醫(yī)用高等數(shù)學：換元法與分部積分法

1、2021-12-14(4)在定積分在定積分 的定義中，總假設的定義中，總假設 ，為了，為了 今后的使用方便，對于今后的使用方便，對于 時作如下規(guī)定：時作如下規(guī)定：xxfbad )(ba baba ，.d )(d )( ,0d )( xxfxxfbaxxfbabaabba時當；時，當即互換定積分的上、下限，定積分要變號即互換定積分的上、下限，定積分要變號.2021-12-14 牛頓 萊布尼茨公式上的一個原在是連續(xù)函數(shù)設,)()(baxfxF( 牛頓牛頓 - 萊布尼茨公式萊布尼茨公式) )()(d)(aFbFxxfba記作( )F xab定理定理3.6.函數(shù) , 則2021-12-14定積分的換元

2、法定積分的換元法 上一節(jié)我們建立了積分學兩類基本問題上一節(jié)我們建立了積分學兩類基本問題之間的聯(lián)系之間的聯(lián)系微積分基本公式，利用這微積分基本公式，利用這個公式計算定積分的關鍵是求出不定積分個公式計算定積分的關鍵是求出不定積分，而，而換元法和分部積分法換元法和分部積分法是求不定積分的是求不定積分的兩種基本方法，如果能把這兩種方法直接兩種基本方法，如果能把這兩種方法直接應用到定積分的計算，相信定能使得定積應用到定積分的計算，相信定能使得定積分的計算簡化，分的計算簡化，下面我們就來建立定積分下面我們就來建立定積分的換元積分公式和分部積分公式。的換元積分公式和分部積分公式。2021-12-14先來看一個

3、例子先來看一個例子例例140221xdxx換元求不定積分換元求不定積分令令12 xt則則) 1(212 tx211222221txdxtdttxCtt 23613Cxx 2123) 12 (23) 12 (61dxtdt21322tdt2021-12-14先來看一個例子先來看一個例子例例140221xdxx43122013(21)(21)62xx故故40221xdxx31221313( )( )62622232021-12-14為去掉根號為去掉根號, 令令12 xt則則212 txtdtdx 當當 x 從從0連續(xù)地增加到連續(xù)地增加到4時，時，t 相應地從相應地從1連續(xù)連續(xù)地增加到地增加到3;于

4、是于是40221xdxx嘗試一下直接換元求定積分嘗試一下直接換元求定積分:2311322ttdtt3211(3)2tdt3311323tt2232021-12-1444312200213(21)(21)6221xdxxxx40221xdxx3211(3)2tdt12 xt換元并換限換元并換限 2021-12-14將上例一般化就得到定積分的換元積分公式將上例一般化就得到定積分的換元積分公式 由此可見，定積分也可以象不定積分一由此可見，定積分也可以象不定積分一樣進行換元，所不同的是不定積分換元時要樣進行換元，所不同的是不定積分換元時要回代原積分變量，而回代原積分變量，而對定積分則只需將其對定積分則

5、只需將其上、下限換成新變量的上、下限即可計算出上、下限換成新變量的上、下限即可計算出定積分，而不必回代原積分變量定積分，而不必回代原積分變量2021-12-14一、換元公式一、換元公式（3 3）當當t在在區(qū)區(qū)間間, 上上變變化化時時，)(tx 的的值值在在,ba上上變變化化，且且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .2021-12-14應用換元公式時應注意應用換元公式時應注意: :(1):,ta b 設定新變量 后，要列出新變量的變化范圍做為新的積分限；(2):;ba新的上限舊的上限新的下限舊的下限(3):; x求出原函數(shù)后，不必換回原來的積分變量202

6、1-12-14計算計算220aax dxax 22xay o例例2令令220aax dx2220cosatdt220(1 cos2 )2at dt42a taxsin cosdx atdt00 tx2 tax解解12201sin222att2021-12-14計算計算220aax dx解解2 由定積分的幾何意義由定積分的幾何意義220aax dx等于圓周的第一象限部分的面積等于圓周的第一象限部分的面積42a 解解3Caxaxaxdxxa arcsin2222222 故故220aax dx42a ax 22xay o例例22021-12-14.sincos205 xdxx解解 令令,cosxt

7、,sin xdxdt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 例例3 3 計算計算150t dt2021-12-14如果用第一換元法如果用第一換元法(湊微分法湊微分法)求原函數(shù)，求原函數(shù)，一般不用設出新變量，因此原積分限不變一般不用設出新變量，因此原積分限不變.250cossinxxdx66111cos(cos 0)6266 250coscosxdx2601cos6x 2021-12-14例例4 1lnexdxx 4 1lnlnex dx5111ln55ex140u du1501155u換元必須換限換元必須換限 lndxlnux2021-1

8、2-14 幾個關于奇、偶函數(shù)及周期函數(shù)的定積分幾個關于奇、偶函數(shù)及周期函數(shù)的定積分的例子的例子. 換元積分換元積分例例 則則上上可可積積在在區(qū)區(qū)間間設設,)(aaxf 證證 由于由于 aaxxfd)( 0d)(axxf對對, tx 令令 axxf0d)(由由被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間變化被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間變化來確定變換來確定變換.通常通常 0d)(axxf aaxxfxfxxfd)()(d)(0a作作變換變換,.ddtx 還可以證明一些定積分等式還可以證明一些定積分等式,2021-12-14,ax , 0 x 0d)(axxf attf0d)(x利用這一結果計算利用這一結果計算:xexxd

9、1cos44 22xexexxxd1cos1cos40 則則;at . 0 t 0d)(attftx 令令 40dcos xx.ddtx x aaxxfd)( axxf0d)( 0d)(axxf0( )d ( )()daaaf xxf xfxx2021-12-14可得可得: 由定積分的幾何意義由定積分的幾何意義(面積的代數(shù)和面積的代數(shù)和)也可得也可得.,)(上連續(xù)上連續(xù)在在當當aaxf 且有且有,)()1(為偶函數(shù)為偶函數(shù)xf則則 aaaxxfxxf0d)(2d)(,)()2(為奇函數(shù)為奇函數(shù)xf則則 aaxxf0d)(0( )d ( )()daaaf xxf xfxx由2021-12-14

10、xxxdsin4 112d4xx xxxxxd12sin552423xx d412 00例例 202021-12-142021-12-14幾個特殊積分、定積分的幾個等式幾個特殊積分、定積分的幾個等式0( )( )a LLaf x dxf x dx設設 f(x) 是以是以L為周期的連續(xù)函數(shù)：為周期的連續(xù)函數(shù)：2200(sin )d(cos )d ;fxxfxx,)(上連續(xù)上連續(xù)在在當當aaxf ,)()1(為偶函數(shù)為偶函數(shù)xf aaaxxfxxf0d)(2d)(,)()2(為奇函數(shù)為奇函數(shù)xf aaxxf0d)(2021-12-14定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式二、定積分的二、定積分的

11、分部積分分部積分法法設設)(),(xvxu上上在區(qū)間在區(qū)間,ba有有連續(xù)的導數(shù)連續(xù)的導數(shù),則則 vuddefinite integral by parts定理定理2uv uvd由不定積分的分部積分法由不定積分的分部積分法abbaab及及N-L公式公式. bababauvuvvudd2021-12-14例1. 計算計算.darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x02112231分部積分過程分部積分過程： bababauvuvvudd已積出的部分要求值已積出的部分要求值 2021-12-14

12、例2 求求822exdx解解: 令2,xt則21,2xtddxtt原式42ettdt分部積分過程：分部積分過程： bababauvuvvudd84,22xtxt 4422tttee dt 442242teee 424242423eeeeee已積出的部分要求值已積出的部分要求值 42ttde2021-12-14例例3240tanxxdx240sec1xxdx24400tan2xxdx24400tantan32xxxdx240ln cos432x22ln4232 定積分的分部積分法已積出的部分要求值已積出的部分要求值 作業(yè)作業(yè)P90，（8）-（12）2021-12-14定積分的分部積分公式定積分的

13、分部積分公式 bababauvuvvudd定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法三、小結三、小結定積分的換元公式定積分的換元公式xxfbad)( tttfd)()( 奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質三角函數(shù)的定積分公式三角函數(shù)的定積分公式周期函數(shù)的定積分公式周期函數(shù)的定積分公式2021-12-14例例8 8 計算計算.11cos21122 dxxxxx解解原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11 (4dxx 102144dx

14、x.4 四分之一單位圓的面積四分之一單位圓的面積2021-12-14思考題思考題指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的錯錯誤誤，并并寫寫出出正正確確的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 2021-12-14 思考題解答思考題解答計算中第二步是錯誤的計算中第二步是錯誤的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正確解法是正確解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12

15、 2021-12-14練練 習習 題題一、一、 填空題：填空題：1 1、 3)3sin(dxx_；2 2、 03)sin1(d_；3 3、 2022dxx_ _；4 4、 2121221)(arcsindxxx_；5、 55242312sindxxxxx_ .2021-12-14二、二、 計算下列定積分：計算下列定積分：1 1、 203cossin d； 2 2、 31221xxdx；3 3、 14311xdx； 4 4、 223coscosdxxx；5 5、 02cos1dxx； 6 6、 224cos4 dx；7 7、 112322)11(dxxxxx；8 8、 203,maxdxxx；9 9、 20dxxx （為參數(shù)為參數(shù) ）. .2021-12-14三、三、 設設 時，時，當當時，時，當當0,110,11)(xexxxfx求求 20)1(dxxf. .四、設四、設 baxf,)(在在上連續(xù)，上連續(xù)， 證明證明 babadxxbafdxxf)()(. .五、五、 證明：證明： 1010)1()1(dxxxdxxxmnnm. .2021-12-14六、證明：六、證明： aaadxxfxfdxxf0)()()(, , 并求并求 44sin1xdx. .七、設七、設 1,0)(在在xf上連續(xù)，上連續(xù)， 證明證明 2020)cos(41)cos