高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：4.1 平面向量的概念及其線性運(yùn)算 Word版含答案_20210103224743

1、淘寶店鋪：漫兮教育第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算及幾何意義(1)理解平面向量的有關(guān)概念及向量的表示方法(2)掌握向量加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義(3)理解兩個(gè)向量共線的含義(4)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義知識點(diǎn)一向量的有關(guān)概念名稱定義向量既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的長度(或稱模)零向量長度為零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量記作0單位向量長度等于1個(gè)單位的向量平行向量表示兩個(gè)向量的有向線段所在的直線平行或重合，則這兩個(gè)向量叫作平行向量，平行向量又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量相反向量長度相等且方向相反

2、的向量易誤提醒1對于平行向量易忽視兩點(diǎn)：(1)零向量與任一向量平行(2)兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件2單位向量的定義中只規(guī)定了長度沒有方向限制自測練習(xí)1若向量a與b不相等，則a與b一定()a有不相等的模 b不共線c不可能都是零向量 d不可能都是單位向量解析：若a與b都是零向量，則ab，故選項(xiàng)c正確答案：c2若mn，nk，則向量m與向量k()a共線 b不共線c共線且同向 d不一定共線解析：可舉特例，當(dāng)n0時(shí)，滿足mn，nk，故a，b，c選項(xiàng)都不正確，故d正確答案：d知識點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法

3、則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫作a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)>0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)<0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab易誤提醒1作兩個(gè)向量的差時(shí)，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)2數(shù)乘向量仍為向量只是模與方向發(fā)生變化，易認(rèn)為數(shù)乘向量為實(shí)數(shù)自測練習(xí)3(2016·通州模擬)已知在abc中，d是bc的中點(diǎn)，那么下列各式中正確的是()a. b.c. d2解析：本題考查向量的線性運(yùn)算a錯(cuò)，應(yīng)為2；b

4、錯(cuò)，應(yīng)為；c錯(cuò)，應(yīng)為；d正確，2，故選d.答案：d知識點(diǎn)三共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.易誤提醒1在向量共線的重要條件中易忽視“a0”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)2要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系必記結(jié)論三點(diǎn)共線等價(jià)關(guān)系：a，p，b三點(diǎn)共線(0)(1t)·t(o為平面內(nèi)異于a，p，b的任一點(diǎn)，tr)xy(o為平面內(nèi)異于a，p，b的任一點(diǎn)，xr，yr，xy1)自測練習(xí)4已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則_.解析：由題意知abk(b3a)，所以解得答案：考點(diǎn)一向量的基本概念|1(2015·鄭州二模)已知

5、a，b，c是任意向量，給出下列命題：若ab，bc，則ac；若ab，則a，b方向相同或相反；若ab，則|a|b|；若a，b不共線，則a，b中至少有一個(gè)為零向量，其中正確命題的個(gè)數(shù)是()a4 b3c2 d1解析：按照平面向量的概念逐一判斷若b0，則都錯(cuò)誤；若ab，則|a|b|，正確；若a，b不共線，則a，b中一定沒有零向量，錯(cuò)誤，所以正確命題只有1個(gè)答案：d2設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，一定能使0成立的是()aa2b babcab dab解析：由0得0，即a·|a|0，則a，b共線且方向相反，因此當(dāng)向量a，b共線且方向相反時(shí)，能使0成立對照各個(gè)選項(xiàng)可知，選項(xiàng)a中向量a，b的方向

6、相同，選項(xiàng)b中向量a，b共線，方向相同或相反，選項(xiàng)c中向量a，b的方向相反，選項(xiàng)d中向量a，b互相垂直，故選c.答案：c解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注五點(diǎn)(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談(5)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算|(1)(2015·高考課標(biāo)卷)設(shè)d為abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()a.b.c.d.解析由題意得，故選a.答案a(2)(2015·

7、東北三校聯(lián)考(二)已知在abc中，d是ab邊上的一點(diǎn)，若2，則_.解析因?yàn)?，所以()，所以.答案平面向量線性運(yùn)算問題的兩種類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義向量加法和減法均適合平行四邊形法則(2)求已知向量的和一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則1設(shè)o為abc內(nèi)部的一點(diǎn)，且20，則aoc的面積與boc的面積之比為()a.b.c2 d1解析：取ab的中點(diǎn)e，連接oe，則有22()0，0，所以e，o，c三點(diǎn)共線，所以有aeo與beo面積相等，因此aoc的面積與boc的面積之比為1，故選d.答案：d考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用|(2015&#

8、183;高考全國卷)設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實(shí)數(shù)_.解析由于ab與a2b平行，所以存在r，使得ab(a2b)，即()a(12)b0，因?yàn)橄蛄縜，b不平行，所以0,120，解得.答案1共線向量定理的應(yīng)用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值(2)若a，b不共線，則ab0的充要條件是0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛2證明三點(diǎn)共線的方法若，則a、b、c三點(diǎn)共線2設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：a，c，d三點(diǎn)共線；(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且a，c，f三點(diǎn)共線，求k的值解：(

9、1)證明：e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，2，與共線又與有公共點(diǎn)c，a，c，d三點(diǎn)共線(2)e1e2，2e13e2，3e12e2.a，c，f三點(diǎn)共線，從而存在實(shí)數(shù)，使得.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共線的非零向量，因此k2.實(shí)數(shù)k的值為2.13.方程思想在平面向量呈線性運(yùn)算中的應(yīng)用【典例】如圖所示，在abo中，ad與bc相交于點(diǎn)m，設(shè)a，b.試用a和b表示向量.思路點(diǎn)撥(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去(2)既然能用a，b表示，那我們不妨設(shè)出manb.(3)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解解設(shè)

10、manb，則mamba(m1)anb.ab.又a，m，d三點(diǎn)共線，與共線存在實(shí)數(shù)t，使得t，即(m1)anbt.(m1)anbtatb.消去t得，m12n，即m2n1.又manbaanb，baab.又c，m，b三點(diǎn)共線，與共線存在實(shí)數(shù)t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.方法點(diǎn)評(1)本題考查了向量的線性運(yùn)算，知識要點(diǎn)清楚，但解題過程復(fù)雜，有一定的難度(2)易錯(cuò)點(diǎn)是，找不到問題的切入口，想不到利用待定系數(shù)法求解(3)數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解，這是研究平

11、面向量最重要的方法與技巧如本題易忽視a，m，d三點(diǎn)共線和b，m，c三點(diǎn)共線這個(gè)幾何特征(4)方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會跟蹤練習(xí)如圖，abc中，0，a，b.若ma，nb，cgpqh，2，則_.解析：由0，知g為abc的重心，取ab的中點(diǎn)d(圖略)，則()，由p，h，q三點(diǎn)共線，得1，則6.答案：6a組考點(diǎn)能力演練1關(guān)于平面向量，下列說法正確的是()a零向量是唯一沒有方向的向量b平面內(nèi)的單位向量是唯一的c方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量d共線向量就是相等向量解析：對于a，零向量是有方向的，其方向是任意的，故a不正確；對于b，單位向量的模為1，其方向可以是任意方向，

12、故b不正確；對于c，方向相反的向量一定是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量，故c正確；對于d，由共線向量和相等向量的定義可知d不正確，故選c.答案：c2已知o，a，b，c為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，若20，則向量等于()a. bc2 d2解析：因?yàn)?，所?2()()20，所以2，故選c.答案：c3(2015·嘉興一模)已知在abc中，m是bc的中點(diǎn)，設(shè)a，b，則()a.ab b.abcab dab解析：ba.答案：a4.(2015·海淀期中)如圖所示，在abc中，d為bc邊上的一點(diǎn)，且bd2dc，若mn(m，nr)，則mn()a2b2c1d1解析：()，則m，n，所以mn2

13、.答案：b5若a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，a與b的起點(diǎn)相同，已知a，tb，(ab)三個(gè)向量的終點(diǎn)在同一條直線上，則t()a. b c2 d2解析：設(shè)a，tb，(ab)，則ab，taa.要使a，b，c三點(diǎn)共線，只需，即abtba即可，又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，解得當(dāng)三個(gè)向量的終點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，t.答案：a6(2016·長沙一模)在矩形abcd中，o是對角線的交點(diǎn)，若5e1，3e2，則_.(用e1，e2表示)解析：在矩形abcd中，因?yàn)閛是對角線的交點(diǎn)，所以()()(5e13e2)答案：(5e13e2)7已知向量e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若a2e1e2與be1e2共線，則

14、_.解析：因?yàn)閍與b共線，所以axb，故.答案：8.(2016·青島一模)已知點(diǎn)g是abc的外心，是三個(gè)單位向量，且20，如圖所示，abc的頂點(diǎn)b，c分別在x軸的非負(fù)半軸和y軸的非負(fù)半軸上移動，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|的最大值為_解析：因?yàn)辄c(diǎn)g是abc的外心，且20，所以點(diǎn)g是bc的中點(diǎn)，abc是直角三角形，且bac是直角又，是三個(gè)單位向量，所以bc2，又abc的頂點(diǎn)b，c分別在x軸的非負(fù)半軸和y軸的非負(fù)半軸上移動，所以點(diǎn)g的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓弧又|1，所以當(dāng)oa經(jīng)過bc的中點(diǎn)g時(shí)，|取得最大值，且最大值為2|2.答案：29已知a，b不共線，a，b，c，d，e，設(shè)tr，如果3

15、ac,2bd，et(ab)，是否存在實(shí)數(shù)t使c，d，e三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請說明理由解：由題設(shè)知，dc2b3a，ec(t3)atb，c，d，e三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因?yàn)閍，b不共線，所以有解之得t.故存在實(shí)數(shù)t使c，d，e三點(diǎn)在一條直線上10設(shè)o是平面上一定點(diǎn)，a，b，c是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)p滿足，0，)求點(diǎn)p的軌跡，并判斷點(diǎn)p的軌跡通過下述哪一個(gè)定點(diǎn)：abc的外心；abc的內(nèi)心；abc的重心；abc的垂心解：如圖，記，則，都是單位向量，|，則四邊形amqn是菱形，a

16、q平分bac.，由條件知，(0，)，點(diǎn)p的軌跡是射線aq，且aq通過abc的內(nèi)心b組高考題型專練1(2014·高考新課標(biāo)全國卷)設(shè)d，e，f分別為abc的三邊bc，ca，ab的中點(diǎn)，則()a.b.c. d.解析：設(shè)a，b，則ba，ab，從而(ab)，故選c.答案：c2(2015·高考陜西卷)對任意向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是()a|a·b|a|b|b|ab|a|b|c(ab)2|ab|2d(ab)·(ab)a2b2解析：對于a選項(xiàng)，設(shè)向量a，b的夾角為，|a·b|a|b|cos |a|b|，a選項(xiàng)正確；對于b選項(xiàng)，當(dāng)向量a，b反向時(shí)，|ab|a|b|，b選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于c選項(xiàng)，由向量的平方等于向量模的平方可知，c選項(xiàng)正確；對于d選項(xiàng)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可推導(dǎo)出(ab)·(ab)a2b2，故d選項(xiàng)正確，綜上選b.答案：b3(2013·高考江蘇卷)設(shè)d，e分別是abc的邊