x0, b)內 f (x) 0那么函數(shù)f(x)在 x0處取得極小值(3)如果在 (a, x0)及(x0, b)內 f (x)的符號相同那么函數(shù)f(x)在 x0處沒有極值定理 2 (第一充分條件)設函數(shù) f(x)在 x0連續(xù)且在 x0的某去心鄰域(x0 x0)(x0 x0

25、)內可導(1)如果在 (x0 x0)內 f (x) 0在(x0 x0)內 f (x) 0那么函數(shù) f(x)在 x0處取得極大值(2)如果在 (x0 x0)內 f (x) 0在(x0 x0)內 f (x) 0那么函數(shù) f(x)在 x0處取得極小值(3)如果在 (x0 x0)及(x0 x0)內 f (x)的符號相同那么函數(shù)f(x)在 x0處沒有極值定理 2 也可簡單地這樣說當 x 在 x0的鄰近漸增地經過x0時如果 f(x)的符號由負變正那么 f(x)在 x0處取得極大值如果 f (x)的符號由正變負那么 f(x)在 x0處取得極小值如果 f (x)的符號并不改變那么 f(x)在 x0處沒有極值(

26、注定理的敘述與教材有所不同) 確定極值點和極值的步驟(1)求出導數(shù)f (x)(2)求出 f(x)的全部駐點和不可導點(3)列表判斷 (考察 f (x)的符號在每個駐點和不可導點的左右鄰近的情況以便確定該點是否是極值點如果是極值點還要按定理2 確定對應的函數(shù)值是極大值還是極小值)(4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值例 1 求函數(shù)32) 1()4()(xxxf的極值解 (1)f(x)在 ()內連續(xù)除 x1 外處處可導且313) 1(5)(xxxf學習必備歡迎下載(2)令 f (x) 0得駐點 x 1 x1 為 f(x)的不可導點(3)列表判斷x (1) 1 ( 1 1) 1 (1) f (x) 不可

27、導0 f(x) 0 343(4)極大值為f( 1) 0極小值為343) 1(f定理 3 (第二種充分條件)設函數(shù) f(x)在點 x0處具有二階導數(shù)且f (x0) 0f(x0) 0那么(1)當 f(x0) 0時函數(shù) f(x)在 x0處取得極大值(1)當 f(x0) 0時函數(shù) f(x)在 x0處取得極小值證明在情形 (1)由于 f(x0) 0 按二階導數(shù)的定義有0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性當 x 在 x0的足夠小的去心鄰域內時0)()(00 xxxfxf但 f (x0) 0 所以上式即0)(0 xxxf從而知道對于這去心鄰域內的x 來說f (x)與 x

28、 x0符號相反因此當 x x00 即 x x0時 f (x) 0當 x x00 即 x x0時 f (x) 0根據(jù)定理2 f(x)在點 x0處取得極大值類似地可以證明情形(2)定理 3 表明如果函數(shù)f(x)在駐點 x0處的二導數(shù)f(x0) 0那么該點x0一定是極值點并且可以按二階導數(shù)f(x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值但如果 f(x0) 0定理 3 就不能應用討論函數(shù) f (x)x4g(x) x3在點 x 0 是否有極值？提示f (x) 4x 3f (0) 0 f(x) 12x2f(0) 0但當 x 0 時 f (x) 0當 x 0 時 f (x) 0所以 f(0) 為極小值g (

29、x) 3x2g (0) 0g(x) 6xg(0) 0但 g(0)不是極值例 2求函數(shù) f(x) (x21)31 的極值解(1)f (x) 6x(x21)2(2)令 f (x) 0求得駐點x11 x20 x31(3)f(x) 6(x21)(5x21)(4)因 f(0) 6 0 所以 f (x)在 x 0 處取得極小值極小值為 f(0) 0(5)因 f( 1) f(1) 0 用定理 3 無法判別因為在1 的左右鄰域內f (x) 0所以 f(x)在 1 處沒有極值同理 f(x)在 1 處也沒有極值二、最大值最小值問題學習必備歡迎下載在工農業(yè)生產、工程技術及科學實驗中常常會遇到這樣一類問題在一定條件下

30、怎樣使“產品最多” 、 “用料最省” 、 “成本最低” 、 “效率最高” 等問題這類問題在數(shù)學上有時可歸結為求某一函數(shù)（通常稱為目標函數(shù)）的最大值或最小值問題極值與最值的關系設函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 a b上連續(xù)則函數(shù)的最大值和最小值一定存在函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點取得如果最大值不在區(qū)間的端點取得則必在開區(qū)間 (a b)內取得在這種情況下最大值一定是函數(shù)的極大值因此函數(shù)在閉區(qū)間 a b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最大者同理函數(shù)在閉區(qū)間ab上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最小者最大值和最小值的求法設 f(x)在(a b)內的駐

31、點和不可導點(它們是可能的極值點)為 x1x2xn則比較f(a) f(x 1)f(xn) f(b) 的大小其中最大的便是函數(shù)f(x)在a b上的最大值最小的便是函數(shù)f(x)在a b上的最小值例 3 求函數(shù) f(x) |x23x 2|在 3 4上的最大值與最小值解)2, 1 (23 4, 2 1, 323)(22xxxxxxxf)2, 1(32)4,2() 1, 3(32)(xxxxxf在( 3 4)內 f(x)的駐點為23x不可導點為x 1 和 x 2由于 f( 3) 20 f(1) 041)23(ff(2) 0 f(4) 6 比較可得f(x)在 x3 處取得它在 3 4上的最大值 20在 x

32、 1 和 x 2 處取它在 3 4上的最小值0例 4工廠鐵路線上ab 段的距離為100km工廠 c 距 a 處為 20km ac 垂直于 ab為了運輸需要要在 ab 線上選定一點d 向工廠修筑一條公路已知鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比3: 5 為了使貨物從供應站b 運到工廠 c 的運費最省問 d 點應選在何處？解設 ad x (km)則 db 100 x 2220 xcd2400 x設從 b 點到 c 點需要的總運費為y那么y 5k cd 3k db (k 是某個正數(shù) )即24005xky3k(100 x) (0 x 100)dc20kmab100km學習必備歡迎下載現(xiàn)在問題

33、就歸結為x 在0 100內取何值時目標函數(shù)y 的值最小先求 y 對 x 的導數(shù)) 34005(2xxky2400 xcd解方程 y0得 x 15(km)由 于y|x 0400ky|x 15380k2100511500|kyx其 中 以y|x 15380k 為 最 小因 此 當adx 15km 時總運費為最省注意f(x)在一個區(qū)間 (有限或無限開或閉 )內可導且只有一個駐點x0并且這個駐點x0是函數(shù) f(x)的極值點那么當 f(x0)是極大值時f(x0)就是 f(x)在該區(qū)間上的最大值當 f(x0)是極小值時 f(x0)就是 f(x)在該區(qū)間上的最小值應當指出實際問題中往往根據(jù)問題的性質就可以斷

34、定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值而且一定在定義區(qū)間內部取得這時如果f(x)在定義區(qū)間內部只有一個駐點x0那么不必討論f(x0)是否是極值就可以斷定f(x0)是最大值或最小值例 5 把一根直徑為d 的圓木鋸成截面為矩形的梁問矩形截面的高h 和寬 b 應如何選擇才能使梁的抗彎截面模量w (261bhw)最大 ? 解 b 與 h 有下面的關系h 2d 2b 2因而)(6122bdbw(0bd)這樣w 就是自變量b 的函數(shù)b 的變化范圍是(0 d)現(xiàn)在問題化為b 等于多少時目標函數(shù)w 取最大值？為此求 w 對 b 的導數(shù))3(6122bdw解方程 w0 得駐點db31由于梁的最大抗彎截面模量一定存在而

35、且在 (0d)內部取得現(xiàn)在函數(shù))(6122bdbw在f(x 0) o ax 0bx y f(x) y f(x 0) o ax 0bx y f(x ) y dhb學習必備歡迎下載(0 d)內只有一個駐點所以當db31時 w 的值最大這時2222223231dddbdh即dh321:2:3:bhd解把 w 表示成 b 的函數(shù)261bhw)(6122bdb(0b0相反時 s0dxds21 y于是 ds21 ydx這就是弧微分公式因為當x0 時s mnx 又s與同號所以202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxx21y因此dxyds21這就是弧微分公式二、曲率及其計算公式曲線彎曲程度的直觀描述設曲線 c 是光滑的在曲線 c 上選定一點m0作為度量弧s 的基點設曲線上點m 對應于弧 s 在點 m