數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)技巧總結(jié)——排列、組合和二項式定理(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)技巧總結(jié)數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)技巧總結(jié)排列、組合和二項式定理排列、組合和二項式定理1.1.排列數(shù)中、組合數(shù)中。(1)(1)排列數(shù)公式排列數(shù)公式；。如 （1） 1！ +2！ +3！ +n?。ǎ?的個位數(shù)字為（答： 3） ；（2） 滿足的（答：8）(2)(2)組合數(shù)公式組合數(shù)公式；規(guī)定，。如已知，求 n，m 的值（答：mn2）(3)(3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)：； ； ； ；。2 2. .解排列組合問題的依據(jù)是解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加（每類方法都能獨(dú)立地完成這件事，它是相互獨(dú)立的，一次的且每次得出

2、的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事） ，分步相乘（一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的） ，有序排列，無序組合。比如：（1）將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有種（答：） ；（2） 從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺， 其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有種（答：70） ；（3）從集合和中各取一個元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中能確定不同點(diǎn)的個數(shù)是_（答：23） ；（4）72的正約數(shù)（包括1和72）共有個（答：12） ；（5）的一邊 AB 上有4個點(diǎn)，另一邊 AC 上有5個點(diǎn)，連同的頂點(diǎn)

3、共10個點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成_個三角形（答：90） ；（6）用六種不同顏色把右圖中 A、B、C、D 四塊區(qū)域分開，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色，則共有種不同涂法（答：480） ；精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)（7）同室4人各寫1張賀年卡，然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有種（答：9） ；（8）是集合到集合的映射，且，則不同的映射共有個（答：7）（9）滿足的集合 A、B、C 共有組（答：）3.3.解排列組合問題的方法有解排列組合問題的方法有：（1 1）特殊元素特殊元素、特殊位置優(yōu)先法特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考

4、慮有限制條件的元素的要求先考慮有限制條件的元素的要求，再再考慮其他元素；考慮其他元素；位置優(yōu)先法位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置） 。比如某單位準(zhǔn)備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號為1到6的6種不同花色的石材可選擇，其中1號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果有_種（答：300） ；某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數(shù)碼， 某人采用千位、 百位上的數(shù)字之積作為十位個位上的數(shù)字（如2816）的方法設(shè)計密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選0. 千位、百位上都能取0. 這

5、樣設(shè)計出來的密碼共有_種（答：100） ；用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)_個（答：156） ；某班上午要上語、數(shù)、外和體育4門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為_（答：6） ；四個不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個盒中。恰有兩個空盒的放法有_種；甲球只能放入第2或3號盒，而乙球不能放入第4號盒的不同放法有_種（答：84；96） ；設(shè)有編號為1、2、3、4、5的五個茶杯和編號為1、2、3、4、5的5個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有_種（答：31）（2） 間接法間接法 （對有限制

6、條件的問題對有限制條件的問題， 先從總體考慮先從總體考慮， 再把不符合條件的所有情況去掉再把不符合條件的所有情況去掉） )。如在平面直角坐標(biāo)系中，由六個點(diǎn)(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1,2)，(2,1)可以確定三角形的個數(shù)為_（答：15） 。（3）相鄰問題捆綁法相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁捆綁”為一個大元素，然后再與為一個大元素，然后再與其余其余“普通元素普通元素”全排列，最后再全排列，最后再“松綁松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列，將特殊元素在這些位置上全排列） 。比如：把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種

7、數(shù)為_（答：2880） ；某人射擊槍， 命中槍， 槍命中中恰好有槍連在一起的情況的不同種數(shù)為_（答：20） ；把一同排6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是_（答：144）（4）不相鄰不相鄰( (相間相間) )問題插空法問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件

8、的元素按要求插入排好的元素之間好的元素之間） 。比如：3人坐在一排八個座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數(shù)有_種（答：24） ；某班新年聯(lián)歡晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_（答：42） 。（5）多排問題單排法多排問題單排法。如若2n 個學(xué)生排成一排的排法數(shù)為 x，這2 n 個學(xué)生排成前后兩排，每排各 n 個學(xué)生的排法數(shù)為 y，則 x,y 的大小關(guān)系為_（答：相等） ；（6）多元問題分類法多元問題分類法。比如：某化工廠實(shí)驗生產(chǎn)中需依次投入2種化工原料，現(xiàn)有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時使用，且依

9、次投料時，若使用甲原料，則甲必須先投放. 那么不同的實(shí)驗方案共有_種（答：15） ；某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個部門.其中兩名英語翻譯人員不能同給一個部門；另三名電腦編程人員也不能同給一個部門，則不同的分配方案有_種（答：36） ；9名翻譯中，6個懂英語，4個懂日語，從中選撥5人參加外事活動，要求其中3人擔(dān)任英語翻譯，選撥的方法有_種（答：90） ；（7）有序問題組合法有序問題組合法。比如：書架上有3本不同的書，如果保持這些書的相對順序不便，再放上2本不同的書，有種不同的放法（答：20） ；百米決賽有6名運(yùn)動 A、B、C、D、E、F 參賽，每個運(yùn)動員的速度都不同，則運(yùn)動員

10、A 比運(yùn)動員 F 先到終點(diǎn)的比賽結(jié)果共有_種（答：360） ；學(xué)號為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績且滿足，則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況有_種（答：15） ；設(shè)集合， 對任意， 有， 則映射的個數(shù)是_（答：） ；如果一個三位正整數(shù)形如“”滿足， 則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120、363、374等） ，那么所有凸數(shù)個數(shù)為_（答：240） ；離心率等于(其中且)的不同形狀的的雙曲線的個數(shù)為_（答：26） 。（8）選取問題先選后排法選取問題先選后排法。如某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品， 每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分， 今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時，被

11、發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是_（答：576） 。（9）至多至少問題間接法至多至少問題間接法。如從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選出5人， 至少有2名女同學(xué)當(dāng)選的選法有_種 （答：精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)596）（10）相同元素分組可采用隔板法相同元素分組可采用隔板法。比如：10個相同的球各分給3個人， 每人至少一個， 有多少種分發(fā)？每人至少兩個呢？ （答：36；15） ；某運(yùn)輸公司有7個車隊， 每個車隊的車都多于4輛且型號相同， 要從這7個車隊中抽出10輛車組成一運(yùn)輸車隊，每個車隊至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？（答：84）4 4、分組問題分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組要

12、注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成平均分成 n n 組問題別忘組問題別忘除以除以 n n！ 。如4名醫(yī)生和6名護(hù)士組成一個醫(yī)療小組， 若把他們分配到4所學(xué)校去為學(xué)生體檢， 每所學(xué)校需要一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士的不同選派方法有_種（答：37440） ；5.5.二項式定理二項式定理：，其中組合數(shù)，其中組合數(shù)叫叫做第做第 r+1+1項的二項式系數(shù)；展開式共有項的二項式系數(shù)；展開式共有 n+1+1項，其中第項，其中第 r+l+l 項項稱為二項展開式的通項，二項展開式通項的主要用途是求指定的項稱為二項展開式的通項，二項展開式通項的主要用途是求指定的項. .特別提醒特別提醒：（1）項的系數(shù)與二項式系

13、數(shù)是不同的兩個概念，但當(dāng)二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù)。如在的展開式中，第項的二項式系數(shù)為，第項的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)就是二項式系數(shù)；（2）當(dāng) n 的數(shù)值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)；（3）審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？比如：的展開式中常數(shù)項是_（答：14） ；的展開式中的的系數(shù)為_（答：330） ；數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個數(shù)是_（答：3） ；展開后所得的的多項式中， 系數(shù)為有理數(shù)的項共有_項 （答： 7） ；若的值能被5整除，則的可取值的個數(shù)有_個（答：5） ；若二項式按降冪展開后，其第二項不大于第三項，則的取值范圍是

14、（答：） ；函數(shù)的最大值是_（答：1024） 。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)6 6、二項式系數(shù)的性質(zhì)二項式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對稱性對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值增減性與最大值：當(dāng)時，二項式系數(shù) C 的值逐漸增大，當(dāng)時,C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當(dāng) n 為偶數(shù)時，中間一項（第1項）的二項式系數(shù)取得最大值。當(dāng) n 為奇數(shù)時，中間兩項（第和1項）的二項式系數(shù)相等并同時取最大值。比如：在二項式的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為_（答：426） ；在的展開式中，第十項是二項式系數(shù)最大的項，則_（答：17,18或19） 。（3）二項式系數(shù)的和二項式系數(shù)的和：；。比如：如果，則（答：128） ；化簡（答：）7 7、 賦值法賦值法：應(yīng)用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和為、 “奇數(shù) (偶次)項”系數(shù)和為，以及“偶數(shù) (奇次)項”系數(shù)和為。比如：已知， 則等于_ （答：） ；，則_（答：2004） ；設(shè),則_（答：） 。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)8 8、系數(shù)最大項的求法、系數(shù)最大項的求法：設(shè)第項的系數(shù)最