隨機樣本與統(tǒng)計量實用教案

1、引言引言(ynyn)(ynyn)數(shù)理統(tǒng)計作為一門學(xué)科誕生(dnshng)于19世紀末20世紀初，它以概率論為基礎(chǔ)(jch)，來研究隨機現(xiàn)象，作出合理的估計和判斷. 根據(jù)試驗觀察得到的數(shù)據(jù)，以便對研究對象的客觀規(guī)律性數(shù)理統(tǒng)計的任務(wù)包括：限的數(shù)據(jù)資料；究，從而對研究對象的性質(zhì)、特點，作出合理的推斷,此即所謂的統(tǒng)計推斷問題， 本課程主要講述統(tǒng)計推斷的基本內(nèi)容.怎樣有效地收集、整理有怎樣對所得的數(shù)據(jù)資料進行分析、研第1頁/共16頁第一頁，共16頁。一一. . 隨機樣本隨機樣本通常把服從一定的統(tǒng)計分布(fnb)的統(tǒng)計指標稱為總體.個體是統(tǒng)計(tngj)指標的特定觀察值,總體(zngt)常被看成隨機變量,

2、一般用大寫字母X, Y, Z表示.且它的取值也是隨機的,一般用小寫字母x, y, z表示.總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量,容量有限的稱為有限總體,容量無限的稱為無限總體.例如，考察某大學(xué)一年級新生的體重情況，一年級全體新生的體重就構(gòu)成了待研究的總體.則該校總體(一年級新生的體重)中的每一個新生的體重為一個個體.第2頁/共16頁第二頁，共16頁?？傮w(zngt)與個體的關(guān)系，即集合(jh)論中集合(jh)與元素的關(guān)系.在數(shù)理統(tǒng)計中所關(guān)心(gunxn)的并非每個個體的所有性質(zhì)，而僅僅是它的某一項或幾項指標.代表總體的指標(如一年級新生的體重)是一個隨機變量,X個體是隨機變量X的一個取值，(

3、或幾個)隨機變量可能取的值的全體.總體中每個從而總體就是指某個于是， 一個總體就對應(yīng)于一個(或幾個)隨機變量，對總體的研究就相當于對這一個（或幾個)隨機變量的研究.把隨機變量（或向量） 的分布稱為總體分布.X第3頁/共16頁第三頁，共16頁。一一. . 隨機樣隨機樣本本通常(tngchng)把服從一定的統(tǒng)計分布的統(tǒng)計指標稱為總體.個體(gt)是統(tǒng)計指標的特定觀察值,總體(zngt)常被看成隨機變量,一般用大寫字母X, Y, Z表示.且它的取值也是隨機的,一般用小寫字母x, y, z表示.總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量,容量有限的稱為有限總體,容量無限的稱為無限總體.把隨機變量（或向量）

4、 的分布稱為總體分布.X第4頁/共16頁第四頁，共16頁。樣本樣本(yn(yngbn)gbn)為對總體分布及其特性進行(jnxng)統(tǒng)計推斷，需按一定(ydng)的規(guī)則從總體中抽取若干個體進行觀察，通過觀察可得到關(guān)于總體X的一組數(shù)值,21xx,nx其中), 2 , 1(nixi 是第i次抽取的個體的數(shù)量指標iX的觀察值.上述抽取過程稱為抽樣，個體稱為樣本， 樣本中所含個體數(shù)目稱為樣本的容為對總體進行合理的統(tǒng)計推斷，所抽取的部分量.我們還需要在相同的條件下進行多次重復(fù)的、故樣本是一個隨機變量（或向量）.容量為n的樣本可獨立的抽樣觀察，視為n維隨機向量,21nXXX第5頁/共16頁第五頁，共16頁

5、。一旦(ydn)具體取定一組樣本，便得到樣本(yngbn)的一次具體的觀察值,21nxxx稱其為樣本(yngbn)值，成的集合稱為樣本空間.地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法，全體樣本值組為了使抽取的樣本能很好最常用的一種抽樣方法稱為簡單隨機抽樣，本滿足下面兩個條件：它要求抽取的樣1.代表性：nXXX,21與所考察的總體具有相同的分布；2. 獨立性：nXXX,21是相互獨立的隨機變量.第6頁/共16頁第六頁，共16頁。由簡單(jindn)隨機抽樣得到的樣本稱為簡單(jindn)隨機樣本，可用與總體獨立同分布的n個相互獨立的隨機變量nXXX,21表示.注：今后假定所考慮(kol)的樣本均為簡單隨

6、機樣本，稱為(chn wi)樣本.簡第7頁/共16頁第七頁，共16頁。樣本分布樣本分布設(shè)總體X的分布函數(shù)為),(xF由樣本(yngbn)的獨立性，簡單隨機樣本nXXX,21的聯(lián)合分布函數(shù)為 niinxFxxxF121)(),(并稱(bn chn)其為樣本分布.（1）其概率分布為),(ixp則樣本,nXXX12的概率分布為則X為離散型隨機變量，若總體),(),(121 niinxpxxxp稱其為離散(lsn)樣本概率分布.第8頁/共16頁第八頁，共16頁。（2）其概率密度為X為連續(xù)型隨機變量，若總體),(xf則樣本(yngbn)的概率密度為)(),(121 niinxfxxxf稱其為連續(xù)(lin

7、x)樣本概率密度.例1如果總體X服從以)10( pp為參數(shù)的10 分布(fnb),則稱總體X為01分布的總體,即,P XP1.P Xp 01不難算出其樣本,nXXX12的概率分布為,()11221nnsn snnP Xi XiXipp 其中.12nnsiii(, , ,),0or11 2kiin第9頁/共16頁第九頁，共16頁。定義(dngy)二二. . 統(tǒng)計量與抽樣統(tǒng)計量與抽樣(chu (chu yn)yn)分布分布設(shè)nXXX,1是來自總體X的容量為n的樣本(yngbn),12nxxx是相應(yīng)的樣本值,(,)12ng XXX是樣本,12nXXX的函數(shù).如果函數(shù)g中不含有任何未知參數(shù), 則稱(,

8、)12ng XXX為一個統(tǒng)計量,稱(,)12ng xxx為統(tǒng)計量(,)12ng XXX的觀測值.第10頁/共16頁第十頁，共16頁。例如(lr)，設(shè)總體X服從正態(tài)分布，, 5)( XE22,)( XD未知.,nXXX12為總體的一個令,21nSXXXXSnnn 樣本(yngbn)，則nS與X均為該樣本的統(tǒng)計量，但 )5( XnU不是該樣本(yngbn)的統(tǒng)計量，因其含有總體分布中的未知. 參數(shù)第11頁/共16頁第十一頁，共16頁。例2已知總體( ,)XN 2， 其中 未知, 0已知,試判斷樣本,nXXX12的下列函數(shù)是否為統(tǒng)計量.(1)(2)();nXXX 2221221(3)()()() .

9、nXXX22212();nXXXn222121第12頁/共16頁第十二頁，共16頁。常用常用(chn (chn yn)yn)統(tǒng)計統(tǒng)計量量設(shè)nXXX,1是來自總體X的一個樣本,12nxxx是相應(yīng)(xingyng)的樣本值.1).樣本均值,11niiXXn 它的觀測(gunc)值記作.11niixxn 第13頁/共16頁第十三頁，共16頁。2).樣本(yngbn)方差(),2222111111nniiiiSXXXnXnn它的觀測(gunc)值記作() .22111niisxxn 3).樣本(yngbn)標準差() ,22111niiSSXXn 它的觀測值記作() .22111niissxxn 第14頁/共16頁第十四頁，共16頁。4).樣本(yngbn)k階原點矩(, , ,),111 2 3nkkiiAXkn 它的觀測(gunc)值記作(,