線性代數(shù)期末考試試題及答案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載線性代數(shù)期末考試試題及答案A 卷一、填空題：（每空 3分,共 15分）1、在五階行列式中，項(xiàng) a43a35a52a14a21 的符號(hào)取正2、 A 為一個(gè)四階方陣，且 |A|=3, kR ， 則 |kA|= 3k 43、 設(shè) A 為一個(gè)三階方陣，其特征值為1,2,3， 則 |A|=6， 則 a11+a22 +a33=6T（ 1,2,2TT84、 設(shè) =（2,1,2 ）,）,（ 2,2,t ）線性相關(guān)，則 t3二、單項(xiàng)選擇題：（ 每小題 3分,共15分）a11a12aa117a113a12a13131設(shè)行列式 D = a21a 22a23=3 ，D 1= a217a213a22a2

2、3 ，則 D 1 的值為（C ）a31a32a33a317a313a32a33(A)-21(B) 9(C) 9(D)212、設(shè) n 元齊次線性方程組AX0 的系數(shù)矩陣 A 的秩為 r ，則 AX0 有非零解的充分必要條件是（ B）（ A ） rn ；（ B） rn ；（C） rn ；（ D ） r n3、設(shè) A, B 均為 n 階矩陣，則（D）(A)A BA B(B) ABBA (C) R( AB)R(BA) (D) ABB A4、下面的陳述中，正確的選項(xiàng)是(D )(A) 向量組中，整體向量線性相關(guān)，則部分向量必線性相關(guān)(B) 向量組中，部分向量線性無關(guān)，則整體向量必線性無關(guān)(C) 向量組中，

3、整體向量線性無關(guān)，則部分向量必線性相關(guān)(D) 向量組中，部分向量線性相關(guān)，則整體向量必線性相關(guān)5、設(shè) An n 是 n 階可逆矩陣，A 是 A 伴隨矩陣，則（A ） .n 1（A）AA；（B）AA；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（C） An（D）AA1.A ；x13x2xn三、（ 10 分 ) 計(jì)算 n 階行列式x1x23xn。x1x2xn3x13x2xnx1x2xn3x2xn解：x1x23xn=x1x2xn3 x23xnx1x2xn3x1x2xn3x2xn31x2xn1x2xn= x1x2xn3 1x23xn= x1x2xn3 0301x2xn3003= x13 1 3n 13n 1 x13 3n 1nx

4、2xnx2xnxi3i 1101四、 (10 分) 設(shè) A 和 B 都是三階方陣 AB EA2B,若A030，求 B。101101100001001解：AE 0300 1 00 2 0AE 0202 0101001100100ABEA2B B AE1A2EAE1AEAEAE101100201030010040101001102五、（ 10分）求下列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組和秩。1,TT,T,1,1,2,0TT11,2,4 ,20,3,1,23 3,0,7,144,52,1,5,6解：設(shè)103121031210312A1,2,3,4,51301103303011212172501101000214

5、214060224200002學(xué)習(xí)必備歡迎下載由上式可知： R(A)=3最大無關(guān)組為：1,2,4101012002000x1x2x31六、（ 15 分）取何值時(shí)，非齊次線性方程組x1x2x3x1x2x32（ 1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多個(gè)解 , 并在無窮多解時(shí)求其通解。解：設(shè)11111211A b11 01 12 01111201121300221令：20則：或2 - -1 - 2（ 1）當(dāng)1，- 2時(shí)，有唯一解；（ 2）當(dāng)-2時(shí)，無解；（ 3）當(dāng)1時(shí)，有無窮多個(gè)解。1121111當(dāng)1時(shí) ， A b 0112 0 00000221230000則： x1 x2x31,令 x21, x

6、30得： x1-1，令 x20, x31得： x1-1- 1- 11通解為： xc11 c200c1、 c2 為任意常數(shù)0102223七、（ 15 分）設(shè)實(shí)二次型 f ( x1 , x2 , x3 )2x125x225x324x1 x24x1 x38x2 x3（ 1）將二次型用矩陣形式表示；（ 2）求正交變換xPy ，2224x1 x24x1 x3 8x2 x3化二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x15x25x3為標(biāo)準(zhǔn)形。解：（ 1） f (x1 , x2 , x3 )2x125x225x324x1x24x1x38x2 x3=2x122x1 x2 2x1 x35x2 22x1 x

7、24x2 x35x3 22 x1 x34 x2 x3222x1222=( x1 , x2 , x3 ) 254x2A254245x3245(2)學(xué)習(xí)必備歡迎下載222012732222111A E25425422 152450112212111001,10123822011當(dāng) 310時(shí)， A E254 210245000x2x30x11111令 x22, 則32 ，P322x1x20x323- 2- 2122122當(dāng) 121時(shí)， AE244 000 ，則 x12x22 x3 0244000x21x2021222,則 x12， 111 , 20 ，P21令02, 令, 則 x1, P10x3x3

8、1050151222將 12正交化，令 11，則2 -1，2041122154151051212將 1、2正交化，得 P11, P24550352215353100將 P1、P2、P3構(gòu)成正交矩陣， PP1, P2 , P31452，有P 1AP0105330010052353221x15353y1于是正交變換， x2142y2,5353x3y3052353二次型 f 標(biāo)準(zhǔn)型為： fy12y2210 y32學(xué)習(xí)必備歡迎下載八、（ 10 分）在線性空間 R3 中給出兩組基 :11,0,0 T ;20,1,0 T ;31,0,1 T 及 12,0,1 T ;2 1,2,2 T ;32,1,1 T（ 1）求由基1 ,2 ,3到基 1, 2,3過渡矩陣 P 。（ 2）若向量在基 1,2, 3 下坐標(biāo)為 2,2,2 T，求在基 1,2 , 3下的坐標(biāo)。101212解：（ ）設(shè)：1，2，3010 ，1，