2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.6垂直關(guān)系1.6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)學(xué)

1、 6.2 垂直關(guān)系的性質(zhì) - 學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航 - 1. 理解直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)定理 .（重點(diǎn)） 2. 理解并掌握空間“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化 .（難點(diǎn)、易錯點(diǎn)） 3. 能靈活地應(yīng)用線面與面面垂直的性質(zhì)定理證明有關(guān)問題 .（難點(diǎn)） V A 閱讀教材 P39 “練習(xí) 2”以下至 P40 “例 3”以上部分，完成下列問題 1.文字語言：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行 4. 作用：證明兩直線平行. 孝做依鑒 - 在圓柱的一個底面上任取一點(diǎn) （該點(diǎn)不在底面圓周上），過該點(diǎn)作另一個底面的垂線， 則 /丿 這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是 A. 相交 D.相交或

2、平行 【答案】 階段1 認(rèn)知預(yù)習(xí)質(zhì)疑 知識才底理要 點(diǎn)初探 基礎(chǔ)初探 教材整理 1 直線與平面垂直的性質(zhì)定理 3.圖形語言：如圖 1-6-18 所示. B.平行 C.異面 【解圓柱的母線垂直于圓柱的底面， 由線面垂直的性質(zhì)知 2.符號語言：I丄a, ml a ? l / m 圖 2 P40 “例 3”以下至內(nèi)“例 4”以上部分，完成下列問題 1. 文字語言：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直 2. 符號語言：a丄B, a A 3 = ml事3 , I丄m? I丄a .教材整理 2 平面與平面垂直的性質(zhì)定理 閱讀教材 3 3.圖形語言：如圖 1-6-19 所示. 圖 1-

3、6-19 4.作用：證明直線與平面垂_. - 做體鑒 - 若平面a丄平面B,且平面a內(nèi)的一條直線a垂直于平面3內(nèi)的一條直線b,則（ ） A. 直線a必垂直于平面 3 B. 直線b必垂直于平面 a C. 直線a不一定垂直于平面 3 D. 過a的平面與過b的平面垂直 【解析】 a丄3 , a- a , br- 3 , a丄b,當(dāng)a n 3 = a時，b丄a ；當(dāng)a n 3 = b時, a丄3，其他情形則未必有 b丄a或a丄3，所以選項(xiàng) A, B, D 都錯誤，故選 C. J* J 【答案】 C 合作探究通關(guān) 小組合作型 _ h _ 線面垂直的性質(zhì) 如圖 1-6-20 ,正方休、ABCDABCD中，

4、EF與異面直線 AC AD都垂直相交.求 證：EF/ BD. 【精彩點(diǎn)撥】 連接AB與CB，證明EF, BD都與平面ABC垂直. 【自主解答】 連接AB , BC, BD, BD,如圖所示 階段2 分組討論疑羋細(xì)究 圖 1-6-20 DL C 4 / DD丄平面 ABCD AG 平面ABCD DD 丄 AC 又 ACL BD BE DD= D, AC_L平面 BDDB , ACL BD.5 同理BD丄BC,又A8 BC= C, BD丄平面ABC / EF丄AD,且 AD/ BC, EF BC 又:EFL AC ACT BO C, EF丄平面 ABC, EF/ BD. 證明線線平行常有如下方法:

5、 (1) 利用線線平行的定義：證共面且無公共點(diǎn)； (2) 利用平行公理：證兩線同時平行于第三條直線； (3) 利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行; (4) 利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直; (5) 利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行 再練一題 1.如圖 1-6-21 ,已知平面 a T平面B= I , EAL a ,垂足為 A, EEL 3 ,垂足為B,直 線 a. 3 , a丄 AB求證：a/ I . 【證明】 因?yàn)镋AL a , a T 3 = I , 即|工a ,所以I丄EA 同理I丄EB 又 EAO EB= E, 所以I丄平面E

6、AB因?yàn)镋BL 3 , a三3 ,所以EBL a , 又 a 丄AB EBP AB= B, 所以a丄平面EAB因此，a/ I . 面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用 邊三角形ADB以 AB為軸轉(zhuǎn)動.類型2 卜例網(wǎng) 如圖 1-6-22 , A, B, AO BC= . 2.等 圖 1-6-21 6 當(dāng)平面 ADBL平面 ABC寸，求CD 當(dāng)厶ADB轉(zhuǎn)動時，是否總有 ABL CD?證明你的結(jié)論. D 【導(dǎo)學(xué)號：39292040】 【精彩點(diǎn)撥】 （1）利用面面垂直構(gòu)造直角三角形，使所求線段為其一邊，通過解三角 形求解 （2）分D是否在平面 ABC內(nèi)進(jìn)行討論. 【自主解答】 （1）如圖，取AB的中點(diǎn)E,連接DE CE

7、因?yàn)?ADB是等邊三角形，所 以 DEL AB 當(dāng)平面 ADBL平面 ABC時，因?yàn)槠矫?DEL平面 ABC可知DEL CE由已知可得 ADBT平面ABC= AB所以 DE= 3, EC= 1、 在 Rt DEC中, CD=qDE+ EC = 2. 當(dāng)厶ADB以 AB為軸轉(zhuǎn)動時，總有 i 證明：當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時， ABL CD 因?yàn)?AC= BC, AD= BD 所以C, D都在線段AB的垂直平分線上，即 ABL CD 當(dāng)D不在平面 ABC內(nèi)時，由（1）知AB丄DE 又 AC= BC 所以 ABL CE A w 又DEn CE= E,所以AB丄平面CDE 又Cd 平面、CDE所以AB CD

8、 7綜上所述，總有AB丄CD 名師屈阿 1.面面垂直的性質(zhì)定理，為線面垂直的判定提供了依據(jù)和方法 .所以當(dāng)已知兩個平面垂 直的時候，經(jīng)常找交線的垂線，這樣就可利用面面垂直證明線面垂直 2.證明線面垂直主要有兩種方法， 一種是利用線面垂直的判定定理， 另一種是利用面面 垂直的性質(zhì)定理應(yīng)用后者時要注意：（1）兩個平面垂直；（2）直線在一個平面內(nèi)；（3）直線垂 直于交線以上三點(diǎn)缺一不可 再練一題 7 2.如圖 1-6-23 ,四棱錐V-ABCD勺底面是矩形，側(cè)面VABL底面ABCD又VB丄平面VAD 求證：平面VB丄平面VAC 【證明】 平面 VABL平面 ABCD 且 BCL AB平面 VABH平

9、面 ABCD= AB B平面 ABCD BCL平面 VAB 如 平面VAB二BC丄VA 又 VBL平面 VAD - V吐VA 又 VEH BC= B, VAL平面 VBC 72 平面 VAC 平面VBCL平面VAC 探究共研型 垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 探究 1 如圖 1-6-24 ,四邊形ABC毘正方形,SAL平面ABCDBK! SC于點(diǎn)K,連接DK 判斷平面SBC與平面KBD是否垂直，并說明理由. 圖 1-6-24 【提示】 垂直.連接AC 四邊形ABCD1正方形， ACL BD 又 SAL平面 ABCD - SAL BD BD_L 平面 SAC SCI BD 又 SCL BK BKH BD=

10、B, SCL平面 KBD 又Sg 平面SBC 平面 SBCL平面 KBD 探究 2 在上述問題中，判斷平面 SBC與平面SDC是否垂直，并說明理由 【提示】 不垂直假設(shè)平面SBCL平面SDC BKL SC, BKL平面 SDC DC 平面 SDC BKL DC 又 AB/ CD BKL AB探究點(diǎn) B C 圖 1-6-23 8 / ABCD!正萬形，AB丄BC ABL平面SBC又SA 平面SBC ABL SB這與/ SBA是 Rt SAB的個銳角矛盾，故假設(shè)不成立 . 原結(jié)論成立，即平面 SBC不垂直于平面SDC 例 如圖 1-6-25所示， 在四棱錐F-ABCD ,底面ABCD!/ DAB=

11、 60且邊長為 a 的菱形，側(cè)面 PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD 上掃一掃 圖 1-6-25 9 求證：ADL PB 平面PGBL平面 ABCD 平面DEFL平面 ABCD 立體幾何中的垂直關(guān)系有三類：線線垂直、線面垂直、面面垂直 .處理垂直問題時，要 注意三者之間的內(nèi)在聯(lián)系.轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中解決垂直問題的重要思想 .垂直關(guān)系的轉(zhuǎn) 若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在 PC棱上找到一點(diǎn) F,使平面 DEFL平面 ABCD并證明 【精彩點(diǎn)撥】 解答本題要首先從菱形、正三角形中找到其中所蘊(yùn)含的垂直關(guān)系, 聯(lián)系 所學(xué)的判定定理與性質(zhì)定理，得出結(jié)論 【自主解答】 證明：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連

12、接 PG BG PAD為正三角形， PGL 在菱形 ABCD中，/ DAB= 60, G為AD的中點(diǎn)， BGL AD 又 BG PG= G AD丄平面 PGB P氐平面 PGB： ADL PB 當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時，滿足平面 DEFL平面ABCD V U J 證明：取PC的中點(diǎn)F,連接 DE EF, DF, 在厶 PBC中 , FE/ PB /廠。 在菱形 ABCD中 , GB/ DE 而 FE- 平面DEF DE平面 DEF EFn DE= E, 平面DEF/平面PGB 由得PGL平面ABCD而 PG平面PGB 10 化如下: 再練一題 求證：EF/平面PAB 若平面PACL平面 ABC且PA

13、= PC / AB& 90,求證：平面 PEFL平面PBC 【證明】 （1） T E, F分別為AC BC的中點(diǎn)， EF/ AB 又EF?平面PAB A電平面PAB EF/平面 PAB / PA= PC E 為 AC 的中點(diǎn)， PEL AC 又平面PACL平面ABC PE!平面 ABC - PEI BC 又 F為BC的中點(diǎn)， EF/ AB / ABC= 90, BCL EF / EFn PE= E, BCL平面 PEF 又 BCW平面PBC 平面PBCL平面PEF 1. 已知I , m n為兩兩垂直的三條異面直線，過 I作平面a與直線m垂直，則直線n 與平面a的關(guān)系是（ ） A. n

14、/ a B. n / a 或 na 階股3 體驗(yàn)落實(shí)評價(jià) 課矍回饋毛時達(dá)標(biāo) 判定 性質(zhì) 3.如圖 1-6-26，在三棱錐 圖 1-6-26 11 C.na或n與a不平行 D.n. a 【解析】 / I - a ,且I與n異面， n/ a .12 又 miL a , n丄m, /. nil a . 【答案】 A 2. 已知平面a丄平面3 , a A 3 = l，點(diǎn)P l，給出下面四個結(jié)論: 過P與I垂直的直線在 a內(nèi)； 過P與3垂直的直線在 a內(nèi)； 過P與I垂直的直線必與 a垂直; 過P與3垂直的平面必與I垂直. 其中正確的命題是（ ） A. B. C. D. 【解析】 因?yàn)閍丄3, a A 3

15、 = I , P I，所以過點(diǎn)P作3的垂直直線必在平面 a 內(nèi)且和I垂直，的情況則可能成立，也可能不成立 【答案】 A 3. _ 已知a, b為直線，a , 3為平面在下列四個結(jié)論中，正確的是 _ . 若 aL a , bL a，貝y a/ b；若 a/ a, bi a，貝U a/ b；若 aL a , aL 3，則 a/ 3 ；若 a / b, 3 i b, U a / 3 【解析】 由“垂直于同一平面的兩直線平行”知正確； 由“平行于同一平面的兩直 線平行或異面或相交”知錯；由“垂直于同一直線的兩平面平行”知正確；錯 【答案】 4.如圖 1-6-27，在三棱錐 F-ABC內(nèi)，側(cè)面 PACL底面 ABC 且/ PAG= 90, PA= 1, AB 側(cè)面 PACL底面 ABC 交線為 AC, / PAC= 90 （即 PA! AC ,二 PAL平面 ABC /. PA I AB, A PB=氣；PA+ AB = . 1 + 4 =5. 【答案】 ，5 5.如圖 1-6-28 , ABC為正三角形，ECL平面 ABC DBL平面 ABC CE= CA= 2BD, M是 EA的中點(diǎn)，N是EC中點(diǎn)，求證：平面 DMN平面ABC 【導(dǎo)學(xué)號：39292041