電磁學(xué)矢量分析學(xué)時(shí)資料

1、1會(huì)計(jì)學(xué)電磁學(xué)矢量分析學(xué)時(shí)資料電磁學(xué)矢量分析學(xué)時(shí)資料 矢量分析是研究電磁場(chǎng)的空間分布及其變化規(guī)律矢量分析是研究電磁場(chǎng)的空間分布及其變化規(guī)律的數(shù)學(xué)工具。的數(shù)學(xué)工具。第第1 1章章 矢量分析矢量分析u理解標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)的概念，了解標(biāo)量場(chǎng)的等值面和矢量場(chǎng)的矢量線的理解標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)的概念，了解標(biāo)量場(chǎng)的等值面和矢量場(chǎng)的矢量線的概念概念本章教學(xué)基本要求本章教學(xué)基本要求u熟練掌握直角坐標(biāo)系，圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系等三種常用的坐標(biāo)系。熟練掌握直角坐標(biāo)系，圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系等三種常用的坐標(biāo)系。u矢量場(chǎng)的散度和旋度、標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量分析中最基本的概念，應(yīng)深矢量場(chǎng)的散度和旋度、標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量分析中最基本的概

2、念，應(yīng)深刻理解，掌握散度、旋度和梯度的計(jì)算公式和方法?？汤斫猓莆丈⒍?、旋度和梯度的計(jì)算公式和方法。u散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的兩個(gè)重要定理，應(yīng)熟練掌握和散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的兩個(gè)重要定理，應(yīng)熟練掌握和應(yīng)用。應(yīng)用。u理亥姆霍茲定理的重要意義。理亥姆霍茲定理的重要意義。在后面的課件中，對(duì)重要的概念將標(biāo)紅色,對(duì)重要的公式將打粉底。cosA BAB 1.1 1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標(biāo)量標(biāo)量(scalar)：一個(gè)只用大小即可描述的物理量一個(gè)只用大小即可描述的物理量(如溫度、高度等）。如溫度、高度

3、等）。AAeAAAe AeAA矢量矢量( (vector) )：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用粗黑字一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用粗黑字 母（印刷體）或帶箭頭的字母（手寫體）表示。母（印刷體）或帶箭頭的字母（手寫體）表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示。用一條有方向的線段來(lái)表示。 常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示 箭頭箭頭 ： 或A矢量的幾何表示矢量的幾何表示A AxxyyzzAA eA eA e(coscoscos )xyzAA eeecoscoscosAxyzeeee矢

4、量可用三個(gè)坐標(biāo)分量表示：矢量可用三個(gè)坐標(biāo)分量表示：zAxAAyAzxyO（cos、cos、cos 為為方向余弦）方向余弦）（ 、為為 方向角）方向角）coscoscosxyzAAAAAA（1 1）矢量的加減法）矢量的加減法()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線四邊形的對(duì)角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律1.2. 1.2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB 在直角坐標(biāo)系中兩矢

5、量的加法和減法：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律：結(jié)合律：()()ABCABCABBA交換律：交換律：8（2 2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）xxyyzzkAe kAe kAe kAcosxxyyzzA BABA BA BA B 矢量的標(biāo)積符合交換律矢量的標(biāo)積符合交換律1xxyyzzeeeeee0 xyyzzxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角AB0A B / /ABA BAB A BB A AB（4）矢量）矢量的矢積（叉積）的矢積（叉積）sinnABe AB()()()xyzzyyzxxzzxyyxABeA BA BeA BA BeA B

6、A BxyzxyzxyzeeeABAAABBBABBA sinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為ABABAB若若 ，則，則/ /AB0AB若若 ，則，則矢量的標(biāo)積不符合交換律矢量的標(biāo)積不符合交換律（5）矢量的混合運(yùn)算矢量的混合運(yùn)算()ABCA CB C ()ABCA CBC()()()ABCBCACAB()()()ABCA C BA B C 分配律分配律 分配律分配律 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積 矢量三重積矢量三重積 由三條相互正交的線組成的、用于確定三維空間任意點(diǎn)位置的體由三條相互正交的線組成的、用于確定三維空間任意點(diǎn)位置的

7、體系，稱為系，稱為正交坐標(biāo)系正交坐標(biāo)系。三條正交線稱為。三條正交線稱為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸特性的；描述坐標(biāo)軸特性的量稱為量稱為坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量。 在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常見的正交坐標(biāo)系為：在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常見的正交坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。1.2 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量ddddxyzlexeye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y體積元體積元dd d dV

8、x y zdd dd dyyxzySellex z坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量, ,x y z坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量,xyze e e 點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeyex yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd直角坐標(biāo)系主要用于直角坐標(biāo)系主要用于面對(duì)稱分布場(chǎng)問題面對(duì)稱分布場(chǎng)問題的求解，如無(wú)的求解，如無(wú)限大平面分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。限大平面分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系dd dd

9、ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle , ,z 坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量,zee e 坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzreee z 線元矢量線元矢量dd d dVz 體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與直角圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系坐標(biāo)之間的關(guān)系z(mì)zxyyx ,arctan ,22柱面坐標(biāo)系主要用于柱面坐標(biāo)系主要用于軸對(duì)稱分布場(chǎng)問題軸對(duì)稱分布場(chǎng)問題的求解，如無(wú)的求解，如無(wú)限長(zhǎng)線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)。限長(zhǎng)線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)。( (是否常矢量？是否常矢量？)

10、 )球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系2dd dsin d drrrSe lle r dd dsin d drzSel le rrdd dd drSel le r r球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元, ,r 坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量,re e e 坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量rre r位置矢量位置矢量dddsin drre re re r 線元矢量線元矢量2dsin d d dVrr 體積元體積元三個(gè)面元矢量三個(gè)面元矢量(0, 0, 02 )r xyrzzyxrarctan,arccos,222球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的換算關(guān)系球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的換算關(guān)系cos,sinsin,co

11、ssinrzryrx球坐標(biāo)系主要用于球坐標(biāo)系主要用于點(diǎn)對(duì)稱分布場(chǎng)點(diǎn)對(duì)稱分布場(chǎng)問題的求解，如點(diǎn)電荷問題的求解，如點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。產(chǎn)生的電場(chǎng)。( (是否常矢量？是否常矢量？) )三種坐標(biāo)單位矢量之間的變換關(guān)系三種坐標(biāo)單位矢量之間的變換關(guān)系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)VSVS圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo) VS VS球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)VSVS球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)ereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinoxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱

12、坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系xeyeeeorz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系z(mì)eeree1.3 1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度q 如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)。 例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)等。例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)等。q 如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)。 例如：流速場(chǎng)例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。q 如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)，反之為，反之為時(shí)變場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)。時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢

13、量場(chǎng)可分別表示為：時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t 在某任意時(shí)刻，在確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定的物理量與之對(duì)應(yīng)在某任意時(shí)刻，在確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定的物理量與之對(duì)應(yīng)，則稱在該區(qū)域上存在一個(gè)，則稱在該區(qū)域上存在一個(gè)場(chǎng)場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)。n 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)( , , )u x y z 、( , , )F x y z靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值面等值面等值面: : 標(biāo)量場(chǎng)取

14、得同一數(shù)值的點(diǎn)在空標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。間形成的曲面。( , , )u x y zC等值面方程：等值面方程： 常數(shù)常數(shù)C C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；值面，形成等值面族； 標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間； 標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。 等值面的特點(diǎn)：等值面的特點(diǎn)：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。二維u(x,y)三維u(x,y,z)方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)代表了標(biāo)量場(chǎng)空間中某點(diǎn)處場(chǎng)

15、值沿某方向上的變化率。方向?qū)?shù)代表了標(biāo)量場(chǎng)空間中某點(diǎn)處場(chǎng)值沿某方向上的變化率。 定義式：定義式：000()()limlMu Mu Mull M0Mll( )u rcoscoscoszuyuxulzzulyyulxxulu 方向?qū)?shù)的計(jì)算（直角坐標(biāo)系中）：方向?qū)?shù)的計(jì)算（直角坐標(biāo)系中）：為方向?yàn)榉较?的方向余弦。的方向余弦。 lcoscoscos、式中式中 、 、 分別為分別為 與與x, y, z x, y, z 坐標(biāo)軸的夾角。坐標(biāo)軸的夾角。 l 方向?qū)?shù)的物理意義：方向?qū)?shù)的物理意義：00Mul，標(biāo)量場(chǎng)，標(biāo)量場(chǎng) u 在在M0 處沿處沿 方向增加；方向增加；00Mul，標(biāo)量場(chǎng)，標(biāo)量場(chǎng) u 在在

16、M0 處沿處沿 方向減小；方向減?。?0Mul，標(biāo)量場(chǎng)，標(biāo)量場(chǎng) u 在在 M0 處沿處沿 方向無(wú)變化。方向無(wú)變化。llll特點(diǎn)：特點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。 問題問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 梯度的定義：梯度的定義： 梯度的性質(zhì)：梯度的性質(zhì)：標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的

17、空間變化率。方向上場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。的投影。標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）意義：意義：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向。描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向。概念：概念： ，其中其中 取得最大值的方向。取得最大值的方向。max|nuuel nuel為 梯度的計(jì)算梯度的計(jì)算1rzuuuueeerrz 11sinruuuueeerrr 直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：()xyzxyzuuugrad ueeexyzeee ux

18、yz哈密頓算符哈密頓算符u 球坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：11()sinreeerrr 圓柱坐標(biāo)系：圓柱坐標(biāo)系：1()rzeeerrz “del” or “Nabla”0()()()( )( )CCuC uuvuvuvu vv uf ufuu 梯度運(yùn)算相關(guān)公式梯度運(yùn)算相關(guān)公式式中：式中：C C 為常數(shù)；為常數(shù)；u,vu,v為標(biāo)量函數(shù)。為標(biāo)量函數(shù)。 1 1、矢量線、矢量線 意義：意義： 形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。 ( , , )( , , )( , , )xyzdxdydzF x y zF x y zF x y z矢量線方程：矢量線方程：矢量線矢量線M M

19、 FdrrrdrxxyyzzFF eF eF e若有矢量若有矢量 ，則其矢量線方程為，則其矢量線方程為定義：定義：用于描述矢量空間分布的有向曲線。用于描述矢量空間分布的有向曲線。（1 1）矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大小。）矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大小。（2 2）矢量線上每點(diǎn)的切線方向代表該處矢量場(chǎng)的）矢量線上每點(diǎn)的切線方向代表該處矢量場(chǎng)的方向。方向。矢量線舉例矢量線舉例磁場(chǎng)線電場(chǎng)線2 2、矢量場(chǎng)的通量、矢量場(chǎng)的通量 問題：?jiǎn)栴}：如何定量描述矢量場(chǎng)的大??？如何定量描述矢量場(chǎng)的大??？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 dddnSSFSF eS通量的概念：通量的概念：ddnSe S其中：其中：面積元矢

20、量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSddnF e S穿過面積元穿過面積元 的通量；的通量； 如果曲面如果曲面 S S 是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：ddnSSFSF eS),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量1) 1) 面元矢量面元矢量 定義：面積很小的有向曲面。定義：面積很小的有向曲面。dS：面元面積，為微分量，數(shù)學(xué)上為無(wú)限小；：面元面積，為微分量，數(shù)學(xué)上為無(wú)限小；dSne：面元法線方向，垂直于面元平面。：面元法線方向，垂直于面元平面。 nedS2

21、) 2) 面元法向面元法向 的確定方法：的確定方法： 對(duì)非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手螺旋定則確定；對(duì)非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手螺旋定則確定； 對(duì)閉合曲面：閉合面的外法線方向。對(duì)閉合曲面：閉合面的外法線方向。ne面元矢量面元矢量 0通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出（正源）（正源）0有凈的矢量有凈的矢量線進(jìn)入線進(jìn)入（負(fù)源）（負(fù)源）0進(jìn)入與穿出閉合曲進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等（無(wú)源）（無(wú)源）矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量的三種可能結(jié)果：矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量的三種可能結(jié)果： 閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)閉合曲面的通量從宏

22、觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義：通量的物理意義：散度散度 散度的定義散度的定義0( )div( )limsVF rdF rVS 在場(chǎng)空間在場(chǎng)空間 中任意點(diǎn)中任意點(diǎn) M M 處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為 ，則場(chǎng)矢量則場(chǎng)矢量 在在 M M 點(diǎn)處的散度定義為：點(diǎn)處的散度定義為： ( )F rV( )F r即流出單位體積元封閉面的通量。即流出單位體積元封閉面的通量。 散度散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。積之比的極限。

23、 散度的物理意義散度的物理意義 矢量場(chǎng)的散度值表征空間中某點(diǎn)處通量源的密度。矢量場(chǎng)的散度值表征空間中某點(diǎn)處通量源的密度。( ( （正源正源) )( )0divF r （負(fù)負(fù)源源) )( )0divF r( ( （無(wú)源無(wú)源）( )0divF r 若若 ，則該矢量場(chǎng)稱為有散場(chǎng)，則該矢量場(chǎng)稱為有散場(chǎng)， 為源密度。為源密度。( )0divF r 若若 ，則該矢量場(chǎng)稱為無(wú)散場(chǎng)。，則該矢量場(chǎng)稱為無(wú)散場(chǎng)。( )0divF r 在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：( )yxzFFFdivF rxyz() ()xyzxxyyzzeeeF eF eF exyz( )F r 在圓柱坐標(biāo)系下：在圓柱坐標(biāo)系下： 在球坐標(biāo)系

24、下：在球坐標(biāo)系下：()11( )zFFFF rz22111( )()(sin)sinsinrFF rr FFrrrr 散度的計(jì)算公式散度的計(jì)算公式 散度運(yùn)算相關(guān)公式散度運(yùn)算相關(guān)公式0 ()()()()()()()CCCCfCffkFkF kf FfFFfFGFG 為常矢量為標(biāo)量函數(shù)為常數(shù)散度定理（矢量場(chǎng)的高斯定理）散度定理（矢量場(chǎng)的高斯定理）( )( )VSF r dVF rdS 物理意義物理意義： 矢量場(chǎng)的散度在體積矢量場(chǎng)的散度在體積V V上的體積分等于矢量場(chǎng)在限上的體積分等于矢量場(chǎng)在限定該體積的閉合曲面定該體積的閉合曲面S S上的面積分。上的面積分。對(duì)空間區(qū)域?qū)臻g區(qū)域V V剖分；剖分；對(duì)

25、于每個(gè)小體積元對(duì)于每個(gè)小體積元 V V，由散度定，由散度定義可知：義可知：00( )( )limlimiisVVF rdSdF rVVdV 則在一定體積則在一定體積V V內(nèi)的總的通量為：內(nèi)的總的通量為：( )( )( )iNiiVsSiF r dVF rdSF rdS ( )sF rdS體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S證明：證明：矢量場(chǎng)的環(huán)流矢量場(chǎng)的環(huán)流( )CF rdl 線元矢量線元矢量 ：長(zhǎng)度趨近于：長(zhǎng)度趨近于0 0，方向沿路徑切線方向。，方向沿路徑切線方向。dl 物理意義：物理意義：若矢量場(chǎng)環(huán)流不為零，則矢量場(chǎng)中存在產(chǎn)生矢量若矢量場(chǎng)環(huán)流不為零，則矢量場(chǎng)中存在產(chǎn)生矢量場(chǎng)的漩渦源

26、。場(chǎng)的漩渦源。在矢量場(chǎng)在矢量場(chǎng) 空間中，場(chǎng)量空間中，場(chǎng)量 沿有向沿有向閉合路徑閉合路徑 的線積分稱為矢量的線積分稱為矢量 沿閉合沿閉合路徑路徑 的的環(huán)流環(huán)流，即：，即：( )F r( )F r( )F rC1.5 1.5 矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的環(huán)流環(huán)流與旋度與旋度( )F rdlCC34q 如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)，又稱為又稱為保守場(chǎng)保守場(chǎng)。q 如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢有旋矢量場(chǎng)量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為，能夠激發(fā)有旋矢量

27、場(chǎng)的源稱為旋渦源旋渦源。 電流是磁場(chǎng)的旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。環(huán)流面密度環(huán)流面密度0limcnnsFdlrot FeS ( )F rne 空間某點(diǎn)空間某點(diǎn)M M處沿單位面元處沿單位面元 S S 邊界閉合曲線的環(huán)流邊界閉合曲線的環(huán)流稱為矢量場(chǎng)稱為矢量場(chǎng) 在在M M點(diǎn)處沿點(diǎn)處沿 方向的環(huán)流面密度。方向的環(huán)流面密度。SCMFne環(huán)流面密度大小與所選取的單位面元方向環(huán)流面密度大小與所選取的單位面元方向 有關(guān)。有關(guān)。ne 矢量場(chǎng)在矢量場(chǎng)在M M點(diǎn)的旋度點(diǎn)的旋度為該點(diǎn)處的最大環(huán)流面密度，其方向?yàn)榄h(huán)流面密為該點(diǎn)處的最大環(huán)流面密度，其方向?yàn)榄h(huán)流面密度取得最大值的面元法線方向，記為度取得最大值的面元法線方向

28、，記為 ，即：，即：rot F式中：式中： 表示矢量場(chǎng)旋度的方向。表示矢量場(chǎng)旋度的方向。它是環(huán)流面密度取得最大值的面元正法線單位矢量。它是環(huán)流面密度取得最大值的面元正法線單位矢量。nmax0rotlimcnSF dlFnS 旋度的物理意義旋度的物理意義矢量場(chǎng)的旋度表征了矢量場(chǎng)在空間某點(diǎn)處的漩渦源密度。矢量場(chǎng)的旋度表征了矢量場(chǎng)在空間某點(diǎn)處的漩渦源密度。旋度旋度 旋度的計(jì)算旋度的計(jì)算 直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe Fxyzxyzxyzeee

29、FxyzFFF可見，旋度描述了場(chǎng)分可見，旋度描述了場(chǎng)分量在量在與其垂直的方向上與其垂直的方向上的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF 柱面坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)系： 球面坐標(biāo)系：球面坐標(biāo)系：矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零()fFfFfF ()fCfC 0C()FGFG ()FGGFFG()0F ()0u 旋度計(jì)算相關(guān)公式：旋度計(jì)算相關(guān)公式：無(wú)散場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng) 矢量場(chǎng)的旋度在曲面矢量場(chǎng)的旋度在曲面S上的面積分等于該矢量場(chǎng)沿限定該曲面的上的面積分等于該矢量場(chǎng)沿限定該曲面的閉合路徑閉合路

30、徑C上的線積分。上的線積分。斯托克斯定理斯托克斯定理SCSFlFdd Stokes定理是閉合曲線積分與曲定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，在電面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即面的通量，即4 4、散度和旋度的區(qū)別、散度和旋度的區(qū)別 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF 若矢量場(chǎng)若

31、矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處處 ，但在某些位置或整個(gè)，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內(nèi)場(chǎng)內(nèi)場(chǎng) 為為有散無(wú)旋場(chǎng)有散無(wú)旋場(chǎng)。 1.6 1.6 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)（矢量場(chǎng)的分類）無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)（矢量場(chǎng)的分類）有散無(wú)旋場(chǎng)有散無(wú)旋場(chǎng)0F0F( )F r( )F r( )( )0cSF rdlF rdS即：即：無(wú)旋場(chǎng)場(chǎng)矢量沿任何閉合路徑無(wú)旋場(chǎng)場(chǎng)矢量沿任何閉合路徑C C 的環(huán)流等于零的環(huán)流等于零。 重要性質(zhì)：重要性質(zhì)：可引入標(biāo)量位函數(shù)可引入標(biāo)量位函數(shù) u u 的梯度表征矢量場(chǎng)，即的梯度表征矢量場(chǎng)，即Fu 例如：靜電場(chǎng)例如：靜電場(chǎng)0EE ()0u ()0

32、u 0F有旋無(wú)散場(chǎng)有旋無(wú)散場(chǎng) 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處處 ，但在某些位置或整個(gè)，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內(nèi)，場(chǎng)內(nèi)，場(chǎng) 為有旋無(wú)散場(chǎng)。為有旋無(wú)散場(chǎng)。 ( )F r0F0FJ( )F r( )( )0SVF rdSF r dV即：無(wú)散場(chǎng)通過任意閉合曲面即：無(wú)散場(chǎng)通過任意閉合曲面S S的通量等于零。的通量等于零。 重要性質(zhì)：重要性質(zhì)：可引入可引入矢量位函數(shù)矢量位函數(shù)A的旋度的旋度表示無(wú)散場(chǎng)：表示無(wú)散場(chǎng)：FA 例如，恒定磁場(chǎng)例如，恒定磁場(chǎng)BA 0B()0A 0F無(wú)旋無(wú)散場(chǎng)無(wú)旋無(wú)散場(chǎng)0F有散有旋場(chǎng)有散有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩

33、部分：這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無(wú)旋場(chǎng)部分和無(wú)散場(chǎng)部分。無(wú)旋場(chǎng)部分和無(wú)散場(chǎng)部分。( )( )( )( )( )lCF rF rF ru rA r 有散無(wú)旋場(chǎng)部分有散無(wú)旋場(chǎng)部分有旋無(wú)散場(chǎng)部分有旋無(wú)散場(chǎng)部分2()0uu Fu 0F例子：源在例子：源在所討論的區(qū)所討論的區(qū)域之外域之外1.7 1.7 拉普拉斯運(yùn)算拉普拉斯運(yùn)算p 標(biāo)量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算定義：對(duì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度求散度的運(yùn)算稱為拉普拉斯運(yùn)算。記作：定義：對(duì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度求散度的運(yùn)算稱為拉普拉斯運(yùn)算。記作：2uu 2“”式中：式中：稱為拉普拉斯算符稱為拉普拉斯算符L L。 在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：2222222uuuuxyz

34、 在圓柱坐標(biāo)系中：在圓柱坐標(biāo)系中：22222211()uuuuz 矢量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算矢量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算2()()FFF 在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：2222xxyyzzFeFeFeF 在球坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：22222222111sinsinsinuuuurrrrrr( )( )VsF r dVF rdS,F 令 ()()VsdVdS 可得：2 () nen ；2 VsdVdSn( (格林第一恒等式格林第一恒等式) )由高斯定理：由高斯定理：SV , ne基于上式還可獲得下式：基于上式還可獲得下式： 格林定理說(shuō)明了區(qū)域格林定理說(shuō)明了區(qū)域 V 中的場(chǎng)與邊界中的場(chǎng)與邊界 S 上的場(chǎng)之間

35、的關(guān)系。上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問題的求解問題。 此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此，如此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布。果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布。22 VsdVdSnn （）( (格林第二恒等式格林第二恒等式) )1.8 1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 在有限區(qū)域內(nèi)，任一矢量場(chǎng)由它的散度、旋度和邊界條件（即限定在有限區(qū)域內(nèi)，任一矢量場(chǎng)由它的散度、旋度和

36、邊界條件（即限定區(qū)域區(qū)域V V的閉合面的閉合面S S上的矢量場(chǎng)分布）唯一地確定，且可表示為：上的矢量場(chǎng)分布）唯一地確定，且可表示為：( )( )( )F ru rA r 矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) F F 可表為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和。可表為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和。標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) u u 由由 F F的散度和的散度和F F在邊界面在邊界面S S上的法向分量確定；上的法向分量確定；矢量函數(shù)矢量函數(shù) 由由 F F的梯度和的梯度和F F在邊界面在邊界面S S上的切向分量確定。上的切向分量確定。A式中：式中：11( )d 4(4)( ) dVSF rF ru rVrrrSr

37、11( )d44( )( )dVSA rVF rFrrSrrr ( )( )0llF rF r( )0( )ccF rF rJ( )( )lF rF r ( )( )cF rF rJ 任一矢量場(chǎng)可分解一個(gè)有散無(wú)旋場(chǎng)和有旋無(wú)散場(chǎng)之和任一矢量場(chǎng)可分解一個(gè)有散無(wú)旋場(chǎng)和有旋無(wú)散場(chǎng)之和，即：，即：( )( )( )lcF rF rF r有散無(wú)旋場(chǎng)有散無(wú)旋場(chǎng)有旋無(wú)散場(chǎng)有旋無(wú)散場(chǎng)( )0u r ( )0A r ( )( )( )F ru rA r 1.8 1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理已知已知矢量矢量F F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F F的旋度源密度的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中在電

38、磁場(chǎng)中電、磁場(chǎng)散度電、磁場(chǎng)散度電、磁場(chǎng)旋度電、磁場(chǎng)旋度場(chǎng)域邊界條件場(chǎng)域邊界條件 對(duì)于無(wú)界空間，若有對(duì)于無(wú)界空間，若有 則則 由其散度和旋度完全確定。由其散度和旋度完全確定。 11/(0)Frr( )F r對(duì)于無(wú)界空間，散度和旋度均為對(duì)于無(wú)界空間，散度和旋度均為0 0的矢量場(chǎng)不存在（的矢量場(chǎng)不存在（沒有源，何來(lái)場(chǎng)？沒有源，何來(lái)場(chǎng)？）。）。可求解出電磁場(chǎng)?？汕蠼獬鲭姶艌?chǎng)。第0章結(jié)束，謝謝！在后面的課件中，對(duì)重要的概念將標(biāo)紅色,對(duì)重要的公式將打粉底。cosA BAB （1 1）矢量的加減法）矢量的加減法()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行兩

39、矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線四邊形的對(duì)角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律1.2. 1.2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律：結(jié)合律：()()ABCABCABBA交換律：交換律： 由三條相互正交的線組成的、用于確定三維空間任意點(diǎn)位置的體由三條相互正交的線組成的、用于確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為系，稱為正交坐標(biāo)系正交坐標(biāo)系。三條正交線稱為。三條正交線稱為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸特性的；描述坐標(biāo)軸特性的量稱為量稱為坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量。