大學(xué)物理習(xí)題答案第六篇

1、    習(xí)題解答6-2 一個運動質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系為 m ,其中x的單位是m，t的單位是s。試求：(1)周期、角頻率、頻率、振幅和初相位；(2)  t = 2 s時質(zhì)點的位移、速度和加速度。解 (1)將位移與時間的關(guān)系與簡諧振動的一般形式相比較，可以得到角頻率 s-1, 頻率 , 周期 , 振幅 ,初相位 .(2)  t = 2 s時質(zhì)點的位移.t = 2 s時質(zhì)點的速度 .t = 2 s時質(zhì)點的加速度.6-3 一個質(zhì)量為2.5 kg的物體系于水平放置的輕彈簧的一端，彈簧的另一端被固定。若彈簧受10 N的拉力，

2、其伸長量為5.0 cm，求物體的振動周期。解 根據(jù)已知條件可以求得彈簧的勁度系數(shù) ,于是，振動系統(tǒng)的角頻率為.所以，物體的振動周期為.6-4 求圖6-5所示振動裝置的振動頻率，已知物體的質(zhì)量為m，兩個輕彈簧的勁度系數(shù)分別為k1 和k2。解 以平衡位置O為坐標(biāo)原點，建立如圖6-5所示的坐標(biāo)系。若物體向右移動了x，則它所受的力為圖6-5.根據(jù)牛頓第二定律，應(yīng)有,改寫為.所以 , .圖6-66-5 求圖6-6所示振動裝置的振動頻率，已知物體的質(zhì)量為m，兩個輕彈簧的勁度系數(shù)分別為k1 和k2。解 以平衡位置O為坐標(biāo)原點，建立如圖6-6所示的坐標(biāo)系。當(dāng)物體由原點O向右移動x

3、時，彈簧1伸長了x1 ，彈簧2伸長了x2 ，并有 .物體所受的力為,式中k是兩個彈簧串聯(lián)后的勁度系數(shù)。由上式可得   ,  .于是，物體所受的力可另寫為,由上式可得  ,所以 .裝置的振動角頻率為 ,裝置的振動頻率為  .6-6 仿照式(6-15)的推導(dǎo)過程，導(dǎo)出在單擺系統(tǒng)中物體的速度與角位移的關(guān)系式。解 由教材中的例題6-3，單擺的角位移q與時間t的關(guān)系可以寫為q = q 0 cos (w t+j) ,單擺系統(tǒng)的機械能包括兩部分, 一部分是小物體運動的動能,另一部分是系統(tǒng)的勢能，即單擺與地球所組成的系統(tǒng)的重力勢能

4、.單擺系統(tǒng)的總能量等于其動能和勢能之和，即,因為 , 所以上式可以化為 .于是就得到,由此可以求得單擺系統(tǒng)中物體的速度為  .這就是題目所要求推導(dǎo)的單擺系統(tǒng)中物體的速度與角位移的關(guān)系式。6-7 與輕彈簧的一端相接的小球沿x軸作簡諧振動，振幅為A，位移與時間的關(guān)系可以用余弦函數(shù)表示。若在t = 0時，小球的運動狀態(tài)分別為(1)  x = -A；(2)過平衡位置，向x軸正方向運動；(3)過x =處，向x軸負方向運動；(4)過x =處，向x軸正方向運動。試確定上述各狀態(tài)的初相位。解 (1)將t = 0和x =-A代入,得,.(2)根據(jù) 以及 ，可以得到,.由上兩式可以解

5、得 .(3)由 和v < 0可以得到,.由上兩式可以解得.(4)由 和v > 0可以得到 , .由上兩式可以解得 .6-8 長度為l的彈簧，上端被固定，下端掛一重物后長度變?yōu)閘 + s，并仍在彈性限度之內(nèi)。若將重物向上托起，使彈簧縮回到原來的長度，然后放手，重物將作上下運動。(1)證明重物的運動是簡諧振動；圖6-7 (2)求此簡諧振動的振幅、角頻率和頻率；(3)若從放手時開始計時，求此振動的位移與時間的關(guān)系(向下為正)。解 (1)以懸掛了重物后的平衡位置O為坐標(biāo)原點，建立如圖6-7所示的坐標(biāo)系。因為當(dāng)重物處于坐標(biāo)原點O時重力與彈力相平衡，即,

6、.  (1)當(dāng)重物向下移動x時，彈簧的形變量為(s + x )，物體的運動方程可以寫為,將式(1)代入上式，得 ,即. (2) 重物的運動滿足這樣的微分方程式，所以必定是簡諧振動。(2)令, (3)方程式(2)的解為.  (4)振幅可以根據(jù)初始條件求得：當(dāng)t = 0 時，x0 = -s，v0 = 0，于是 .角頻率和頻率可以根據(jù)式(3)求得： ,.(3)位移與時間的關(guān)系：由 , 以及當(dāng)t = 0 時，x0 = -s，v0 = 0，根據(jù)式(4)，可以得到,.由以上兩式可解得.故有.6-9 一個物體放在一塊水平木板上，此板在水平方向上以頻率n作簡諧

7、振動。若物體與木板之間的靜摩擦系數(shù)為m0 ，試求使物體隨木板一起振動的最大振幅。解 設(shè)物體的質(zhì)量為m，以平衡位置O為坐標(biāo)原點建立如圖6-8所示的坐標(biāo)系。圖6-8由于物體與木板之間存在靜摩擦力，使物體跟隨木板一起在水平方向上作頻率為n的簡諧振動。振動系統(tǒng)的加速度為,可見，加速度a的大小正比與振幅A，在最大位移處加速度為最大值 .最大加速度amax對應(yīng)于最大振幅Amax，而與此最大加速度所對應(yīng)的力應(yīng)小于或等于重物與木板之間的最大靜摩擦力，物體才能跟隨木板一起振動。所以可以列出下面的方程式,.由以上兩式可以解得使物體隨木板一起振動的最大振幅，為.圖6-96-10 一個物體放在一塊水平木板上

8、，此板在豎直方向上以頻率n作簡諧振動。試求物體和木板一起振動的最大振幅。解 設(shè)物體的質(zhì)量為m，以平衡位置O為坐標(biāo)原點建立如圖6-9所示的坐標(biāo)系。物體所受的力，有向下的重力mg和向上的支撐力N，可以列出下面的運動方程 . (1)由簡諧振動,可以求得加速度.當(dāng)振動達到最高點時，木板的加速度的大小也達到最大值，為,(2)負號表示加速度的方向向下。如果這時物體仍不脫離木板，物體就能夠跟隨木板一起上下振動。將式(2)代入式(1)，得 .  (3)物體不脫離木板的條件是,取其最小值，并代入式(3)，得,于是可以求得物體和木板一起振動的最大振幅，為.6-11 一個系統(tǒng)作簡諧振動

9、，周期為T，初相位為零。問在哪些時刻物體的動能與勢能相等？解 初相位為零的簡諧振動可以表示為.振動系統(tǒng)的動能和勢能可分別表示為,.因為 ,所以勢能可以表示為.當(dāng) 時，應(yīng)有,即,.由上式解得將 代入上式，得或6-12 質(zhì)量為10 g的物體作簡諧振動，其振幅為24 cm，周期為1.0 s，當(dāng)t = 0時，位移為+24 cm，求：(1) 時物體的位置以及所受力的大小和方向；(2)由起始位置運動到x = 12 cm處所需要的最少時間；(3)在x = 12 cm處物體的速度、動能、勢能和總能量。解 首先根據(jù)已知條件得出位移與時間關(guān)系的具體形式。一般形式為.將 , , , 各量代入上式，同時，根

10、據(jù) 時 ，求得 , ，于是得到簡諧振動的具體形式為.(1) 物體的位置為,所受力的大小為,方向沿x軸的反方向。(2)由起始位置運動到x = 12 cm處所需要的最少時間,題目要求最少時間，上式中應(yīng)取正號。所以 .(3)在x = 12 cm處,.物體的速度為.物體的動能為.物體的勢能為,所以物體的總能量.6-13 質(zhì)量為0.10 kg的物體以2.0´10-2m的振幅作簡諧振動，其最大加速度為4.0 m×s-2 ，求：(1)振動周期；(2)通過平衡位置的動能；(3)總能量。解 (1) 最大加速度與角頻率之間有如下關(guān)系 ,所以.由此可求得振動周期，為 

11、;.(2)到達平衡位置時速率為最大，可以表示為,故通過平衡位置時的動能為.(3)總能量為.6-14 一個質(zhì)點同時參與兩個在同一直線上的簡諧振動： 和(式中x的單位是m，t的單位是s)，求合振動的振幅和初相位。解 已知A1 = 0.05 m、j = p / 3、A2 = 0.06 m和j2 = -2p / 3，故合振動的振幅為.合振動的初相位為,.但是j不能取p / 3，這是因為x1和x2是兩個相位相反的振動，如果它們的振幅相等，則合振動是靜止?fàn)顟B(tài)，如果它們的振幅不等，則合振動與振幅較大的那個振動同相位。在我們的問題中， ，所以合振動與x2同相位。于是，在上面的結(jié)果中，合振動得初相位只能取 ，即

12、.6-15 有兩個在同一直線上的簡諧振動： m和 m，試問：(1)它們合振動的振幅和初相位各為多大？(2)若另有一簡諧振動 m，分別與上兩個振動疊加，j為何值時，x1 + x3 的振幅為最大？j為何值時，x2+ x3 的振幅為最??？解 (1)合振動的振幅為.合振動的初相位,考慮到x1與x2相位相反， ，所以合振動x應(yīng)與x2同相位，故取 .(2)當(dāng) 時，合振動 的振幅為最大，所以這時合振動的振幅為.當(dāng) 時，合振動 的振幅為最小，所以這時合振動的振幅為.6-16 在同一直線上的兩個同頻率的簡諧振動的振幅分別為0.04 m和0.03 m，當(dāng)它們的合振動振幅為0.06 m時，兩個分振動的相位

13、差為多大？解 合振動的振幅平方可以表示為,所以, .6-17 一個質(zhì)量為5.00 kg的物體懸掛在彈簧下端讓它在豎直方向上自由振動。在無阻尼的情況下，其振動周期為 ；在阻尼振動的情況下，其振動周期為 。求阻力系數(shù)。解 無阻尼時.有阻尼時.根據(jù)關(guān)系式,解出b，得將b代入下式就可求得阻力系數(shù) .6-21 某一聲波在空氣中的波長為0.30 m，波速為340 m×s-1 。當(dāng)它進入第二種介質(zhì)后，波長變?yōu)?.81 m。求它在第二種介質(zhì)中的波速。解 由于波速u、波長l和波的頻率n之間存在下面的關(guān)系 ,當(dāng)聲波從一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì)時，頻率不會改變，所以.于是可以求得

14、聲波在第二種介質(zhì)中的波速，為 .6-22 在同一種介質(zhì)中傳播著兩列不同頻率的簡諧波，它們的波長是否可能相等？為什么？如果這兩列波分別在兩種介質(zhì)中傳播，它們的波長是否可能相等？為什么？解 根據(jù)書中160頁波在介質(zhì)中的傳播速率的表達式(6-50)至(6-52)，可以看到，波的傳播速率是由介質(zhì)自身的特性所決定。所以，兩列不同頻率的簡諧波在同一種介質(zhì)中，是以相同的速率傳播的。故有.可見，頻率不同的兩列波，其波長不可能相同。當(dāng)這兩列不同頻率的波在不同的介質(zhì)中傳播時，上面的關(guān)系式不成立。只要兩種介質(zhì)中的波速之比等于它們的頻率之比，兩列波的波長才會相等。6-23 已知平面簡諧波的角頻率為w =15

15、.2´102 rad×s-1，振幅為A=1.25´10-2 m，波長為l = 1.10 m，求波速u，并寫出此波的波函數(shù)。解 波的頻率為.波速為.所以波函數(shù)可以寫為 .6-24 一平面簡諧波沿x軸的負方向行進，其振幅為1.00 cm，頻率為550 Hz，波速為330 m×s-1 ，求波長，并寫出此波的波函數(shù)。解 波長為.波函數(shù)為.6-25 在平面簡諧波傳播的波線上有相距3.5 cm的A、B兩點，B點的相位比A點落后45°。已知波速為15 cm×s-1 ，試求波的頻率和波長。解 設(shè)A和B兩點的坐標(biāo)分別為x1和x2，這樣兩點的相

16、位差可以表示為,即.由上式可以求得波長，為.波的頻率為.6-27 波源作簡諧振動，位移與時間的關(guān)系為 y = (4.00´10-3 ) cos 240p t  m，它所激發(fā)的波以30.0 m×s-1 的速率沿一直線傳播。求波的周期和波長，并寫出波函數(shù)。解 設(shè)波函數(shù)為  .已知, , , 根據(jù)這些數(shù)據(jù)可以分別求得波的周期和波長。波的頻率為.波的周期和波長分別為,.于是，波函數(shù)可以表示為  .6-29 沿繩子行進的橫波波函數(shù)為，式中長度的單位是cm，時間的單位是s。試求：(1)波的振幅、頻率、傳播速率和波長；(2)繩上某質(zhì)點的最大橫向振動速率。解

17、波函數(shù)可寫為,其中.(1)由已知條件可以得到, .(2)繩上質(zhì)點的橫向速率為,所以 .6-30 證明公式 。解 根據(jù)和,所以可以將波速的表達式作如下的演化,故有.6-31 用橫波的波動方程 和縱波的波動方程 證明橫波的波速和縱波的波速分別為 和 。解 將平面簡諧波波函數(shù)分別對x和t求二階偏導(dǎo)數(shù)：, (1) .(2)將以上兩式同時代入縱波波動方程即教材中第167頁式(6-62)，得 ,所以 .將式(1)和式(2)同時代入橫波波動方程即教材中第169頁式(6-64)，得,所以 .6-32 在某溫度下測得水中的聲速為1.46´10

18、3 m×s-1 ，求水的體變模量。解 已知水中的聲速為u = 1.46´103 m×s-1，水的密度為 ，將這些數(shù)據(jù)代入下式,就可以求得水的體變模量，得 .6-33 頻率為300 Hz、波速為330 m×s-1的平面簡諧聲波在直徑為16.0 cm的管道中傳播，能流密度為10.0´10-3J×s-1 ×m-2 。求：(1)平均能量密度；(2)最大能量密度；(3)兩相鄰?fù)辔徊嬷g的總能量。解 (1)平均能量密度 ：根據(jù),將已知量 和 代入上式，就可以求得平均能量密度，得.(2)最大能量密度wmax：.(3)兩相鄰?fù)辔徊嬷g的總能量W：將已知量, , 代入下式得.6-34  P和Q是兩個以相同相位、相同頻率和相同振幅在振動并處于同一介質(zhì)中的相干波源，其頻率為n、波長為l，P和Q相距3l/ 2。R為P、Q連線延長線上的任意一點，試求：圖6-10(1)自P發(fā)出的波在R點引起的振動與