5圓中最值問題

1、五、圓中最值問題1、（ 2014安順）如圖，MN是半徑為1的O的直徑, 是直徑MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝U PA+PB的最小值為（）點(diǎn)A在0上，中點(diǎn)，點(diǎn)P / AMN=30 , B為AN弧的A. 22 B. 2 C.1 D.22、( 2014東營)在O O中,AB是O O的直徑,AB=8cm, AC 二 CD 二 BD , M 是 AB 上動(dòng)點(diǎn)，CM+DI的最小值是cm.1題3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（-4,0）、B（0,4）,坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P在直線AB上，過點(diǎn)P作O 0的一條切線PQ Q為切點(diǎn),則切線長PQ的最小值為4、（2014張家界）如圖，AB CD是半徑為5的0 0的

2、兩條弦,H3 .翔4題AB=8 CD=6 MN是直徑，AB _L MN于點(diǎn)E, CDL MN于點(diǎn)F, P為EF上的任意一點(diǎn)，貝U PA+PC勺最小值 為5、已知：如圖,2SABC內(nèi)接于O 0,0H _L AC于H / B=30 ° ,過A點(diǎn)的直線與0C的延長線交于點(diǎn) D / CAD=30 ,AD=10Q (1) 求證：AD 是 OO 的切線;若E為OO上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE交直線0D于點(diǎn)P,問：是否存在點(diǎn)P,使得PA+PH的值最小?若存在求PA+PH勺最小值；若不存在，說明理由。6、（2015?安徽）在O 0中，直徑 AB=6 BC 是弦，/PQABC=30，點(diǎn)上，且 OPLP在BC上，

3、點(diǎn)Q在0 a（1）如圖1,當(dāng)PQ/ AB時(shí)，求PQ的長度；（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，求長的最大值.PQ答案1、考點(diǎn)：圓周角定理，垂徑定理，軸對(duì)稱 分 析：過A作關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A ,最小值, 由對(duì)稱的性質(zhì)可知AN=AN ,再由圓周角定理 可求出/ A ON-最短路線問題Q連接A B,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知AB即為PA+PB的B,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知A B即為的度數(shù)，再由勾股定理即可求解.解答：過A作關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A,連接APA+PB的最小值，連接 OB 0A" , AA" , ?/ AA 關(guān)于直線 MN 對(duì)稱，？?N =AN ,?/ AMN=30 ,?/ ON

4、=60/ BON=30AOB=90在 RtAA OB 中，OB=O A =1 ,.? .A B= .OB?_OA 2即PA+PB的最小值,2 .故選B.2、考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題，勾股定理，垂徑定理為 CM+D分析：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C,連接CD與AB相交于點(diǎn)M,根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問 題，點(diǎn)M 口的最小值時(shí)的位置，根據(jù)垂徑定理可得AC = AC,然后求出CD為直徑，從而得解.解答：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CD與AB相交于點(diǎn)M此時(shí)，點(diǎn)M為CM+D 口的最小值時(shí)的位置，由垂徑定理，AC二AC ,?BD二AC,?/ AC二CD二BD, AB為直徑，C?D為直徑，? CM+DM

5、 勺最小值是8cm.故答案為：83、考點(diǎn)：切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂線段最短，等腰直角三角形，矩形的判定與性質(zhì)分析：連接OP?根據(jù)勾股定理知PQ=OP-O&，當(dāng)OPL AB時(shí)，線段OP最短，即線段PQ最短.解答：連接OR OQ.? PQ 是 OO 的切線，OQL PQ根據(jù)勾股定理知PQUOP-OQ",?步OL AB時(shí)，線段PQ最短； 又？A(-4,0)、B(0,4) ,?OA=OB=4? AB= 4 2 , ? OP= A AB =2 2 , ? PQ=. 7 ；故答案為：.7.4、考點(diǎn)：垂徑定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)PA+PC分析：A B兩點(diǎn)關(guān)于MN對(duì)稱，因而PA+PC=PB+

6、RC 即當(dāng)B、C P在一條直線上時(shí),的值最小，即BC的值就是PA+PC勺最小值解答：連接OA OB OC作CH垂直于AB于H.11根據(jù)垂徑定理,得至lj BE=-AB=4,CF=- CD=3 ,22OE=O$-B 呂.52 - 4 2=3OF=OC - CF = , 5 232 =4 ,CH=OE+OF=3+4=7 BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7在直角BCH中根據(jù)勾股定理得到BC= 7.2 ,則PA+PQ的最小值為7 2.故答案為：7,25、考點(diǎn)：切線的判定分析：（1）連結(jié)OA如圖，根據(jù)圓周角定理得/ AOC=2B=60，則可判斷A OAC為等邊三 角形，所以/ OAC=60 , 則

7、/ OADMCAD # OAC=90 ,于是可根據(jù)切線的判定定理得到AD是OO的切線；在RtZOAD中利用含30。的直角三角形三邊的關(guān)系得到OAEFADUIQ貝U AC=OA=103作弦AF _L OC連結(jié)HF交OD于P,延長AP交OO于E點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得到 OC平分AF,即OC垂直平分AF, 貝U PA=PF所以PA+PH=PF+PH=HF 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得此時(shí) PA+PH的值最??；能證出/ HOF=90 , OF=10 OH=5 S/3，由勾股定理求出HF.AC=OA=10解答：證明：連結(jié)OA如圖，?/ AO(=2Z B=2X 30° =60° ,? OAC等邊

8、三角形，OAC=60 ,而/ CAD=30 , ?/ OAD/ CAD-Z OAC=90 ,?OA! AD ?AD是。O的切線；(2)存在。在 Rt OA中,V/ AOD=60 , / D=30 ° , ?OAAADJ x 10 .3=10 33作弦AF! OC連結(jié)HF交OD于P,延長AP交O O于E點(diǎn)，?/ OCL AF ,. OC 平分 AF,即 P OC 垂直平分 AF, T. PA=PF ,? PA+PH=PF+PH=HF止匕時(shí) PA+PH 的值最/J、， ?/ OH! AC, ? HC=AH=5 OH= 5.32在 Rt HOF 中，HF= . OH2 OF2 =J(5V3

9、 )102 = 5.7 ,V/ COF=60 ,/ HOP=30 ?/ HOF=90即PA+PH的最小值為5.、7.6、【分析】(1)連結(jié)OQ如圖1,由PQ/ AB, OPL PQ 得到OPLAB,在RtAOBP中，利用正切定義可計(jì)算出OP=3tan30 =,然后在Rt AOPQ中利用勾股定理可計(jì)算出PQ=:；（2）連結(jié)OQ如圖2,在RtAOPQ中，根據(jù)勾股定理得到PQ= J -'',則當(dāng)OP的長最小時(shí)，PQ的長最大，根據(jù)垂線段最短得到 OPBC則OP= OB=，所以PQ長的最大值=【解答】解：（1）連 結(jié)OQ如圖1,?/ PQ/ AB, OPL PQ?OP! AB,OP在 RtOBP 中，V tan / B=二? OP=3ta n30 =",在 Rt/XOPQ 中，T OP= :, OQ=3(2)連結(jié)OQ如圖2,-11 ,當(dāng)OP的長最小時(shí)，PQ的