統(tǒng)計(jì)功效和效應(yīng)值學(xué)生用

1、統(tǒng)計(jì)功效與效應(yīng)大小華中師范大學(xué)心理學(xué)院劉華山一、統(tǒng)計(jì)功效（檢驗(yàn)功效，效力，Power）統(tǒng)計(jì)功效指某檢驗(yàn)?zāi)軌蛘_地 拒絕一個(gè)錯(cuò)誤的虛無假設(shè)的能力。用1-B表示。或說：當(dāng)總體實(shí)際上存在差異，應(yīng)該拒絕虛無假設(shè)時(shí)，正確地拒絕虛無假設(shè) 的概率，或不犯B錯(cuò)誤的概率。它表示某個(gè)檢驗(yàn)探查出實(shí)際存在的差異，正確 拒絕虛無假設(shè)的能力。在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，統(tǒng)計(jì)功效反映了假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)軌蛘_偵查到統(tǒng)計(jì)功效的大小取決于四個(gè)條件:1 .兩總體差異。當(dāng)兩總體實(shí)有差異越大，或處理效應(yīng)越大，則假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng) 計(jì)功效越大；2 .顯著性標(biāo)準(zhǔn)0fc顯著性標(biāo)準(zhǔn)a越大，則B錯(cuò)誤越小，從而統(tǒng)計(jì)功效1-B越 大；反之，a變小，1-B變小3 .檢驗(yàn)的方向

2、：當(dāng)兩總體差異一定，對于同樣的顯著性標(biāo)準(zhǔn)單側(cè)檢驗(yàn)比雙側(cè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)功效要大。4 .樣本容量。樣本容量越大，樣本平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤越小，分布曲線越瘦 削，統(tǒng)計(jì)功效越大。二、效應(yīng)量（效應(yīng)大小，Effect Size,ES ）效應(yīng)量，反映處理效應(yīng)大小的度量。其實(shí)，兩樣本平均數(shù)的差異就是一個(gè)效 應(yīng)量。效應(yīng)量表示兩個(gè)總體分布的重疊程度。 ES越大，表示兩總體重疊的程度 越小，效應(yīng)越明顯。由計(jì)算出的 ES大小，可由專門的表格中查出兩樣本分布的重疊的百分比。故效應(yīng)量經(jīng)常用兩總體重疊的程度為指標(biāo)，重疊的部分百分比越 大，效應(yīng)量越小?；蛞詢蓚€(gè)樣本不重疊的程度為指標(biāo)，不重疊的部分百分比越大， 效應(yīng)量越大。三、效應(yīng)量

3、檢驗(yàn)的功能1 .效應(yīng)量有助于我們判斷統(tǒng)計(jì)上顯著差異是否有實(shí)際的意義效應(yīng)量檢驗(yàn)，也就是要檢驗(yàn)自變量作用的大小。它不同于差異顯著性的檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)顯著性與實(shí)際顯著性的區(qū)別：差異的統(tǒng)計(jì)顯著性、相關(guān)的統(tǒng)計(jì)顯著性只 是告訴你在特定的條件下，這差異、這相關(guān)系數(shù)是存在的、并不是完全由抽樣誤 差造成的，但并不意味著這差異有實(shí)際意義。大樣本比較容易獲得統(tǒng)計(jì)顯著性的 結(jié)果，但這并不意味著差異是有意義的。2 .有些效應(yīng)量，主要是有相關(guān)意義的效應(yīng)量，如相關(guān)系數(shù)，點(diǎn)二列相關(guān)系數(shù) 的平方 ，可以反映自變量解釋因變量變異的百分比。3 .在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，如果有幾個(gè)自變量，可以根據(jù)效應(yīng)量大小把自變量的重 要性排序。4 .在元分析中

4、，將各個(gè)不同的相關(guān)研究進(jìn)行概括分析的基礎(chǔ)便是各個(gè)不同研 究的效應(yīng)量（的合成）。5 .效果量的計(jì)算還為改進(jìn)研究設(shè)計(jì)、提高檢驗(yàn)?zāi)芰μ峁┝烁鶕?jù)。APA出版手冊第五版要求報(bào)告差異檢驗(yàn)結(jié)果時(shí)一般要報(bào)告ES值。美國心理學(xué)會(huì)1994年發(fā)出通知，要求公開發(fā)表的研究報(bào)告包含效應(yīng)量的測 定結(jié)果。當(dāng)具有統(tǒng)計(jì)上的顯著性后，一定要計(jì)算效應(yīng)量，看你進(jìn)行的研究是否有價(jià) 值。四、效應(yīng)量和統(tǒng)計(jì)功效前述檢驗(yàn)功效與兩總體差異（或說處理效應(yīng)大?。颖救萘?、顯著性水平、 檢驗(yàn)的方向性四個(gè)因素有關(guān)?？梢?，統(tǒng)計(jì)功效和效應(yīng)量有關(guān)。統(tǒng)計(jì)功效受效應(yīng)量 的制約。在檢驗(yàn)方向、樣本容量、顯著性水平固定的條件下，效應(yīng)量與檢驗(yàn)功效 有對應(yīng)關(guān)系。見下表。

5、【獨(dú)立樣本】表 在0.05水平下假設(shè)檢驗(yàn)的功效效應(yīng)大小樣本容量0.20.50.8單尾100.110.290.53200.150.460.80300.190.610.92400.220.720.97500.260.800.991000.410.971.00雙尾100.070.180.39200.090.330.69300.120.470.86400.140.600.94500.170.700.941000.290.941.00五、獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的效應(yīng)大小I.Cohen'sd = X1 - X2 ,而S0是兩個(gè)樣本合成方差的算術(shù)平方根，合成方差 即兩樣Spp本離差平方和之和 除以兩樣本自由

6、度之和，即合成方差（仃pooled）S2 = ss, +s" 其中df1 =i,df2 = n2 1.因?yàn)槠骄鶖?shù)對樣本數(shù)據(jù) 是一限制。p df1 df2上述效應(yīng)量公式等價(jià)于Cohen's d "例：在大學(xué)一年級(jí)新生中選取10名雙性化學(xué)生和20名非雙性化學(xué)生，對他 們施測自尊量表。10名雙性化學(xué)生得分的平均數(shù)為 X1 =25,離差平方和SSi=670;20名非雙性化學(xué)生得分的平均數(shù)為 X2 =18，離差平方和SS2=1010。問兩組平均數(shù)有無差異？（設(shè)a =0.01已知 X1=25, SSi=670; X2 =18, SS2=1010,則11c2SS1670c2S1

7、= = 74.44, S2df110 1SS21010=53.16df 220 1進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)，得根據(jù)拇指原則，可以認(rèn)S274.44 c=f = 1.40 < 2,S253.16為方差齊性，可以求合成方差S2SpSS1 +SS2 _ 670 + 1010 _ 2=60df1 + df29 + 19平均數(shù)差異的樣本分布的標(biāo)準(zhǔn)誤為SEdxni111F160 年+ 20) = 3x X1一X2 25T8xt =2 = 2.33 < tSE 3所以無顯著差異。0.01 (28) = 2.763:2( 乙。)求效應(yīng)量x1一 x2ES = 12Sp2518一、60 "°

8、.90,查表可知兩樣本分布重疊部分有48.4%這說明由雙性化與非雙性化造成的差異還是較大的。2.Cohen's d指標(biāo)1M1 -M2S2S22MMs2、s22 -樣本1,2的平均數(shù)樣本1,2的方差(2)指標(biāo)2t-t檢驗(yàn)值d =t 口df-t檢驗(yàn)自由度df 口電3.Glass' estimator g/X1 -X2S2X1為處理組的平均數(shù),X2為對照組平均數(shù)，S2為對照組標(biāo)準(zhǔn)差。此公式特點(diǎn)是用對照組方差代替合成方差。本指標(biāo)的使用范圍同CohenS d指標(biāo)。也有人將這里的效應(yīng)量也稱作d,其大小標(biāo)準(zhǔn)的判斷也是0.2 （?。?.5 （中），0.8（大）。4. Hedges'?

9、(1)指標(biāo)1 ?X1X2n1 一1 S 件 -1 S2ni n2 -23I4(n1+n2)-9)這只是對Cohen's d的小的修正。(2)指標(biāo)2 gxyx2.MSwithin分母根號(hào)內(nèi)為兩獨(dú)立樣本方差分析中的誤差均方前一種算法是以兩樣本方差的均值代卜表采用不同的兩個(gè)公式計(jì)算效應(yīng)量Cell Hear.s and 5tM由"evia,:ionsVariable . GLOSILGLOB1LPOST-TESTN 95 percent Conf. IsntervalF4CTO?CCOEKeanStd, Dev.7REATGRF,58=，制5如.383.735TMJITGRfhEim

10、o1.00,6ZE10.6031.205m迎Lu,7其工的30.E40.945T t ft 1 *十土什 才 Kt #411 S L 7 3 1 5 i 1? a i: l a u c t：-Desijn1 t ：常才y t 十女才立Test! of Sighi fie ante for GLDEAL4 usmj UNIQUE ?ijis 5f squurMSource ot Varian ranss睥KS*Sig of FWFB CEL聲31bW75川皿TGMP3.4413,如乩些，口叫(nod-1)3.4413.審日工E.0：5(Total：35*073.明O替它們的聯(lián)合方差。后一種算法是

11、用方差分析組內(nèi)方差的平方根作分母。 本例求 得的兩個(gè)指標(biāo)剛好相等。d = -視-二 0.41b /=0.415 /=1.415 / 。二二 + 涔/ £：.5B9 / < (IJ.6201 -二，颯5 =* (U.394 + 0.4160 / _(a.ai4d / 團(tuán)*3 40152。拓6，2Cohu t /Cohsn: do an cootpiitd /西 也占 two rat dar-i 他.也過二3rtit i: iLr 元即JrM: of J, 之二上:如 t?。二，b舊s ratdarJs?He Dieaitiattrj&cjupjE?rc3tL of the

12、consol 4rc'>. . 65g二上&中心Heifer-s f=1.Q0+ - 1.503 / W，41He-i？ef： sfcaa be 網(wǎng)到只我dus羋 ±e LISt±3l=0. 4IS /必斗明Heiser em和iHC>hea'sd ar? sailarbx赧序曲e -wle 兔e i$ 聚。=+65lergt in tfus study5 .當(dāng)對兩獨(dú)立組平均數(shù)之差進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，也可用點(diǎn)二列相關(guān)系數(shù)（point-biserial correlation coefficient）的平方作為效果量的指標(biāo)。不過 也可 用作相關(guān)樣本

13、的效應(yīng)量的指標(biāo)、方差分析的效應(yīng)量指標(biāo)（見后） 。其標(biāo)準(zhǔn)為:0. 010 （效果?。?；0. 059 （效果中）；0.138 （效果大）。的計(jì)算公式為：用作獨(dú)立樣本時(shí)，；用作相關(guān)樣本時(shí)，。此公式也可用于相關(guān)樣本的t檢驗(yàn)。本式顯示標(biāo)準(zhǔn)化平均差與相關(guān)系數(shù)間的 轉(zhuǎn)化。6 .對于兩獨(dú)立樣本的平均數(shù)差異的檢驗(yàn)，也可以對之作方差分析，用輸出的作效應(yīng)量（例見后）。六、效應(yīng)量大小的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算出效應(yīng)量后，如何解釋、評(píng)價(jià)效應(yīng)量的大小呢？評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)是什么？有以下幾種方法。（一）為效應(yīng)量規(guī)定數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)不同的效應(yīng)量指標(biāo)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是不同的1 .Cohen（1988）定義d效應(yīng)量大小標(biāo)準(zhǔn)（解釋）（兩個(gè)獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)）d=0.2

14、小d=0.5 中d=0.8 大2 .作為效應(yīng)量的相關(guān)系數(shù)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)Cohen的規(guī)定（1988, 1992）,相關(guān)系數(shù)0.100.29是小的效應(yīng)；0.30 0.49是中等效應(yīng)；等于或大于0.50是大的效應(yīng)量。3 .卡方檢驗(yàn)中效應(yīng)量 系數(shù)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)與自由度有關(guān)。（見后）4 .點(diǎn)二列相關(guān)系數(shù)平方的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)0. 010 （效果?。?. 059 （效果中）；0.138 （效果大）。5 .總體效應(yīng)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)效果量 標(biāo)準(zhǔn)是：解釋變異量6%以下者，顯示變量間關(guān)系微弱；解釋變異 量在6%Z上到16%Z下者，顯示變量間屬中等關(guān)系；解釋變異量在16%Z上者，顯 示變量間關(guān)系強(qiáng)。（Cohen J.1982,1

15、988）6 .單因素方差分析中Cohens f的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)Cohen的建議，f小于0.1為小的效應(yīng)；f在0.25左右為中等效應(yīng)；f大 于0.4屬于大的效應(yīng)。（二）用自變量解釋因變量變異的百分比來評(píng)價(jià),積差相關(guān)系數(shù)的平方等相關(guān)系數(shù)類效應(yīng)量都可解釋為：自變量可以解釋因變量變異的百分比。（三）用兩總體重疊部分的百分比來評(píng)價(jià)在兩樣本平均數(shù)差異的檢驗(yàn)中，效應(yīng)量可以用兩個(gè)總體分布的重疊程度來解 釋。重疊部分比例越大，則效應(yīng)量越小。附表 Cohen s d與兩個(gè)樣本分布的不重疊部分百分比Cohen的標(biāo)準(zhǔn) 效應(yīng)量 Percentile Standing 不重疊部分百分比（%2.097.781.11.997.

16、179.41.896.477.41.795.575.41.694.573.11.593.370.71.491.968.11.390.065.31.28862.21.18658.91.08455.40.98251.6大0.87947.40.77643.00.67338.2中等0.56933.00.46627.40.36221.3小0.25814.70.1547.70.0500.0圖1標(biāo)準(zhǔn)均數(shù)差與0L%示意圖七、相關(guān)樣本t檢驗(yàn)的效應(yīng)量1 .ES=D, D是成對數(shù)據(jù)的差值的平 均數(shù)，SD是成對數(shù)據(jù)差值的標(biāo)準(zhǔn) 差SD對照相關(guān)樣本之差的檢當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，就知道 Sd的含義。.n2 .兩相關(guān)樣本的效應(yīng)量指標(biāo)公

17、式d = Me-Mc sE sC2本公式與前述兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的效應(yīng)量公式。即Cohen's d指標(biāo)13 .點(diǎn)二列相關(guān)系數(shù)的平方（同前）八、力檢驗(yàn)的效應(yīng)量（一）力檢驗(yàn)的效應(yīng)量1 .系數(shù)類別變量的相關(guān)系數(shù) 系數(shù)也代表了效應(yīng)大小。系數(shù)（相關(guān)系數(shù)）的 計(jì)算公式是（適用于兩列二分變量間的相關(guān)）：2 . Cramer s?。ㄟm用于兩列多分類變量）中=，其中出min = m i nR1, C-1N dfmin顯然系數(shù)是Cramer s小的特例。后者就是Cramer系數(shù)，或稱克拉默系 數(shù)V.（二）產(chǎn)檢驗(yàn)的效應(yīng)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)dfmin=1時(shí)，=0.10表示低的效應(yīng)；二030表示中等的效應(yīng)；二050表

18、示高的效應(yīng)；當(dāng)dfmin=2時(shí)，=007表示低的效應(yīng)；=021表示中等的效應(yīng)；=035表 示高的效應(yīng);當(dāng)dfmin=3時(shí)，=006表示低的效應(yīng)；二017表示中等的效應(yīng)；二029表 示高的效應(yīng).0九、方差分析中的效應(yīng)量（一）含義方差分析中的效應(yīng)量用以測量處理效應(yīng)（主效應(yīng)、交互效應(yīng)）與 自變量關(guān)系程度的指標(biāo)，它們可以被看作是自變量與處理效應(yīng)之間的 相關(guān)系數(shù)，它的平方可以解釋為因變量總變異中各種效應(yīng)的解釋比例。（二）方差分析常用的四種效應(yīng)量 Eta squared partial Eta squared2 omega squared the Intraclass correlationp： ?和 是

19、對樣本中自變量和因變量關(guān)聯(lián)程度的估計(jì)，是一個(gè)描述 統(tǒng)計(jì)量；而和跨級(jí)相關(guān) 是總體中自變量與因變量關(guān)聯(lián)程度的度量，是一個(gè)參數(shù)。每一個(gè) 都有一個(gè)對應(yīng)的。在一般情況下只要計(jì)算就足夠了。永遠(yuǎn)小于和。（三）四種效應(yīng)量的計(jì)算二&欣1 ANOVa恥p戒 已猶幗4跳印jes3mT/pe II SumofSpatesdfMean SquareF甌Ela SquaredCoirected Model3D.0Ic w：G.1O3：；5旺儂Intertepl24JD.OOD12400.000130,909oi加|V CRWEflM.0D0一.州岷REWARDI1ZOA£56DOO一 叫DRR REW1

20、MOOIL加皿3.9?蒯,»1Eitnr如皿J10333TdalCcMt&dTctalP m 510,000L 3433該表是以 drive 和reward 為自變量，以 performance 為因變量的二因素分析的結(jié)果”2的計(jì)算含義公式2SSffectSSotal”2的計(jì)算（SPSSTaLle 2. Valfc-j ujed tnEto 叫me- %flki(CnrwflrJI Tktil)Drwf24 WO6 tO OOOH-d112. WQciaooo】即.Z53RMird * Dmif1.44 WOfiiaooo在SPS漱件的方差分析部分，在選擇窗口 “ optio

21、n ”中可以選擇 “estimates effect size ” 即可輸出 和 。Opiloric匚箕imMedl Ms-arlFaciciti arc Fee ter 依與吟曰ors:須運(yùn)工二二Disda/Meant (or:|l：u kOFMl Cmporc ran«IFcct»匚 Midbne inyivH Mu1:卜nd:而口融廠*6航萼廠 cf elfecJ： sizen OtisiBfS'ed pwarParameji*i而倒例 Sprcod g llcvd dIdIF gwidial plotrr 叵才問，l 才nmblincllQn| Cflrti

22、u2.偏3 LL、t AM3.Omega squared 的計(jì)算Omega squared is an estimate of the dependent variance accounted for by the independent variable in the population for a fixed effects model. The between-subjects, fixed effectsNoteDo not use this formula for repeated measures designs重復(fù)測量的方差分析設(shè)計(jì)?！康挠?jì)算公式【某一效應(yīng)的偏“2等于該效應(yīng)的平

23、方和除以該效應(yīng)平方和與誤差平方和的和所得的商。19?！居糜诠潭ㄐ?yīng)模型】?！静荒苡糜陉P(guān)于效果量的高低判斷方面,Cohen( 1982, 1988)提出的標(biāo)準(zhǔn)是：解釋變異量6%以下者，顯示變量間關(guān)系微弱；解釋變異量在6%U:到16%Z下者，顯 示變量間屬中等關(guān)系；解釋變異量在16%Z上者，顯示變量間關(guān)系強(qiáng)。（Cohen J. Statistical power and analysis for the behavioural sciences M . Second dition , Hillsdalee, NJ: Erlbaum,19884.跨級(jí)相關(guān)（Intraclass correlation

24、 ） PI 的計(jì)算內(nèi)涵Because it is for a random effects model it is not commonly used inpsychology experiments.【用于隨機(jī)效應(yīng)模型】公式：i =MSeffect -MSerrorMSeffect df effect MSem十、單因素方差分析的效應(yīng)量與統(tǒng)計(jì)功效（一）效應(yīng)量的計(jì)算f= JF 其中F為樣本F統(tǒng)計(jì)量的觀測值，n為每組樣本容量。. n這個(gè)f稱為Cohen s f（二）效應(yīng)大小的判斷根據(jù)Cohen的建議，f小于0.1為小的效應(yīng)；f在0.25左右為中等效應(yīng)；f大 于0.4屬于大的效應(yīng)。例：一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)欲研

25、究閱讀時(shí)間長短對兒童閱讀能力的影響。將兒童隨機(jī)分配到3種閱讀條件下，第一組閱讀時(shí)間為 5分鐘，第二組為15分鐘，第3組為30 分鐘。兩周后測量兒童的閱讀能力，得分如下。表閱讀測試得分表第一組第二組第三組(K=3)101510142012(n=5)121768812111510Xi111510Xt =12計(jì)算效應(yīng)量：f= . F .n3.44 = 0.83 > 0.40,方差分析結(jié)果為F = 3.44 < Fo.o5（2,i2）= 3.88，所以三組閱讀測驗(yàn)平均分?jǐn)?shù)無顯可見，盡管方差分析的 F值不顯著，效應(yīng)分析卻顯示大的效應(yīng)。卜一、回歸或單因素方差分析中的效應(yīng)量2I.Cohen

26、9;s f2f2二乓1-RR2為確定系數(shù)。Cohen, 1988提出效應(yīng)量大小標(biāo)準(zhǔn)。f2 0 0.02，小，0.02< f2 <0.15 中，f2 >0.3, 大。十二、 的應(yīng)用可以在兩獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)、單因素方差分析、多因素方差分析、秩和 檢驗(yàn)、克-瓦氏H檢驗(yàn)、單因素多相關(guān)組弗里德曼卡方檢驗(yàn)中作為效應(yīng)量指標(biāo)使 用。（一）用作兩獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)中的效應(yīng)量此時(shí)仍需作方差分析，而不是作t檢驗(yàn)。兩種識(shí)記方法對回憶效果的影響的實(shí)驗(yàn)結(jié)果SourceSSdfMean SquareFPEta Squared識(shí)記方法22.500122.5009.0000.0170. 529誤差20.00082. 500總和42.5009說明識(shí)記方法能解釋回憶成績變異量的 53% （指平方和的比例）（二）用作單因素方差分析中的效應(yīng)量（三） 用作兩因素方差分析中的效應(yīng)量（四）用作秩和檢驗(yàn)中的效應(yīng)量（兩獨(dú)立樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)）秩和檢驗(yàn)中效應(yīng)量 的計(jì)算設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立組，每組5個(gè)被試。分別測量試驗(yàn)組對綠色信號(hào)燈的反應(yīng)時(shí),和對照組對藍(lán)色信號(hào)燈的反應(yīng)時(shí)。結(jié)果如下：試驗(yàn)組對照組反應(yīng)時(shí)等級(jí)反應(yīng)時(shí)等級(jí)5392759748018908600511051059035954605694192 R1738先選定一組，算出其等級(jí)和 NR。根據(jù)下式算出期望等級(jí)和, 其中應(yīng)是 為