向量知識點(diǎn)題型歸納

1、1. 向向量的相關(guān)概念、2. 向量的線性運(yùn)算二.向量的表示方法：1 .幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，女口AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2 符號表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如a，b，c等；3 坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i , j為基底，則平面內(nèi)的r r r一一一任一向量a可表示為a xi yj x, y，稱 x, y為向量a的坐標(biāo)，a = x, y叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果 向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)

2、數(shù)1、2，使a= 1 e1 + 2e2。如rrrr1 r 3 r(1 )若 a (1,1)b(1, 1),c( 1,2)，則 c (答：一a -b )；2 2(2)下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是ir a. eu(0,0), e一(1, 2)itb. ©uu(1,2)®(5,7)ITuuITiu13C.©(3,5), e一(6,10)D.e(2, 3),eb(1,-)(答:B)；2 4uht Iuuuuiurr uuu r uuu(3) 已知AD,BE分別是 ABC的邊BC, AC上的中線，且AD a,BE b ,則BC可用向量a,b表示為2 r 4r

3、(答：一a -b )；3 3(4) 已知 ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD 2DB，CD r AB sAC，則r s的值是(答: 0)四.實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù) 與向量a的積是一個(gè)向量，記作 a，它的長度和方向規(guī)定如下：1,_,_r r當(dāng) >0時(shí)， a的方向與a的方向相同，當(dāng)<0時(shí)， a的方向與a的方向相反，當(dāng)=0時(shí)， a 0，注意：a工0。五.平面向量的數(shù)量積 ： uuu r uuu r1.兩個(gè)向量的夾角：對于非零向量 a，b，作OA a,OB b， AOBfrrr0稱為向量a，b的夾角，當(dāng) =0時(shí)，a，b同向，當(dāng) =時(shí)，a，b反向，當(dāng) 二一時(shí)，a，b垂2直。積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記

4、作： a ? b，積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如(1)(2)(3)(4)rrcbcos 。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量 ABC 中，I AB | 3，| AC |已知 a 2,b 5,ag)3，已知a,b是兩個(gè)非零向量，且3. b在a上的投影為| b | cos已知 | a | 3，| b |4. a ? b的幾何意義5.向量數(shù)量積的性質(zhì)r b9. r a5，且a:數(shù)量積4，| BC | 5，kb,d a b，等于則 AB BC(答:- 9);r uc與d的夾角為一，則4k等于(答：1 )；(答:23)；則a與a b的夾角為(答: 30o)它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如12

5、，則向量a在向量b上的投影為?b等于a的模|a |與b在a上的投影的積。:設(shè)兩個(gè)非零向量 a，b，其夾角為，則:(答:工)5r-rr rrr 2 r r r 2 r十 -r r 當(dāng)a , b同向時(shí)，a ? b = a b，特別地，a a?a a , a V a ;當(dāng)a與b反向時(shí)，a ? b =- a b ；當(dāng) 為銳角時(shí)，a ? b > o,且a、b不同向，a b 0是 為銳角的必要非充分條件 ；當(dāng) 為鈍角時(shí)，a ? b < 0， 且；、b不反向，a b 0是 為鈍角的必要非充分條件 ；r r-a ? b rrrr 非零向量a， b夾角 的計(jì)算公式：cos：|a?b| |a|b|。女

6、口(1已知a ( ,2 )，b (3 ,2)，如果a與b的夾角為銳角，貝9的取值范圍是 41(答：或 0且)；331(2)已知 OFQ的面積為S，且OF FQ 1，若一 S ，則OF , FQ夾角 的取值范圍是 2 2(答:(, );4 3六.向量的運(yùn)算：1.幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)uuu r murAB a,BCruuu r rrb，那么向量 AC叫做a與b的和，即alurACuur r uuur向量的減法：用“三角形法則”：設(shè) AB a, ACr r r uuu b,那么a b A

7、BuiurACuur CA ,由減向量的終點(diǎn)指向被減(1)化簡：uuu iuur AB BCuuir CDiuu:ABulutADuiur DCuuu:(ABuuuCD)UULT(ACUUTBD)ULTuur(答:AD ；CB ；0);uuur uuiur uuurrrr r242.)(2)若正方形ABCD的邊長為1,ABa, BCb, ACc ,則|ab c1=(答：uuuUULTuuuuuuruuu(3)若O是VABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OBOCOBOC2OA5則VABC的形狀為如(答：直角三角形)；向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。3 .分配律:下列命題中：2|a| |

8、b|2(a b)r2 aa, a b a?c a?c b?c。(bc)b a c : a (bc) (a b)c :(a b)2 | a |2(4)若D為 ABC的邊BC的中點(diǎn)，ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)uuP，滿足PAmuBPuuu劉0，設(shè)閹PD|則的值為(答：2);|b|20 ；若ab c b,則 a c ；2 a2 :需auuu iuur uuiu(5)若點(diǎn)O是厶ABC的外心，且 OA OB CO0,則 ABC的內(nèi)角C為(答:120°)；2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a (xi,yi),b (x2, y2)，則:向量的加減法運(yùn)算：a b(xiX2，yiY2)已知作用在點(diǎn) A(1,1)的三個(gè)力u

9、ruuF1(3,4), F2(2,uu5)乓uruuuuuu(3,1)，則合力FF1F2F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是(答：( 9,1)實(shí)數(shù)與向量的積：標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如為，y1n, y1UUT則ABX2X1, y2【1 uuuABuuuuuu,ad3 AB ,3%x2y2。r or|a|22 2 y ,a2 2x y則C、D的坐標(biāo)分別是平面向量數(shù)量積：a ?b如那么若 A(x1,y1), Bg y2),向量的模：| a |Xuuu設(shè) A(2,3), B( 1,5)，且 ACy1，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐11(答:(1,-),( 7,9)；已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60&

10、#176;，uu r|a 3b |(答: -“13 )；兩點(diǎn)間的距離：若A2 2 為， ,B X2,y2 ，則 |AB|、X2 X1討2 y1 。七.向量的運(yùn)算律1 交換律：abba , a?b b?a ；2結(jié)合律：a b ca b c, a b c a b c ，a ?br2b ；9(a b)r2 r r r2a2a b b。其中正確的是(答：)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以提醒：(1)一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量,向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律

11、，即a(b ? c)(a ?b)c，為什么r rrrr r r r八向量平行(共線)的充要條件：a/bab(a b)2(|a | b|)x1 y2y1x2= 0。如rrr r(1)若向量a (x,1),b(4,x)，當(dāng)x =時(shí)a與b共線且方向相同(答:2)；rrr rr r r rr r(2)已知 a (1,1)b(4,x), u a2b , v 2a b，且 u/v，貝U x=(答:4)；(3)uuuuuuuur設(shè) PA (k,12), PB (4,5), PC(10,k)，貝U k=時(shí)，A,B,C共線(答:2 或 11)九向量垂直的充要條件 ：a b a b 0 |a b| |a b|x1

12、x2 y1y2 0 .特別地UULTuuurUUUuuur/ ABAC、ABAC、 土(pUULj|-UtUr)(-uuui-uutr-)。女口|ab|ac|AB|ac|uuuuuuuuu uuu3(1)已知OA (1,2), OB(3, m),若 OA OB，則 m(答：-)；2(2)以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB, B 90，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(答: (1,3)或(3 , - 1)；(3)已知n (a,b),向量n(答：(b, a)或(b,a)切記兩irrm，且nur則m的坐標(biāo)是十線段的定比分點(diǎn)：iuuruur1 定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線P1 p2上異于P1、P2的

13、任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使RPPP,，則uuuuuuuu叫做點(diǎn)P分有向線段 PP2所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段 PP2的以定比為的定比分點(diǎn);2 .的符號與分點(diǎn) P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段 P1 P 2上時(shí)>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段P1 P2的延長線上時(shí)(2) |a|b| |a b| |a|b|，特別地，當(dāng)a b同向或有0|ab|a|b|< 1；當(dāng)P點(diǎn)在線段P2 P的延長線上時(shí)0 ；若點(diǎn)P分有向線段uuurPP2所成的比為則點(diǎn)P分有向|a| |b | |a b | ;當(dāng) ab反向或有 0 |ab| |a|b|a|b|ab| ；b不共線UULU1線段F2R所成的比為一。如|a|b| |

14、a b| |a|b|（這些和實(shí)數(shù)比較類似).uuu3uuu若點(diǎn)P分AB所成的比為3，貝U A分BP所成的比為43 .線段的定比分點(diǎn)公式UULU:設(shè)R（x1,y1）、B（x2,y2）, P（x, y）分有向線段PP2所成的比為則X2*y21在ABC中,若 A ,yi ,B X2,y2 ,CX3,y3，則其重心的坐標(biāo)為X3yiy32 4x X1 = y y1 X2 Xy2y線段P1 P2的中點(diǎn)公式y(tǒng)y1 y2。在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確2(X, y),UUUPG UUU (PA 3UUUPBUUU PC)G為ABC的重心，特別地ULU UUU PA PBUUU PCr0P為ABC的重心;U

15、JU PAUUU UUU PB PBUUUPCUJU PCUUTPAP為ABC的垂心；向量UUU(-AUTk| AB|UULT-4)( |AC|0）所在直線過 ABC的內(nèi)心（是BAC的角平分線所在直線）；ULU UUU UUUUUUlUUUU若/ ABC的三邊的中點(diǎn)分別為則/ ABC的重心的坐標(biāo)為(2, 1)、(-3, 4)、(-1, -1)PC且(4)向量 PA、PB（答：（暑）；PC中三終點(diǎn) A B、C共線存在實(shí)數(shù)使得PAPB1 .如（X1,yJ、（X2,y2）的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件,靈活地確定起點(diǎn),平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3

16、,1）, B（ 1,3）,若點(diǎn)C滿足OCOA2 OB,其中分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比(1)若 M (-3, -2), N(6 , -1)，且MP如13 MN,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為321,則點(diǎn)C的軌跡是(答:(& 7)；(2)已知 A(a,0), B(3,2a），直線y1ax2UlULTUUIT與線段AB交于M，且AM 2MB ,a等于(答:2或一4）（答：直線AB）12、向量與三角形外心.三角形外接圓的圓心重心三角形三條中線的交點(diǎn),簡稱外心.是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)（下左圖）卜一平移公式：如果點(diǎn)P(x, y)按向量 a h,k 平移至P(x , y )，則a = pp ,x h

17、；曲線 f (x, y) y k按向量a h,k平移得曲線f（xh, y k） 0 .注意：（1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系(2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了啊!(1)按向量a把（2, 3）平移到（1,2），則按向量a把點(diǎn)（7,2）平移到點(diǎn)(答:(8,3);(2)函數(shù)y sin 2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是y cos2x 1，則a(答:（-,1）412、向量中一些常用的結(jié)論 ：（1） 一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用;，叫做三角形的重心.2倍.（上右圖）掌握重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的三、垂心三角形三條高的交點(diǎn)，稱為三角形的垂心.（

18、下左圖）四、內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心.是三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn) .三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例 題型一：共線定理應(yīng)用例一：平面向量a, b共線的充要條件是（R, b a D存在不全為零的實(shí)數(shù))A.（上右圖）a, b方向相 同b.a, b兩向量中至少有一個(gè)為零向量C.存在變式一：對于非零向量a,b，“ a bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件0 ”是“a b "的（）A.若 a b a _ b 則 a bB.c.若abb，則存在實(shí)數(shù)，使得ba d若存在實(shí)數(shù)，使得ba，則

19、aba b例二：設(shè)兩個(gè)非零向量ei與e2，不共線,(1)如果 AB ei e?, BC3q 2e2,CD8q 2色,求證：A,C,D三點(diǎn)共線;(2)如果 ABe?, BC2q 3e2，CD2q ke2,且A,C,D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值變式一：設(shè)e與e2兩個(gè)不共線向量，AB 2© ke2,CB e 3e2,CD 2e1 62,若三點(diǎn)a,b,d共線，求實(shí)數(shù)k的值。變式二：已知向量a,b，且AB a 2b,BC 5a 2b,CD 7a 2b,則一定共線的三點(diǎn)是（）,B,D ,B,C ,C,D ,C,D題型二：線段定比分點(diǎn)的向量形式在向量線性表示中的應(yīng)用例一：設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)的

20、一點(diǎn)，2BP BCBA,則（)A. 0PA PBB. 0 PC PAC.0 PBPC D.0PCPA PB變式一：已知O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且02OAOBOC ,那么()a. A0 OD一十一B. A02OD C. A0 3OD D. 2A0 OD變式二：在平行四邊形 ABCD中AB a , AD b , AN3NC ,M為BC的中點(diǎn)，則MN（用a,b表示）b,若點(diǎn)D滿足BD 2DC ,則AD ()例二：在三角形ABC中，AB c， ACA2 /1 -5 p2,p2 1 1 2A.bC, B.cb, C.bC, D.bc,33333333變式一：（高考題）在三角形A

21、BC中，點(diǎn)D在邊AB上, CD平分角ACB,CB a，CA1, b 2,則 CD()A1-2 /2 -1 ,'3 -A. ab, B.ab, C.a33335變式二:設(shè)D,E,F分別是三角形4 /4 ”3b, D.a-b,555ABC的邊BC,CA,AB上的點(diǎn)，且DC2BD, CE 2EA, AF2FB,則AD BE, CF 與 BC()A.反向平行 B. 同向平行 C.互相垂直D.既不平行也不垂直BDb,則 AF ( )A.1 a41b, B.22 a3題型三:三點(diǎn)共線定理及其應(yīng)用例一：點(diǎn)P在AB上，求證：OPOAOB且變式四：在平行四邊形ABCD中, AC與BD交于點(diǎn)0,E變式：在

22、三角形 ABC中，點(diǎn)0是BC的中點(diǎn),AC nAN,則 m+n=例二：在平行四邊形 ABCD中, E,F分別是A. 2a 上b, b. ?a555變式：在三角形 ABC中，點(diǎn)的值。題型四：向量與三角形四心、 內(nèi)心-b, C.5是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與cd交于點(diǎn)F,若AC a,1 1 -1 -1 2 b,C.ab, D.ab,32433=11 (,R,)過點(diǎn)0的直線分別交直線 AB、AC于不同的兩點(diǎn) M和N,若ABBC,CD的中點(diǎn)，DE與AF交于點(diǎn)H,設(shè) AB a, BC b,則 AHa b, d.5M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊AC上一點(diǎn)且AN=2NC,AM與 BN相交于點(diǎn)P,若 APmAM,

23、PM ,求例一：O是 ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足0PP的軌跡一定通過ABC的（ ）A.外心 B.內(nèi)心變式一：已知非零向量AB與ac滿足（ABABACACC.A.等邊三角形B. 直角三角形 C.等腰非等邊三角形變式二:二、重心OA重心BCD.AB PCBC PACA PB 0例一：O是變式一：在變式二：在三垂心:ABC 內(nèi)一點(diǎn)，OC OAABC中，G為平面上任意一點(diǎn),ABC中，G為平面上任意一點(diǎn),OB證明:證明:0 ,則為GOGO（為D. 垂心°畢ABAC),AC），則點(diǎn)ACACABC 為（）三邊均不相等的三角形P為 ABC的內(nèi)心ABC的(GA(AB例一：求證：在 abc中，O

24、A OB OB OC OC OA（）A.外心 B.內(nèi)心C.重心D.垂心GBAC)GC )ABC的重心O為 ABC的重心O為 ABC的垂心變式一：0是平面上一定點(diǎn)， A, B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP 0AABAB COSBACAC COSC)，R,則點(diǎn)p的軌跡一定通過ABC 的()AE BF A 900 AB 1 點(diǎn) P,Q 滿足 AP AB, AQ (1 )AC, R,若 BQ CP 2,則 =()AB:° 上 D:2333A.外心 B.內(nèi)心 C. 重心D.垂心四外心例三：已知向量a, b,c滿足a b c 02 b1變式一:在厶ABC中，若例一：若0是 ABC的

25、外心，H是變式一：已知點(diǎn)0, N, P在ABC所在平面內(nèi)，且 0A0A0C0B0B0C,0 NAABC的垂心，則 0H)|AB 3,|bc|4, AC6,則 AB BC BC CA CA AB變式二:已知向量 a, b, c滿足a0,且aPA PB PB PCPC PA，則0, N, P依次是 ABC的(NB NC，硝1,b 2,則變式三:已知向量 a, b, c滿足a題型八：平面向量的夾角0,且 G b)c,a b,若 a1,則| a b | cA.重心、外心、垂心C.外心、重心、垂心題型五：向量的坐標(biāo)運(yùn)算B.重心、外心、內(nèi)心D.夕卜心、重心、內(nèi)心例一：已知向量a (1,. 3),b(2,0

26、),則a與b的夾角是例一：已知 A(-2,4),B(3,-1) , C(-3 , -4)，且 CM3CA,CN2CB ,試求點(diǎn)m,n和MN的坐標(biāo)例二：已知a, b是非零向量且滿足(a 2b)a,(b 2a) b,則a與b的夾角是變式一:已知向量a, b, c滿足變式一：已知平面向量a(2 1),b(1，¥),向量 x3)b, yka tb,其中t和k為不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)，(1 )若X y，求此時(shí)k和t滿足的函數(shù)關(guān)系式 k=f(t);(2) 若x y，求此時(shí)k和t滿足的函數(shù)關(guān)系式 k=g(t).*to-4r變式二：平面內(nèi)給定3個(gè)向量a (3,2), b ( 1,2), c (4,1) ,

27、回答下列問題。(1)求3a b 2c ；(2)求滿足a mbnc 的實(shí)數(shù) m,n;(3)若(a kc) /( 2ba)，求實(shí)數(shù)k；( 4)設(shè)d (x, y)滿足(d c) /( a b)且 d c 1，求 d。題型六：向量平行(共線)、垂直充要條件的坐標(biāo)表示例一：已知兩個(gè)向量 a (1.2),b( 3,2),當(dāng)實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，向量 ka 2b與2a 4b平行設(shè)向量a,b滿足|a|= 2,5 , b=( 2,1 )，且a與b反向，則例二：已知向量0A (k,12),0B(4,5),0C(k,10)且A,B,C三點(diǎn)共線，則k=()3223A: B:C:D:2332變式一:3:已知 a ( sin2

28、),b(cos1口,),且 a p3(ac,b),q (b a,c a),2p q6 3 2 3ABACDE CB DE CB AP2 PMPA(PB PC)44 4 4 AAP AC 23A0 AC 2 ABAFif293 3 9變式一:a坐標(biāo)為變式二:變式三:變式四:已知a, b是非零向量且滿足1,b 2,cia lbb,ac,則a與b的夾角是b,則a與 a b的夾角是若向量a與b不共線，a b(高)若向量與滿足夾角的取值范圍是例二：已知忡1, a與b的夾角為變式一：設(shè)兩個(gè)向量 e, e2，滿足ei鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍。變式二:P1 : aP4: a0,且c1,2, e2已知a與b均為單位

29、向量，其夾角為平面向量的模長例一：已知|a ib題型九:(aa)b,則a與c的夾角是a b1,且以向量 與為鄰邊的平行四邊形的面積為o45°，求使向量a b與1, e與e2的夾角為一，3，有下列4個(gè)命題:a b的夾角為銳角的若向量2te1Ir7e2 與 e15,則與的的取值范圍。te2的夾角為)；P2 : ab2T肓，;P3 : a%)；(2 ,;其中的真命題是(變式一：已知向量a與b滿足5，向量a與b的夾角為一，求32,|7 勺1,)A.P1, P4 B.P1, P3 C.P2, P3D.P2, P42，則 a =變式二：已知向量a與b滿足H1,2, a與b的夾角為一，則a3變式三：在厶ABC中，已知AB 3, BC 4, ABC 60°,求AC.例二：已知向量5與b的夾角為 ,a 3, a b J13,則冃=變式一：(高)已知向