江蘇專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微積分例題加練習(xí)

1、第八章多元函數(shù)微積分本章主要知識點(diǎn)一階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算可微與全微分二階偏導(dǎo)數(shù)二重積分直角坐標(biāo)系二重積分極坐標(biāo)系一、一階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算多元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算主要有下面問題：（ 1）顯式函數(shù)一階偏導(dǎo)。（ 2）復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)。（ 3）隱函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)。1顯函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)例 8.1 uxesin( x2 y ) ，求u ,u 。xy解：uesin x2 yxy cos(x2 y)esin x2 y1 xy cos x2 y exyxu x3esin x2 y cos x2 yy例 8.2 ux yyzzxyu ,u ,u 。，求xyzuyxy 1y 1z yxy 1yzy xy 1 ，解：0 y zxxux

2、 y ln xzy z 1zy y lnzx ，yu0 y z ln y x y y z y 1yz ln y yx y z y 1 ，z例 8.3 zlnxx2y2 xy ，求u ,u 。xy解：ux1y21x2xyxy 11y2yxy 1 ，xx2y2x2z1y2x2yxy ln xx2yx2x y ln x 。yxx2y2y2 xy 22復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)我們用具體的例子來說明復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)的解題步驟。例如uf xy, xy, sin x ，其中 f 為已知可微三元函數(shù)，求u ,u ,u 。xyz第一步：變量x, y, z 的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)圖x1yxu2y3x其中 1， 2 ， 3 分別表示x

3、y, xy, sin x第二步：尋找與x 對應(yīng)的路徑，計(jì)算的過程可以總結(jié)為“路中用乘，路間用加”uf 2yf3 cos xf1f 2y f 3 cos xf1 1x同理，尋找與y 對應(yīng)的路徑，uf2 xf1f 2 x 。f1 1y例 8.4 ufsin( xy2 ), ex2 y，求u ,u 。xy解：uf1cos(xy 2 )y 2f2ex2 yxu2 f1cos( xy2 ) xy2 f2ex 2 yy例 8.5 uf (xz2 ,sin(2 z3 y), zexyz) 求u ,u ,u 。xyz解：x1zuf2yzx3yzuf1z2f3z2 yexyzxu3 f2cos(2z3y) f3

4、xz2exyzyu2 f1xz2 f2cos(2 z3y) f3 exyz (1 xyz) 。z3隱函數(shù)一階偏導(dǎo)由方程 F ( x, y, z)0 決定隱函數(shù)zz( x, y) 。求偏導(dǎo)公式為：zFx， zFyxFzyFz例 8.6zz(x, y)由方程222x2 y 3 zzzxyze決定，求,。1yx解： F x2y2z2ex 2 y 3 z 1zFx2xex 2 y 3 zxFz3ex2 y 3z2zzFy2y2ex2 y 3z.yFz3ex 2 y 3 z2z例 8.7 x sin(2xy2yz)z21，求z ,z 。xy解： Fxsin(2 xy 2yz)z21zxFxFzsin(2

5、 xy2yz)xycos(2x2x cos(2x2yyz)2zy2yz)zyFyFzx(2 yz)cos(2 x2xy cos(2xyy2 yz)yz) 。2z二、全微分uf ( x, y) ，全微分 dufdxfdyxyuf ( x, y, z) ，全微分 dufffdxdydzxyz例 8.8 u xy tan x ，求 du 。y解：uy tan xyx sec2 x1y tan xxsec2xxyyyyyux2 xxxx2 xxx22 xyx tanyxysecyy2x tan yxyy 2sec yxtanyysecyduuux2xxx22xdxdy( y tanx sec)dx(

6、x tanysec) dyxyyyyy例 8.9 ux yyxxxyy ，求 du 。解 :uyx y 1y x ln y xx (1 ln x)xuxy ln x xyx 1y y (1 ln y)ydu( yxy 1y x ln yxx (1 ln x)dx(x y ln xxyx 1yy (1ln y)dy例 8.10 ux2y2x sin 2 y ，求 du ( x 1, y) 。2解：u2xsin 2yxu2 y2x cos2 yxu2,u2 cos2x x1, yy x 1, y22du2dx(2) dy三、二階偏導(dǎo)數(shù)2222例如 uf ( x, y) ，有四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)u ,u ,u

7、 ,u。分別定義為x2x yy xy22u(u ) ，2ux( u ) ，x2xxx yy2uy(u) ，2 uy( u )y xxy 2y在連續(xù)條件下2 u2 u。x yy x例 8.11已知 u3yx2yxy求 u 的所有二階偏導(dǎo)數(shù)x解： ux3x2 y2x1yy2x xuyx3x21y2xuxx6xy23 yy4 x 25uxyuyx3x22 x11y 22 x232x2u yyy3例 8.12 u ln( xx 2y2) 求2 u 。x y解：u1(1x)1xx2x2x2y 2xy 2y 22u12 yyx y2 ( x233y2 ) 2( x2y2 ) 2例 8.13 已知 zz(x

8、, y) 由方程 x2y 2yezz2 決定，求2 z 。x y解：方程兩邊對x 求偏導(dǎo)得：2xyezz2z z即， 2x( yez2z)z（ ）xxxz2xxyez2z兩邊對y 求偏導(dǎo)得：2 y ezye z z2z zyyz 2 y ez y yez 2z（ ）兩邊對 y 求偏導(dǎo)得：0 (ezzz2z)zz2 zyeyyy( ye2 z)x y2 zezz( yez2)( z ) 2yyezyx y2zez2 yez( yez2)(2yez)2yez2zyez2 zyez2zez ( 2 yez )( yez2z)( yez2)(2 yez ) 2。( yez2z)3例 8.14 uf (

9、xy,sin x, x2 ey ) ，其中f 為已知三元函數(shù)，求2u 。x y解：uf1yf2 cos xf32 xeyx2 uf1y( f11xf132ycos x( f21xf232y)x yxe )xe 2xey f 32xey ( f31xf33 x2 ey ) 。四、偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1.曲面的切平面及法線方程（ 1） zf (x, y) 在 p0的法向量 n f x, f y ,1| p0（ 2）曲面方程為F(x,y,z)=0，在 p0的法向量 n Fx , Fy , Fz| p02.多元函數(shù)極值求解流程： （ 1）駐點(diǎn) ( x0 , y0 ) ， fx(x, y)0, f( x , y)

10、0.00y00（ 2）計(jì)算 Afxx ( x0 , y0 ), Bfxy ( x0 , y0 ), Cfyy ( x0 , y0 )；B2AC, 則當(dāng)0時(shí)，無極值；當(dāng)0 時(shí)， A>0 取極小， A<0取極大。例 8.15 求曲面 ezzxy3在點(diǎn) P(2,1,0)處的切平面和法線方程。解：令 f ( x, y, z)ezzxy3，則 fxy, fyx, fzez1P 點(diǎn)法向量 n fx , f y , f z| (2,1,0) 1,2,0切平面為： ( x1)2( y1)0法線方程為：x 1y1z。120例 8.16 求函數(shù)f ( x, y)e2 x ( xy22y) 的極值。f2

11、e2 x ( xy22y)e2x0解得駐點(diǎn) ( 1解：由x, 1)f2x(2 y2)02yef xx4e2x ( xy22 y1), fxy2e2 x (2 y2), f yy 2e2xA2e0, B0,C2e,B2AC4e20 ,點(diǎn) (1,1) 取極小值，f mine .22五、累次積分b2 ( x)b2 ( x)累次積分a dx1xf ( x, y)dy a1 ( x) f ( x, y)dy dx例 8.17 計(jì)算1x0dx x2xydy11xxy2dx解：原式02x2112x4)dx2x( x01111246241y2例 8.18 dy00sin ydxy1 sin yy2dy1解：原

12、式y(tǒng)y sin ydy00111yd cos yy cos y 0cos ydy001sin1cos1 。cos1 sin y 0六、直角坐標(biāo)下的二重積分X 型區(qū)域y2 xb2 ( x)f ( x, y)dxdydxf ( x, y)dya1 ( x)y1 xoabO圖示 8.1Y 型區(qū)域y1 yxdDx2 yd2 ( y )f ( x, y) dxdydyf ( x, y) dxDc1 ( y)co圖示 8.2x上述 X 型，Y 型區(qū)域的定限方法非常重要，將直角坐標(biāo)下二重積分轉(zhuǎn)換為累次積分，更復(fù)雜的區(qū)域可以看成（拆分）為若干X 型， Y 型區(qū)域組合而成。例 8.19 D 由 yx2 , yx

13、 在第一象限所圍的區(qū)域，計(jì)算( x y) dxdyyD1xy x2y x解： (x y)dxdydx ( x y) dyD0x211 y2 )x( xydx02x2o1( x21 x2x31 x4 )dx0221(3 x21 x4 )dx1113x30222410201圖示 8.3x例 8.20 D 由曲線 yln x, x2, xe, x 軸所圍的區(qū)域，計(jì)算ydxdyDeln x1e解：ydxdydxydyy2 |0ln x dxD202 21 e2xdx1xln2eeyln2x |2ln xdx2 221 eln 2 2x ln x |2eeyln x1dx221eln 2 2e2ln 2

14、e22o12ex1 eln 2 22ln 22圖示 8.42例 8.21 D 由曲線 yx 在（ 1， 1）點(diǎn)處切線， yx 本身， x 軸所圍的區(qū)域，計(jì)算xydxdyD解： y1，ky|(1,1)122 x切線方程： y 11 (x1)即x 2 y 12y1y2xydxdydyxydxD02 y1112 y 2yx1( yx ) |2 y 1 dy0 211 y5y(2 y1)2 dyox2 0111 y5y(4 y24 y1)dy圖示 8.52 01 1 ( y54y34 y2y)dy1 ( 1141 )02 02632例 8.22 D 為從 (1,1) ， (1,1 ) 連線 PQ，正方

15、形 0x 1， 0y 1去除右上角剩余部22分，計(jì)算( xy) dxdy。D解：設(shè)正方形0x1， 0y1為 G ，右上角部分D1 ，則( xy) dxdy( xy)dxdy( xy) dxdyDGD111y( xy)dxdydx( xy)dyG001111P3( xy21( x)dx1x yy) |0 dx2202011Q122O111x( xy) dxdydx( xy)dy圖示 8.6D1132x211 y2 ) |13 x11x( 31 ( 3x)2 dx( xydx xx)1221222222113 x1 (x2 3x9 )dx xx2122242112x51212513( x)dx(

16、xx8x) |1161286222原式=13131616改變累次積分的積分順序，是考查考生對二重積分定理是否掌握及掌握如何的一個(gè)重要填空題型。具體分析的思路應(yīng)是：原累次積分還原二重積分改變定限方向新累次積分例 8.23 變換下列二重積分的次序12 y33 ydyf (x y)dxdyf ( xy) dx 。0010解：y3y3xx 2 yy x / 21O2x圖示 8.723x原累次積分f (xy)dxdydxf ( x, y)dyD0x2例 8.24 改變下列累次積分的次序1y2 a2ax1) dyf ( x, y)dx ，2) dxf ( x, y)dy（ a0 ）0y02axx211 x

17、2eln x3) dxf (x, y)dy ，4) dxf ( x, y)dy1010解： 1)yy x2yx1o1圖示 8.81xyx2ay2ax原式f (x, y) dxdydxf ( x, y)dyD0x2a2) y2ax x2o2ax原式f (x, y) dxdy圖示 8.9Daaa2y2a2 a2a2adyf ( x, y)dxdyf (x, y)dxdy f ( x, y)dx0y20a a 2 y2ay22 a2ay3) x2y21ox圖示 8.1011y2原式f ( x, y)dxdydyf (x, y)dxDy01y24) yln x1o1ex圖示 8.111e原式f ( x

18、, y)dxdydy f (x, y)dxr rD0ey七、極坐標(biāo)系下的二重積分r ( )Orf ( x, y) ddf (r cos , r sin ) rdr圖示 8.12D0例 8.25 D 為 x2y 21, x 0, y 0, 計(jì)算 xydxdyDy21解：原式d r cos r sin rdr002 1cos sind0 41sin221o808圖示 8.13例 8.26 D 為 x 2y 2a2 且 x0，計(jì)算x2 y2 dxdyD2ar 2 cos2r 2 sin2y解：原式drdra0222xya22cos2sin 2dO62a22a2圖示 8.1424) dI 4 )3(c

19、oscos( I 203a2( 1231)a23242248例 8.27 D :1x2y24且 0yx ，計(jì)算xarct an dxdy.Dyy42r sin解：原式 = darctan()rdr01r cos424r 2 12 ddrdr01023 432432o1d40642 0圖示 8.15例 8.28 D 為圓周 x2y 22ax 與 x 軸在第一象限所圍部分，求Dxa2xyx2 xxydxdy。D解：將圓周x 2y22ax 化為極坐標(biāo)方程r2a cos ,22 a cos原式0d0r cosr sin rdry2 r 4cossin 02a cos d04x2y22ax(2a)425

20、sind4cos0oa2a4x14a462圖示 8.16cos0。63八、二重積分應(yīng)用1.物體質(zhì)量物體質(zhì)量 M( x, y)dxdy ，其中( x, y ) 為面密度函數(shù)。D例 8.29 物體形狀為D :( x, y) | x2y21, x 0 ，面密度與點(diǎn)到原點(diǎn)的距離一致，求物體的質(zhì)量。解：( x, y)x2y2，M x2y2 dxdy1rrdr.2 d06D22.曲頂柱體體積Vf ( x, y)dxdy ，其中 Dxy 為柱體在xoy 面上的投影域， zf ( x, y) 為曲面方程。D xy3.曲面面積S1zx2zy2 dxdy ， zf ( x, y) 為曲面方程，Dxy 為曲面在xoy 面上的投影域。D xy例 8.30 旋轉(zhuǎn)拋物面 z 2 x2 y 2 與 z x2 y2 所圍立體的體積。解：交線為：x2y21，立體在 xoy 面投影為z1V(2 x2y2 )d( x2y2 ) dDD21 2(1x2y2 )d2 d(1r 2 )rdrD00例 8.31 求旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2 被圓柱面 x2y2解： zx2x, z 2y，積分域 D: x2y22z0,yS1zx2zy2 dxdy14x24y2 dxdyDD2213 .=d14r 2 rdr003單元練習(xí)題8yx2y21z0。2