三角形四心(向量形式)名師制作優(yōu)質(zhì)教學(xué)資料

1、三角形“四心 ”向量形式的充要條件應(yīng)用在學(xué)習(xí)了平面向量一章的基礎(chǔ)內(nèi)容之后，學(xué)生們通過(guò)課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù)接觸了有關(guān)三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件。現(xiàn)歸納總結(jié)如下：一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1）O 是ABC 的重心OAOBOC0 ;若 O 是ABC 的重心，則S BOCS AOCS AOB1S ABCOA OBOC 0;3故1G為 ABC的重心.PG3 (PA PBPC)2）O 是ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA;若 O 是ABC (非直角三角形 )的垂心，則 SBOC：SAOC：SAOB：tan A tan B tan C故 tan AOA tan BOBtan COC022

2、23）O 是ABC 的外心|OA| |OB| |OC|(或OAO BO C )若 O 是ABC 的外心：S：sin：AOBsin2A : sin2B : sin2C則S BOCAOC S AOBBOC sin AOC sin故 sin2AOA sin2BOB sin2COC 04） O 是內(nèi)心ABC 的充要條件是OA (ABAC )OB( BABC)OC (CACB) 0|AB |AC|BA |BC |CA |CB |引進(jìn)單位向量， 使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記 AB,BC, CA 的單位向量為 e1 ,e2 , e3，則剛才 O 是 ABC內(nèi)心的充要條件可以寫成：O A(e1e3 )O B (e

3、1e2 )O C ( e2e3 )0O 是 ABC 內(nèi)心的充要條件也可以是 aOAbOBcOC0若 O 是ABC 的內(nèi)心，則 S BOC ： S AOC ：S AOBa：b： c故aOAbOBcOC0或 sinAOAsinBOBsinCOC 0;| AB| PC|BC | PA|CA|PB0PABC 的內(nèi)心 ;向量( ABAC)(0) 所在直線過(guò)ABC 的內(nèi)心 ( 是BAC 的角平分線所在直線) ；|AB| |AC|二范例(一 )將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查A例 1 O 是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足OPOA(AB AC)，0,e1e2則 P 點(diǎn)的軌跡AB

4、ACC一定通過(guò)ABC 的（）B（ A ）外心（ B ）內(nèi)心（ C）重心（ D ）垂心解析：因?yàn)?AB 是向量 AB 的單位向量設(shè)AB 與 AC 方向上的單PAB位向量分別為 e1和 e2 ，又 OPOAAP ，則原式可化為 AP(e1e2 ) ，由菱形的基本性質(zhì)知 AP平分 BAC ，那么在ABC中， AP平分BAC ，則知選 B.點(diǎn)評(píng)：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”，首先AB 是什么？沒(méi)見(jiàn)過(guò)！想想，一個(gè)非零向量除AB以它的模不就是單位向量？此題所用的都必須是簡(jiǎn)單的基本知識(shí)，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題

5、一點(diǎn)問(wèn)題也沒(méi)有。(二 )將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例 2 H 是 ABC 所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，HA HBHBHCHC HA點(diǎn) H 是ABC 的垂心 .由HA HBHB HCHB ( HC HA)0HB AC0HBAC ,同理 HCAB， HABC .故 H 是 ABC 的垂心 . （反之亦然（證略） ）例 3.(湖南 )P 是 ABC 所在平面上一點(diǎn)，若PA PBPB PCPC PA，則 P是ABC 的（D）A 外心B內(nèi)心C重心D 垂心解析 :由 PA PBPB PC得PA PBPB PC0 .即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0則 PBCA,同理 PABC, PCAB

6、所以 P為ABC的垂心 . 故選 D.點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí) .將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及 “數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直 ”等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。(三 )將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例 4G 是 ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，GAGBGC =0點(diǎn) G是ABC的重心 .證明作圖如右，圖中 GBGCGE連結(jié) BE 和 CE，則 CE=GB ，BE=GCBGCE 為平行四邊形D是 BC 的中點(diǎn)， AD 為 BC 邊上的中線 .將 GBGCGE 代入 GA GB GC =0，得 GAEG =0GAGE2G

7、D ，故 G 是 ABC 的重心 .（反之亦然（證略）例 5 P 是 ABC 所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是 ABC 的重心PG1 (PAPBPC).3證明PGPA AGPBBGPCCG3PG ( AGBGCG)(PA PB PC) G 是 ABC 的重心 GAGBGC =0AGBGCG =0，即 3PGPA PB PC由此可得 PG1(PAPBPC) .（反之亦然（證略） ）3例6若O 為ABC 內(nèi)一點(diǎn)， OA OB OC 0，則O 是ABC的（）A 內(nèi)心B外心C垂心D重心A解析：由 OAOBOC0得 OBOCOA ，如圖以 OB、OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則 OBOCOD ，由平行四邊形性質(zhì)知

8、 OE1OD， OA2 OE ，同理O重心，選 D 。2BEC可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì)，所以是D點(diǎn)評(píng)：本題需要扎實(shí)的平面幾何知識(shí)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)：重心是三角形中線的內(nèi)分點(diǎn)，所分這比為2。本題在解題的過(guò)程中將平面向量的有關(guān)運(yùn)算與平行1四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。(四 )將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若O 為ABC 內(nèi)一點(diǎn)， OAOBOC ，則O 是ABC 的（）A 內(nèi)心B外心C垂心D重心解析：由向量模的定義知O 到ABC 的三頂點(diǎn)距離相等。故O是 ABC的外心 ，選 B。點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧

9、妙結(jié)合。(五 )將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例 8已知向量 OP1 ， OP2 ， OP3 滿足條件 OP1 + OP2 + OP3 =0，| OP1 |=|OP2 |=| OP3 |=1，求證 P1P2P3 是正三角形 .（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下） ，復(fù)習(xí)參考題五 B 組第 6 題）證明由已知 OP1 + OP2 =- OP3 ，兩邊平方得 OP1 · OP2 =1 ，1 ，2同理OP2 · OP3 = OP3 · OP1 =2|PP|=|P P|=| P P |= 3 ，從而 P1P2P3 是正三角形 .122331反之，若點(diǎn) O 是正三角形 P1P2P3 的中心，

10、則顯然有 OP1+ OP2 + OP3 =0 且 | OP1 |=| OP2 |=| OP3 |.即 O 是 ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，OP1 + OP2 + OP3 =0 且| OP1 |=|OP2 |=| OP3 |點(diǎn) O 是正 P1P2P3 的中心 .例 9在 ABC中，已知 Q、 G、 H 分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、 G、 H 三點(diǎn)共線，且QG:GH=1:2。【證明】：以 A 為原點(diǎn)， AB所在的直線為x 軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,0) 、 B（ x ,0 ）、1C(x 2,y 2) ， D、 E、 F 分別為 AB、 BC、 AC的中點(diǎn)，則有：D（ x 1

11、,0)、x1 x 2y 2、x 2y 2)2E (2,) F (2,22由題設(shè)可設(shè) Q（ x 1, y 3 )、 H (x 2 , y 4 ) ,2G ( x 1x 2 , y 2 )33AH( x 2 , y 4 )，QF ( x 2x 1 , y 2y 3 )222BC(x 2x 1, y 2 )AHBCAH BC x 2 (x 2x1 ) y 2 y 40y 4x 2 (x 2x 1 )y 2yC(x 2,y2)FHEGQxADB( x1,0)QFACQF AC x 2 ( x 2x1 )y 2 ( y 2y 3 ) 0222y 3x 2 (x 2x 1 )y 22y 22QH(x 2x

12、 1 , y4y 3 ) （ 2x 2x1 ,3x 2 (x 2x1 )y 2 )222y 22QG ( x 2x 1x 1 , y 2y 3 ) （ 2x 2x 1 , y 2x 2 (x 2x1 ) y 2 )323632y22( 2x 2x1 ,3x 2 (x 2x 1 ) y 2 )1 ( 2x 2x 1 ,3x 2 (x 2x 1 ) y 2 )66y26322y22= 1QH3即 QH =3QG ，故 Q、G、 H三點(diǎn)共線，且 QG：GH=1： 2【注】：本例如果用平面幾何知識(shí)、向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算處理，都相當(dāng)麻煩，而借用向量的坐標(biāo)形式，將向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，這樣就將“

13、形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起，從而，很多對(duì)稱、共線、共點(diǎn)、垂直等問(wèn)題的證明，都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證。例 10若O、H分別是ABC 的外心和垂心.求證OHOAOBOC.證明若 ABC 的垂心為H，外心為O，如圖 .連 BO 并延長(zhǎng)交外接圓于D，連結(jié) AD ， CD . ADAB， CDBC .又垂心為H， AHBC ， CHAB， AH CD， CH AD ，四邊形 AHCD 為平行四邊形，AHDCDOOC ，故OHOAAHOAOBOC .著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、心、垂心的位置關(guān)系：重（ 1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線“歐拉線”；（ 2）三角形的重心在“歐

14、拉線”上，且為外垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的 2 倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問(wèn)題.例 11 設(shè) O、G、H 分別是銳角 ABC 的外心、重心、垂心 .求證OG1 OH3證明按重心定理G 是 ABC 的重心OG1 (OAOBOC)3按垂心定理OHOA OBOC由此可得OG1OH.3補(bǔ)充練習(xí)1已知 A、 B、C 是平面上不共線的三點(diǎn)， O 是三角形 ABC 的重心，動(dòng)點(diǎn) P 滿足OP =1(1 OA+1 OB+2 OC ),則點(diǎn) P 一定為三角形ABC 的（ B）322A. AB 邊中線的中點(diǎn)B. AB 邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.重

15、心D.AB 邊的中點(diǎn)1. B取AB邊的中點(diǎn)M，則OAOB2OM，由OP= 1( 1OA+1OB +2) 可 得322OC3 OP3OM2MC ， MP2 MC ，即點(diǎn) P 為三角形中 AB 邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)3P 不過(guò)重心，故選B.ABC 及一點(diǎn)滿足關(guān)系式：222222在同一個(gè)平面上有，O ABC OBCAOCAB2ABC 的則為（D） 外心內(nèi)心C 重心D垂心2已知 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)A、 B、 C 及平面內(nèi)一點(diǎn)P 滿足： PAPBPC 0，則 P為ABC 的（C）外心內(nèi)心C重心D垂心3已知 O是平面上一定點(diǎn)， A、 B、 C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P 滿足：OPOA(ABAC

16、 ) ，則 P 的軌跡一定通過(guò)ABC的（C）外心內(nèi)心C重心D垂心4已知 ABC ，P 為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P 滿足：PA PCPA PBPBPC0 ，則 P 點(diǎn)為三角形的（D）外心內(nèi)心C重心D垂心5已知 ABC ，P 為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P 滿足： a PAb PBc PC0，則 P 點(diǎn)為三角形的（ B）外心內(nèi)心C重心D垂心226在三角形（ B ） 外心7.已知非零向量ABC中，動(dòng)點(diǎn)P 滿足： CACB2 AB CP ，則 P 點(diǎn)軌跡一定通過(guò)ABC 的：內(nèi)心C重心D垂心1AB+ACAB·AC=, 則ABC 為( )AB 與AC 滿足 ()· BC=0 且2|AB |AC|AB |AC |A. 三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形解析：非零向量與滿足(ABAC)·=0，即角 A 的平分線垂直于 BC， AB=AC，又| AB|AC|A BA C 1， A=，所以 ABC 為等邊三角形，選Dc o sA=| AB|AC|238.ABC 的外接圓的圓心為 O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H， OHm(OAOB OC) ，則實(shí)數(shù) m = 19. 點(diǎn) O是三角形 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OA OBOB OCOC OA ，則點(diǎn) O是ABC 的（ B）（ A）三個(gè)內(nèi)角的角平分