專(zhuān)題23矩陣與變換解析版

1、專(zhuān)題23矩陣與變換1、（ 2019年江蘇卷）已知矩陣 A（1 ）求 A;（2）求矩陣A的特征值【分析】（1）利用矩陣的乘法運(yùn)算法則計(jì)算A的值即可；（2）首先求得矩陣的特征多項(xiàng)式，然后利用特征多項(xiàng)式求解特征值即可【解析】（1）因?yàn)锳A3 131所以2 222331 2311 2=232 2 212 22（2）矩陣A的特征多項(xiàng)式為11 510 6P點(diǎn)坐標(biāo).詳解：從而，所以A可逆,(2 )設(shè) P(x, y),則墨H；，所以彷咄卜心，f()令f（ ） 0，解得A的特征值11, 24.2、（ 2018年江蘇卷） 已知矩陣*（1 ）求的逆矩陣 ；（2）若點(diǎn)P在矩陣肛對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解

2、析】分析：（1）根據(jù)逆矩陣公式可得結(jié)果；（2）根據(jù)矩陣變換列方程解得因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3, -1）.點(diǎn)睛：本題考查矩陣的運(yùn)算、線(xiàn)性變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力03、（ 2017江蘇卷）已知矩陣 A =（1）求 AB ；若曲線(xiàn)C1：曽+與=1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線(xiàn)C2,求C2的方程.0 2規(guī)范解答：因?yàn)锳 =0 1所以AB =1 0P(x, y),設(shè)Q（X0, y0）為曲線(xiàn)C1上的任意一點(diǎn)，它在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)? x0 =x，即 2y0=x,所以 X0= X，0 y0 y X0= y,y0= 2因?yàn)辄c(diǎn)Q（X0, y°）在曲線(xiàn)C1上，所以罟+號(hào)=1,從而

3、卷+X8 = 1，即 x2 + y2= 8.因此曲線(xiàn)C1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線(xiàn)C2： x2+ y2= 8.4、（2016年江蘇卷）已知矩陣A2 ，矩陣B的逆矩陣B-1 =求矩陣AB.規(guī)范解答B(yǎng) - 1B =1 ab-；d2d2c1a 2°=b-；d = 0,解得a= 1,1b= 4,2c= 0,2d= 1 ,c= 0,1d= 2,所以B =15、(2015年江蘇卷)已知x,y R，向量a=11是矩陣10的屬于特征值2的一個(gè)特征向量，求矩11 -51 241 /因此，AB =40 210門(mén)0 12sin 0 cos 0陣A以及它的另一個(gè)特征值.規(guī)范解答 由已知，得Aa= 2

4、 a,x 1x 1 = 2,即 x= 1,y= 2,則y= 2,所以矩陣從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f(?)= ( H 2)( 11),令f( ?) = 0,解得A的特征值入=2,拒=1,所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.點(diǎn)突破二階矩陣與平面向量(1)矩陣的概念1在數(shù)學(xué)中，把形如3中按原來(lái)次序排列的一行數(shù)1, 3,'2, 0,(或字母)叫做矩陣的行，同一豎排中按原來(lái)次序排列的一列數(shù)(或字母)叫做矩陣這樣的矩形數(shù)字(或字母)陣列稱(chēng)為矩陣，其中，同一橫排的列，而組成矩陣的每一個(gè)數(shù)(或字母)稱(chēng)為矩陣的元素.bn:an xbn + a12Xb21；ana12b21ana12X0ana12X<0=a

5、21a22y°a21 x<0 + a22 Xy0二階矩陣與平面列向量的乘法二、.幾種常見(jiàn)的平面變換1 0(1) 當(dāng)M =時(shí)，則對(duì)應(yīng)的變換是恒等變換.0 1k 01 0(2) 由矩陣M =門(mén)或M =,(k>0)確定的變換TM稱(chēng)為(垂直)伸壓變換.0 10 k(3) 反射變換是軸對(duì)稱(chēng)變換、中心對(duì)稱(chēng)變換的總稱(chēng).cos 0 sin 0(4) 當(dāng)M =時(shí)，對(duì)應(yīng)的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，即把平面圖形(或點(diǎn))逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)0角度.(5) 將一個(gè)平面圖投影到某條直線(xiàn) (或某個(gè)點(diǎn))的變換稱(chēng)為投影變換.1k10(6)由矩陣M=0或1k1確定的變換稱(chēng)為切變變換三、線(xiàn)性變換的基本性質(zhì)x則 A.a=入X(1)

6、設(shè)向量a=入yyx1x2，則x1 x2(2)設(shè)向量a=3=a 3=.y1y2y1 y2(3) A是一個(gè)二階矩陣，a B是平面上任意兩個(gè)向量，入是任一實(shí)數(shù)，貝U A( a)= 2A a, A(a+ ®= Aa +A3.(4) 二階矩陣對(duì)應(yīng)的變換 (線(xiàn)性變換 )把平面上的直線(xiàn)變成直線(xiàn) (或一點(diǎn) )四、 二階矩陣的乘法a1 b1a2 b2(1) A =， B=，c1 d1c2 d2a1a2 b1c2 a1b2b1d2貝 AB =c1a2 d1c2 c1b2d1d2(2) 矩陣乘法滿(mǎn)足結(jié)合律 (AB)C= A(BC)幾種特殊的變換反射變換：1 0M =:點(diǎn)的變換為(x, y) f(x, y)

7、，變換前后關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；0 11 0M =:點(diǎn)的變換為(x, y) x, y)，變換前后關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；0 11 0M =:點(diǎn)的變換為(x, y) t(一x, y),變換前后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；0 101M =:點(diǎn)的變換為(x, y) t(y, x)，變換前后關(guān)于直線(xiàn) y= x對(duì)稱(chēng).10投影變換:10M =:將坐標(biāo)平面上的點(diǎn)垂直投影到x軸上，點(diǎn)的變換為(x, y) t(x, 0);00M =00 :將坐標(biāo)平面上的點(diǎn)垂直投影到y(tǒng)軸上，點(diǎn)的變換為(x, y) t(0, y)；0110M =:將坐標(biāo)平面上的點(diǎn)垂直于x軸方向投影到y(tǒng) = x上，點(diǎn)的變換為(x, y) t(x, x)；10 01M =:將坐標(biāo)平

8、面上的點(diǎn)平行于x軸方向投影到y(tǒng) = x上，點(diǎn)的變換為(x, y) t(y, y)；1 12 2M =:將坐標(biāo)平面上的點(diǎn)垂直于1 12 2y= x方向投影到y(tǒng) = x 上,點(diǎn)的變換為(x, y) tx+ y2五、逆變換與逆矩陣(1) 對(duì)于二階矩陣 A、B,若有AB = BA = E，則稱(chēng)A是可逆的，B稱(chēng)為A的逆矩陣.(2) 若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則 AB也存在逆矩陣，且(AB)規(guī)范解答解法1= B _1AI(3) 利用行列式解二元一次方程組.2.特征值與特征向量(1)設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果對(duì)于實(shí)數(shù)人存在一個(gè)非零向量 a,使Aa=入a,那么入稱(chēng)為A的一個(gè)特征值，而a稱(chēng)為A的屬于特征值 入

9、的一個(gè)特征向量.(2)從幾何上看，特征向量的方向經(jīng)變換矩陣A的作用后，保持在同一條直線(xiàn)上， 這時(shí)特征向量或者方向不變(入0)或者方向相反(入0)特別地，當(dāng) L 0時(shí)，特征向量就變換成零向量。題型突破題型一、由矩陣變換求曲線(xiàn)的方程由矩陣變換求曲線(xiàn)的方程一般式通過(guò)代換法求得，要分布設(shè)變換前與變換后的點(diǎn)坐標(biāo)，用變換后的坐 標(biāo)變式變換前的坐標(biāo)，然后代入變換前的方程即可。,（4 分）例1、(2019宿遷市直學(xué)校期末)已知矩陣M =1的一個(gè)特征值為=3,其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為a1，求直線(xiàn)11:1x+ 2y+ 1 = 0在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線(xiàn)12的方程.1由M% =入a得a所以a = 2, M1

10、 221.（2 分）設(shè) P1（X1,y1)是直線(xiàn)11上任意一點(diǎn)，在矩陣 M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P2(X2,y2)，且P2在曲線(xiàn)12 上.所以X1X2X2= X1 + 2y1,= 得（4分）y1y2y2= 2x1 + y1,1 2X1 = 3X2 + 3丫2,2 1y1 =護(hù)一3y2,（6分）代入直線(xiàn)11的方程得X2+ 1 = 0，所以曲線(xiàn)12的方程為x + 1 = 0.（10 分）解法2由M% =入a得所以a= 2,取直線(xiàn)11上兩點(diǎn)P1（ 1, 0）, P2（1,- 1）,由1 2M =.（2 分）2 11 1 1 22 , 2 111所以在矩陣 M對(duì)應(yīng)的變換作用下 Pl , P2變換為Q1

11、（ 1 , - 2）, Q2（ 1, 1）在曲線(xiàn)12上，（6分）又因?yàn)槎A矩陣把直線(xiàn)變?yōu)橹本€(xiàn)，所以曲線(xiàn)12就是經(jīng)過(guò)點(diǎn)Qi, Q2的直線(xiàn)x= 1.（10分）In 2例2、（2016南京三模）已知曲線(xiàn)C: x2+ 2xy+ 2y2= 1，矩陣A = U °所對(duì)應(yīng)的變換 T把曲線(xiàn)C變成曲線(xiàn)C1，求曲線(xiàn)C1的方程.思路分析 設(shè)變換T把曲線(xiàn)C上的任意點(diǎn)P（x, y）變成曲線(xiàn)C1上的點(diǎn)Q（x； y',）用x', y'表示x, y,代 入曲線(xiàn)C的方程x2 + 2xy+ 2y2= 1，則得關(guān)于x', y'的方程，這就是曲線(xiàn) C1的方程.1 2規(guī)范解答 設(shè)曲線(xiàn)C

12、上的任意一點(diǎn)P（x, y）, P在矩陣A =對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn) Q（x', y'.）1 01 2xx'貝U=, 即 x+ 2y= x, x= y,1 0yy '/ /所以 x = y ', y= x 2 y .（5 分）代入 x2+ 2xy+ 2y2= 1,得 y 2 + 2y '+ 2 2= 1，即 x 2 + y '2= 2,所以曲線(xiàn)C1的方程為x2+ y2= 2.（10分）例3、（2019 南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港三調(diào)）已知a, b, c, dR,矩陣A =1 c的逆矩陣A 1=.若曲線(xiàn)C在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得

13、到直線(xiàn)y= 2x + 1，求曲線(xiàn)C的方程.d 1a21 ca 2d ac 2100bd 1bdb01A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn) P ' x（, y',）-" 1 0規(guī)范解答 由題意得，AA1=，即0 1所以 a = 1, b= 1, c = 2, d = 0,1 2即矩陣A =.（5分）0 1設(shè)P（x, y）為曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)，在矩陣x '1 2xx '= x 2y,則=01，即，（8分）y01yy = y.由已知條件可知，P ' x（, y'滿(mǎn)足y= 2x+ 1,整理得2x 5y+ 1 = 0,所以曲線(xiàn)C的方程為2x 5y+ 1= 0

14、.（10分） 題型二 矩陣的特征值與特征向量求矩陣的特征值與特征向量要注意格式和步棸。先求特征值然后再求特征向量。2 1例4、（2019南京三模）已知矩陣 M =（1）求 M2；1 2(2)求矩陣M的特征值和特征向量.2 12 15 4規(guī)范解答(1) M2 =.（4 分）1 21 24 5*- 2 1(2)矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（ * =1 *- 2=（*- 1）（ *- 3）令f（入=0,解得M的特征值為 入=1 ,尼=3.（6分）2 1xxx+ y = 0,當(dāng)匕1時(shí)，=，得11 .（8 分）1 2yyx+ y = 0.令x= 1,貝U y=- 1,于是矩陣M的一個(gè)特征向量為當(dāng)L 3時(shí),21

15、x = 3 x 得 x y= 0,12y y ' x-y= 0.令x= 1,貝U y= 1,于是矩陣M的一個(gè)特征向量為因此，矩陣M的特征值為1, 3,分別對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量為1 11 ,1 .（10 分）已知x R，向量0是矩陣A1的屬于特征值 入的一個(gè)特征向量，求A-1.1規(guī)范解答由已知得0*= 2,1所以所以A =x= 0.0、r dab設(shè)A 1 =cd10ab則 AA-1 =0 2cdab1即=2c2d0所以a=1,b= c= 0,d =例5.(2018南通、泰州一調(diào))x10入與202.（4 分）所以1A-1 =0.（10 分）例6、(2016蘇州暑假測(cè)試)求矩陣4的特征值和特征向

16、量.6入 + 1.規(guī)范解答特征多項(xiàng)式f(*= o2=（H 1）（ 1 6）- 8 = * 5 入一14= （ 7）（ H 2）,由 f（為=0,解得 *= 7, * = - 2.（3 分）-468x 4y= 0,1將心7代入特征方程組，得2x+y“，即y = 2x可取2為屬于特征值“ 7的一個(gè)特征向量（6x 4y = 0,4同理，力=2時(shí)，特征方程組是即x = 4y,所以可取，為屬于特征值矗=22x 8y= 0, 1的一個(gè)特征向量.（8分）1 41綜上所述，矩陣 M =有兩個(gè)特征值 入=乙蘢=2.屬于力=7的一個(gè)特征向量為，屬于&2 624=2的一個(gè)特征向量為 _ 1 .（10分）題型

17、三矩陣運(yùn)算及逆矩陣（1）對(duì)于二階矩陣 A、B,若有AB= BA（2）若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則（3）利用行列式解二元一次方程組.例7、（2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)查）已知矩陣 A =-" 1 0規(guī)范解答因?yàn)锳A 1=，則有0 1E,則稱(chēng)A是可逆的，B稱(chēng)為A的逆矩陣.AB也存在逆矩陣，且（AB）1= B1A1.2 1be“，其逆矩陣A1 =，求A20 a0 12 1b c1 0=,（2 分）0 a0 10 1,（5 分）即 a = 1, b=1,c= 1,則A =212201 2 12 14 3則A2=.（100 10 10 1例8、（2018蘇州期末）已知矩陣M =1221分）1，向量

18、3=，求M4直7思路分析 若矩陣M的特征值為汕厶對(duì)應(yīng)的特征向量為a1, a,且 3= m a1 + n a, 則 M4 3= mM4a.（10 分）1 2+ nM4 a= m入4 a1+ n 於 a. 1 2 解法1（公式法）矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（?）= （ 1）2 4 =（入一3）（入 + 1）. （2分）2 11a= 1 .（5 分）令f（為=0,得特征值入=3, ?2= 1.1屬于入=3的一個(gè)特征向量為a1 = ，屬于？2= 1的一個(gè)特征向量為1321327設(shè) 3= m a + n a,易得 m= 4, n= 3,即 卩 3= 4 a1 3a, （7 分）所以 M 4 3= 4M 4

19、a1 3M 4 a= 4 a1 3 i a = 324解法2（直接法）因?yàn)镸4 = （M2）2，所以也可直接硬解.因?yàn)镸2=122 1所以M4 =4 545,41401所以m43=40417414040 41,（7 分）321327（10 分）a b易錯(cuò)警示 矩陣M =，若將M的特征多項(xiàng)式f（R =c d入一a b誤寫(xiě)為c 1 dab，雖c d然不影響特征值的結(jié)果，但是由此算得的對(duì)應(yīng)特征向量不正確.例9、（2018揚(yáng)州期末）下得到點(diǎn)N（3, 5），求矩陣A的逆矩陣A1132x13規(guī)范解答因?yàn)锳 =，即=153y15解法1 （定義法）設(shè) A1 =a b則AA 1c da = 2,b = 1,所以

20、A1 =21解得2.（10分）c= 3,3d = 2,2 + x= 3,x= 1,2 1，即解得所以A =.（5 分）3 + y= 5,y= 2,3 22a + c= 1,2 1a b1 03a + 2c= 0,即（7分）3 2cd0 12b + d = 0,3b + 2d= 1,1、（2019鹽城市2019屆高三第三次模擬考試）直線(xiàn)1: 2x y 3= 0 在矩陣 M =1 0所對(duì)應(yīng)的變換41TM下得到直線(xiàn)I',求I'的方程.規(guī)范解答在直線(xiàn)I上點(diǎn)取A（1 , 1）,2、（2018南京三模）已知矩陣 A=,若直線(xiàn)l: x y+ 2= 0在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作101一11=，故A

21、（1 , 1）在矩陣M的變換下得到 A' 1 , 3）, （4分）413再在直線(xiàn)I上取點(diǎn)B（2,1）,1022，在矩陣M的變換下得到B ' 2, 9）, （8 分）4119連結(jié)AB；可得直線(xiàn)I'： 6x + y+ 3= 0.（10分）0 10 1用下得到直線(xiàn)11,求直線(xiàn)l1的方程.思路分析設(shè)直線(xiàn)I上任意一點(diǎn)P（x,y）在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到直線(xiàn)I1 上的點(diǎn) Q（x', y',用 x',y表示x, y.由關(guān)于x, y的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x', y的方程.2 2°1 .(4 分)規(guī)范解答首先，AB = 求矩陣M的特征值.2 規(guī)

22、范解答(1) M = AB =1（2）矩陣M的特征多項(xiàng)式為X- 2一 2 山1 X 3= ( X 2)( X 3) 一 2=X一 5 入+ 4, 200 10 1設(shè)直線(xiàn)I上任意一點(diǎn)P(x, y)在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到直線(xiàn)丨1上的點(diǎn)Q(x', y',)x'2 2 xx'= 2x+ 2y,則=°1 ，即，(6分)y0 1 yy = y,1 ,x= x y,1得 令 f（ X = 0,解得 X = 1 , X = 4,因?yàn)?x y+ 2= 0,所以 y y '+ 2 = 0，即 x 4y '+ 4= 0.y=y '.所以直線(xiàn)l

23、1的方程是x 4y+ 4= 0.(10分)1 012A =x , B =,C= AB1 1033、（2018蘇北四市二模）已知矩陣（1）求矩陣C ；若直線(xiàn)11： x + y = 0在矩陣1規(guī)范解答(1) C = AB =C對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一直線(xiàn) 12,求l2的方程.0 11 201 2 1.(4 分)設(shè)直線(xiàn)I1 : x+ y= 0上任意一點(diǎn)（x, y）在矩陣C對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)（x ', y',）則x y =1 2 1xy,其坐標(biāo)變換公式為x '= x+ 2y, y x+ y.（6分）由此得 x= x 了 , y= x 丁 ,代入 x + y= 0 得 2xy

24、'= 0,即 2x y = 0,所以直線(xiàn)l2的方程為2x y= 0.（10分）4、（2017南京學(xué)情調(diào)研）已知矩陣0，設(shè) M = AB.1.(5 分)5、(2017蘇州暑假測(cè)試)已知2心1 )為矩陣A =-14屬于入的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a,入的值及A2.1 a 2 2規(guī)范解答由條件可知_ 1 41 “1，所以解得a = L 2.（5分）1 2因此A =,141 2 1 2所以A2=14 141014.（10 分）6、(2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)已知二階矩陣 的變換將點(diǎn)(一1,2)變換成(2,4).M有特征值 入=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量1e1=，并且矩陣M對(duì)應(yīng)1(1)求矩陣M ;(2)求矩

25、陣M的另一個(gè)特征值.a b11a + b1 2規(guī)范解答(1)設(shè)M =c d,M=8 =M=11c+ d24a + b= 8,a = 6 ,c+ d= 8,b= 2 ,62所以解得即M.(5 分)a + 2b = 2,c = 4 ,44c+ 2d = 4,d = 4 ,62(2)令特征多項(xiàng)式f(?) =41 4=（1 6）（ Z 4） 8= 0 , （8 分）a+ 2bc+ 2d,（3 分）解得入=8, ?2= 2.所以矩陣M的另一個(gè)特征值為2.(10分)1 27、(2018南京學(xué)情調(diào)研)設(shè)二階矩陣A =34（1）求 A1(2)若曲線(xiàn)C在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線(xiàn)c'： 6X2y2=

26、 1，求曲線(xiàn)C的方程.2 1規(guī)范解答(1)根據(jù)逆矩陣公式，可得A1=31.(4分)2 2(2)設(shè)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P(x, y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P'x(, y',)x'1 2xx+ 2y則 =y'3 4y3x 4yx'= x+ 2y, 所以 （8 分）y = 3x+ 4y.8y2 3x2= 1,因?yàn)?x : y'在曲線(xiàn)C '上，所以6x 2-y 2= 1，代入得6(x+ 2y)2(3x+ 4y)2 = 1,化簡(jiǎn)得所以曲線(xiàn)C的方程為8y2 3x2= 1.(10分)xOy中，設(shè)點(diǎn) A( 1,2)在矩陣M =8、(201 6南通、揚(yáng)

27、州、淮安、宿遷、泰州二調(diào))在平面直角坐標(biāo)系1 0對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)01A '，將點(diǎn)B(3,4)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn) B ，求點(diǎn) B 的坐標(biāo)5B. 規(guī)范解答 設(shè) B x（， y），1011依題意，由=，得A ' （1,2） （4分）01 22則 A1b= （2,2）, A% = （x 1 , y 2）.9、(2017 揚(yáng)州期末)已知a, bR，若點(diǎn)M（1, 2）在矩陣A =對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)N（2，01記旋轉(zhuǎn)矩陣N（6 分）100 12x 1 2x 1x= 1 ,則=即=,解得102y 22y 2y= 4,所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (1,4)(10分)7)，求矩陣 A 的特征值.a1規(guī)范解答 由題意得 ba 14127，即a 2 = 2,b 8 = 7,解得a= 4，所以A =41, （5分）b= 1 ,14所以矩陣A的特征多項(xiàng)式為f( AZ 4 1=Z 8 入+ 15. 1 Z 4令f( Z = 0,解得Z= 5或Z= 3,即矩陣A的特征值為5和3.(10分)10、(2018 鎮(zhèn)江期末)已知矩陣2aM=,其中 a, b 均為實(shí)數(shù)