2018年秋高中數(shù)學(xué)第3章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入階段復(fù)習(xí)課學(xué)案新人教A版選修1-2

1、第三課 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 核心速填 1 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及分類 代數(shù)形式為z = a+ bi( a, b R，其中實(shí)部為a，虛部為 b； (2) 共軛復(fù)數(shù)為 z = a bi( a, b R 復(fù)數(shù)的分類 復(fù)數(shù)a+ bj a, b R ,有理數(shù)* 整數(shù) 分?jǐn)?shù) |實(shí)數(shù) b=() l無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù) 純虛數(shù) a=() 虛數(shù) bO a( 4 非純虛 若z= a+ bi( a, b R)是實(shí)數(shù)，則z與z的關(guān)系為z= z . 若z= a+ bi( a, b R)是純虛數(shù)，則 z與z的關(guān)系為 z_i z = 0(z0) 2 與復(fù)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的問題 (1) 復(fù)數(shù)相等的充要條件 a= c, a+ bi

2、= c+ di ? 1 (a, b, c, d R). b= d 復(fù)數(shù)的模 復(fù)數(shù) z= a+ bi 的模 | z| = a2 + b2，且 z z = |z| 2= a2 + b2. (3) 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，若兩個(gè)復(fù)數(shù) zi = ai+ bii , Z2 = a2+ bd( ai, bi, a2, b2 R) 加法： 乙 + Z2= (ai+ a2) + (bi+ b2)i ； 減法： 乙一Z2= (ai a2) + ( bi b2)i ； 乘法： zi Z2= (aia2 bib2) + (aib2+ a2bi)i ； 除法： zi aia2+ bib2 + a2bi aib2 i aia2

3、 + bib2 a2bi aibj _ , Z2= a2 + b2 = a2+ b2 + a2 + b； i( Z20)； 3復(fù)數(shù)的幾何意義 (1) 任何一個(gè)復(fù)數(shù)z = a+ bi - 對(duì)應(yīng)著復(fù)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn) Z(a, b)，也 - 對(duì)應(yīng)著一個(gè)從 原點(diǎn)出發(fā)的向量0Z (2) 復(fù)數(shù)加法的幾何意義 若復(fù)數(shù)Zi、乙對(duì)應(yīng)的向量OZ、0Z不共線，則復(fù)數(shù) 乙+ Z2是以O(shè)Z、0Z為兩鄰邊的平行 四邊形的對(duì)角線0Z所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). (3) 復(fù)數(shù)減法的幾何意義 復(fù)數(shù)乙一Z2是連接向量OZ、OZ的終點(diǎn)，并指向 乙的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). 題型探究 (1)為實(shí)數(shù)；(2)為純虛數(shù)； (3) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限內(nèi)； (4)

4、復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線 x y= 0. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662162】 2 解 z R? a 3a+ 2= 0，解得 a= 1 或 a= 2. a2 2a= 0, Z 為純虛數(shù)，屮2 a2 3a+ 2 工 0, a= 0 或 a= 2, 即1 故a= 0. a 1 且 a 2. la 2a0, (3) z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則 2 a 3a+ 20, a2, , av0,或 a2. a2, a的取值范圍是(一g, 0) U (2 ,+s). 2 2 (4) 依題設(shè)(a 2a) (a 3a+ 2) = 0,. a= 2. 規(guī)律方法 處理復(fù)數(shù)概念問題的兩個(gè)注意點(diǎn) (1) 當(dāng)復(fù)數(shù)不是a+ bi a, b

5、 R 的形式時(shí)，要通過變形化為 a+ bi 的形式，以便確定 其實(shí)部和虛部. (2) 求解時(shí)，要注意實(shí)部和虛部本身對(duì)變量的要求，否則容易產(chǎn)生增根 跟蹤訓(xùn)練 1. (1)若復(fù)數(shù)z = 1 + i(i 為虛數(shù)單位)，z是z的共軛復(fù)數(shù)，貝 U z2 + z 2的虛部為( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 (2)設(shè) i 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) a 嚴(yán)(a R)是純虛數(shù)，則a的值為( ) 3 i 義，知a 3= 0，所以a= 3. 復(fù)數(shù)的幾何意義 一 2+ 3i （1）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) （i 是虛數(shù)單位）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） 3 4i A.第一象限 C.第三象限 已知復(fù)數(shù)Z1= 2+ 3i , Z

6、2= a+ bi , Z3= 1 4i，它們在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為 B, C.若 0(= 20陽 OB 則 a = 解析(1) 4=二 丄=亠 3 4i 25 25 18 1 一 2 斗 3i 25+ 25：，復(fù)數(shù) 3 4i 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限. f f f / 0C= 20冊 OB 1 4i = 2(2 + 3i) + (a+ bi) 了 1 = 4+ a, |a= 3, 即 4= 6 + b, |b= 10. 答案(1)B (2) 3 10 跟蹤訓(xùn)練 2. 若 i 為虛數(shù)單位，如 3-1 圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn) Z表示復(fù)數(shù) z,則表示復(fù)數(shù) 1 臺(tái)的點(diǎn)是（ ） A. 3 B. 1 C. 1 D

7、. 3 (1)A (2)D 因?yàn)閦= 1 + i，所以z = 1 i，所以 2 2 2 2 z + z = (1 + i) + (1 i) 2i + ( 2i) = 0.故選 A. (2)因?yàn)?a 3 a-4= r =（a 3） i ,由純虛數(shù)的卜D.第四象限 LI - -I I LI i 1！-! j j i I r ir 1 2 3 4 5 (2 , - 1)，即 H 點(diǎn). 櫻窮 . . . j 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 例 (1)已知z是z的共軛復(fù)數(shù)，若 z z i + 2= 2z,則z=( ) A 1 + i B. 1-i C. 1 + i D. 1- i 3 + 2i r z1 已知復(fù)數(shù)乙一

8、2 3i , Z2- 2 + 1 2,則一( )z2 A. 4+ 3i B. 3+ 4i C 3-4i D. 4-3i (1)解析 設(shè) z = a+ bi( a, b R)，貝 U z = a- bi，代入 z z i + 2= 2z 中得，(a + 2 2 bi)( a- bi)i + 2= 2(a+ bi)，二 2+ (a + b )i = 2a + 2bi , 2a = 2, 2 . 2 c a + b = 2b, 答案(1)A (2)D 母題探究：1.本例題(1)中已知條件不變，則 = _ z i 由解析知z= 1 + i，所以z = 1 i. 2.本例題(2)中已知條件不變，則 Z1

9、Z2= _ 圖 3-1 A. E C. G D 點(diǎn)B. F D. H z= 3+ i , z iTi 3+ i iTi ：i+i T! 1-1 4- 2i 2 =2-i ,該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 由復(fù)數(shù)相等的條件a= 1, b= 1. z= 1 + i，故選 A. Z1 zr 22 + i 2 3 + 2i /-a. 2+i :口 4丄 =4 3i. 1 + i 16 63： zz 2 ；i 3 + 2i 25 25： - Z1Z2= +i 2 12 5i 12 R 3 -li 3 + 4i - ” 16 63i 16 63 =32+ 42 = 25 25i. 規(guī)律方法(1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多

10、項(xiàng)式的乘法運(yùn)算類似； (2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，將分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，最后整理成 a+ b a, b R 的結(jié)構(gòu)形式. (3) 利用復(fù)數(shù)相等，可實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題的實(shí)數(shù)化 實(shí)數(shù)a的取值范圍 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662164】 解設(shè) z = x+ yi( x, y R), 則 z + 2i = x + (y + 2)i 為實(shí)數(shù)，二 y= 2. x 2i 1 廠二 5(x - 2i)(2 +1 實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6). 規(guī)律方法一般設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，即z= x + yi x, y R ，則涉及復(fù)數(shù)的分 類、幾何意義、模的運(yùn)算、四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)等問題，都可以轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù) x，y應(yīng)滿足的 條件，即復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化的思想是本章的主要思想方法 跟蹤訓(xùn)練 2 3. 已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(x + y) 3xyi = 4 6i，求x，y. 解 設(shè) x = a+ bi( a， b R)，則 y= a bi. 1 1 =5(2X+ 2) + 5( x 4)i 為實(shí)數(shù)， x=4. z= 4 2i，又( z+ ai) 2= (4 2i + ai) 2= (12 + 4a a2) + 8(a 2)i 在第一象 限. z 2i 12+ 4a a20 汁a2汕 ，解得 2a6. 2 又(x + y) - 3xyi = 4-6i , 4 a2 3( a2+ b