圓的培優(yōu)專題含解答

1、圓的培優(yōu)專題1與圓有關(guān)的角度計(jì)算一運(yùn)用輔助圓求角度1、 如圖， ABC內(nèi)有一點(diǎn) D, DA= DB= DC 若 DAB= 20 ,DAC= 30 ,貝 U BDC=.( BDC= BAC= 100 )22、 如圖，AE= BE= DE= BC= DC 若 C= 100 ，貝U BAD=.(50 )3、 如圖，四邊形 ABCD中, AB= AC= AD,CBD= 20 ,BDC= 30，貝UBAD=.( BAD= BAC+ CAD= 40 + 60 = 100 )第1題第2題第3題解題策略：通過添加輔助圓，把問題轉(zhuǎn)化成同弧所對的圓周角與圓心角問題，思維更明朗！4、 如圖，口ABCD中，點(diǎn)E為AB

2、、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，若D= 60 ，貝 U AEC=.( AEC= 2 B= 2 D= 120 )5、 如圖，O是四邊形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，OA= OB= OCABC= ADC= 70 ，貝 UDAODCO=(所求=360ADC- AOC=150 )6、如圖，四邊形ABCD中,ACB= ADB= 90 ，ADC= 25，貝U ABC= _(ABC= ADC= 25 )第4題第5題第6題解題策略：第6題有兩個(gè)直角三角形共斜邊，由直角所對的弦為直徑，易得到ACBD共圓.二運(yùn)用圓周角和圓心角相互轉(zhuǎn)化求角度7、 如圖，AB為O O的直徑，C為AB的中點(diǎn)，D為半圓AB上一點(diǎn)，則ADC= . 8、 如

3、圖，AB為O O的直徑，CD過OA的中點(diǎn)E并垂直于 OA貝UABC=.9、 如圖，AB為O O的直徑，BC 3AC，貝UABC=.第7題第8題第9題答案：7、45;8、30 ;9、;10、40;11、150;12、110解題策略：以弧去尋找同弧所對的圓周角與圓心角是解決這類問題的捷徑！10、如圖，AB為OO 的直徑，點(diǎn)C、D在OO上,BAC=50，貝0ADC=.11、 如圖，O O的半徑為1，弦AB=，弦 AC= 3，貝UBOC=.12、 如圖，PAB PCD是O O的兩條割線，PAB過圓心O,若AC CD ,P= 30 ,貝U BDC=.(設(shè) ADC= x，即可展開解決問題)第10題第11題

4、第12題解題策略：在連接半徑時(shí)，時(shí)常會伴隨岀現(xiàn)特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等邊三角形，是解題的另一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)！圓的四接四邊形的外角等于內(nèi)對角，是一個(gè)非常好用的一個(gè)重要性質(zhì)！圓的培優(yōu)專題2與垂徑定理有關(guān)的計(jì)算1、如圖，AB是O0的弦，ODAB,垂足為C,交 0于點(diǎn)D,點(diǎn)E在O O上，若BED=30，O 0的半徑為4,則弦AB的長是 .略解： OD AB,. AB= 2AC,且 ACO= 90 ，BED= 30 ，二 AOC= 2 BED= 601 _ _OAC= 30 , OC= OA= 2，則 AC= 2“/3，因此 AB= 4/3.2、 如圖，弦 AB垂直于O O的直

5、徑CD, OA= 5, AB= 6,貝U BC=.1略解：直徑 CD 弦 AB,. AE= BE= AB=3 OE= 52 32 4，貝0 CE= 5 + 4= 9 BC= .92 323 10第1題第2題第3題3、如圖，O O的半徑為2.5，弦AB CD垂足為P, AB= 8 , CD= 6,貝U OF=略解：如圖，過點(diǎn) O作OE AB, OF CD,連接OB, OD.貝U BE= 1 AB= 4 , DF= 2 CD= 3, 且 OB= OD= 2 5OE = ., （2 '、5）2 42 2 , OF= （2、5）2 32 .石又AB CD,則四邊形 OEPF是矩形，則 OP=、

6、22 （不）2154、 如圖，在O O內(nèi)，如果 OA= 8, AB= 12,A= B= 60，則O O的半徑為.1略解：如圖，過點(diǎn) O作OD AB,連接OB,則AD= 2 AB = 4,因此，BD= 8 , OD= 4 _ 3 OB= &4妁2 824斤5、 如圖，正 ABC內(nèi)接于O O, D是O O上一點(diǎn)，DCA= 15 , CD= 10,貝U BC=略解：如圖，連接 OC OD貝UODC=OCD/ ABC為等邊三角形,貝UOCA=OCE= 30 , ODC= OCD= 45 OCD是等腰三角形，貝0 OC= 5. 2過點(diǎn) O 作 OE BC,貝U BC= 2CE= 56第4題第5題

7、第6題6、 如圖，O O的直徑AB= 4 , C為AB的中點(diǎn)，E為OB上一點(diǎn)，AEC= 60 , CE的延長線交O O于點(diǎn)D,貝U CD=略解：如圖，連接 0C則00 2C為 Ab 的中點(diǎn)，貝U OC AB,又 AEC= 60，二OCE= 301如圖，過點(diǎn) O作 OF CD 貝U OF= 2 OC= 1, CF= 3， CD= 2CF= 2 37、如圖，A地測得臺風(fēng)中心在城正西方向300千米的B處，并以每小時(shí)10、.7千米的速度沿北偏東 60的BF方向移動，距臺風(fēng)中心 200千米范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域問：A地是否受到這次臺風(fēng)的影響？若受到影響，請求岀受影響的時(shí)間？解：如圖，過點(diǎn) A作AC B

8、F交于點(diǎn)C,1 ABF= 30，則AC= 2 AB= 150 200，因此A地會受到這次臺風(fēng)影響；如圖，以A為圓心200千米為半徑作O A交BF于D E兩點(diǎn)，連接 AD,則 DE= 2CD= 2.2002 1502100'、7，所以受影響的時(shí)間為 100-、7 10.710 (時(shí))圓的培優(yōu)專題3圓與全等三角形1、 如圖，O O的直徑 AB= 10,弦AC= 6，ACB的平分線交O O于D,求CD的長.解：如圖，連接 AB, BD,在CB的延長線上截取 BE= AC,連接DEACD= BCD - AD= BD又 CAD= EBD, AC= BE CADA EBD ( SAS CD= DE

9、,ADC= BDE/ AB為O O 的直徑，貝UACB= ADB= 90- BC=、102 62 8; ADO CDB= CD聊BDE= 90 ，即 CDE= 90 CDE是等腰直角三角形且 CE= 14 , CD= 7 x 22、 如圖，AB是O O的直徑，C是半圓的中點(diǎn)， M D分別是CB及AB延長線上一點(diǎn)，且MA = MD 若 CM=2 , 求BD的長.解：如圖，連接 AC,貝U AC= BC,C= 90 ，即 ABC是等腰直角三角形過點(diǎn) M作 MN/ AD,貝UNM=MAD則厶CMN也是等腰直角三角形，則MN=、, 2 CM= 2ANC= MBD= 135,又 MA= MD -D= N

10、M= MAD AMNA BMD(AASBD= MN= 23、如圖，AB為O O的直徑，點(diǎn)N是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn) C為AN上一點(diǎn)，NC= J3.求BC AC的值.解：如圖，連接 AN, BN,則厶ABN是等腰直角三角形在BC上截取 BD= AC,連接DN/ AN= BN,CAN= DBN，AC= BD ACNA BDN( SAS CN= DN，CNA= DNBCND- CN陽 AND- ADN CD- , 2 NC= .6， BC AC= BC BD- CD-64、如圖，點(diǎn)A、B、C為O O上三點(diǎn)， AcAE = 5，ME= 3,求 BM的長.解：如圖，在 AM上截取 AN= BM,連接 CN,-

11、Ac Be , AC= BC,又 A= ACNA BCM( SAS CN= CM 又 CE AM NE= ME= 3, BM= AN= AE NE= 2DNB= 90 ，即 CND是等腰直角三角形Be ，點(diǎn)M為 ?e 上一點(diǎn)，CE AM于 E,CM.B5、如圖，在O O中，P為BAC的中點(diǎn)，PD CD, CD交O O于A,若AC= 3 , AD= 1, 求AB的長.解：如圖，連接 BP、CP,貝U BP= CP,B= C過點(diǎn)P作PE AB于點(diǎn)E,又PD CDBEP= CDP BEPA CDP(AAS BE= CD 3+1 = 4, PE= PD連接 AP,貝 U Rt AEP Rt ADP(

12、HL),貝 U AE= AD= 1 AB= AE+BE= 56、 如圖，AB是 O 的直徑，MN是弦，AE MN于 E, BF MN于 F, AB= 10, MN= 8. 求BF AE的值.解： AE MN BF MN,貝U AE/ BF, A= B如圖，延長E0交BF于點(diǎn)G,貝U AOE= BOG AO= BO AOEA BOG( AAS，貝0 OE= OG過點(diǎn) O 作 OH MN FG= 2OH HN= 4連接 ON,則 ON= 5, OH=52一42 3，則 BG- AE= FG= 6.圓的培優(yōu)專題4圓與勾股定理1、如圖，O O是厶BCN的外接圓，弦 AC BC,點(diǎn)N是Ab的中點(diǎn)，BNC

13、= 60，BN求土的值.BC解：如圖，連接 AB,貝U AB為直徑，BNA= 90連接AN,則BN= AN,則厶ABN是等腰直角三角形 BN= AB; 又BAC= BNC= 60 ,3ab,2BN _、. 6Bc =(方法2，過點(diǎn)B作BD CN,即可求解)2、 如圖，O O的弦AC BD,且AC= BD,若AD= 2.2，求O O半徑.解：如圖，作直徑 AE,連接DE,貝U ADE= 90又 AC BD,貝U ADB DAC= ADB EDB= 90DAC= EDB 則 Cd ?e , De Bc , ac = bd, Ac Cd，貝y Ad Bc De AD= DE即厶ADE是等腰直角三角形

14、 AE= 2 AD= 4,即O O 的半徑為 23、 如圖，AB為O O的直徑，C為O O上一點(diǎn)，D為CB延長線上一點(diǎn)，且CAD= 45 ,CE AB于點(diǎn)E, DF AB于點(diǎn)F.(1)求證：CE= EF;( 2)若 DF= 2, EF= 4,求 AC.(1)證：T AB 為O O的直徑，CAD= 45 ,則AACD是等腰直角三角形，即 AC= DC又 CE ABCAE= ECB如圖，過點(diǎn) C作CG垂直DF的延長線于點(diǎn) G又 CE AB, DF AB,則四邊形 CEFG是矩形，AEC=DGC= 90 EF= CG CE/ DG 貝UECB= CDG=CAE ACEA DCG(AAS)，貝0 CE

15、= CG= EF(2)略解：AC= CD= 42 62 2 13.4、如圖，AB為O O的直徑，CD AB于點(diǎn)D, CD交AE于點(diǎn)F, Ac Ce .(1) 求證:AF= CF;(2) 若O O的半徑為5, AE= 8,求EF的長(1 )證：如圖，延長CD交O O于點(diǎn)G,連接AC直徑ABcg 則 Ag Ac CeCAE=ACG 貝U AF= CF(2 )解：如圖，連接1OC交 AE 于點(diǎn) H ,貝U OC AE, EH= AH= AE=4 OH=52 42 3，貝y CH= 5 3= 2設(shè) HF= X，貝U CF= AF= 4- X2 2則 x 2(4 x)3HF=-2 EF= 1125、如圖

16、，在O O中，直徑CD弦AB于E, AMBC于M 交CD于 N,連接 AD.(1)求證：AD= AN;(2)若 AB= 4,2 , ON= 1，求O O的半徑.(1) 證：J CD AB, AM BCC+ CNM= C+B= 90B= CNM又 B= D, AND=CNMD= AND 即 AD= AN(2) 解：直徑 CD 弦 AB,則 AE= 2 2又 AN= AD,貝U NE= ED如圖，連接OA設(shè)OE= x,貝U NE= ED= x 1 OA= OD= 2x 1 x2 (2 &)2 (2x 1)2，則 x 1 O O的半徑OA= 3圓的培優(yōu)專題5圓中兩垂直弦的問題AOW BOC=

17、 1801、在O O中，弦AB CD于E ,求證:證：如圖，連接AC,TAB CD CA肝 ACD= 90又 AOD= 2 ACDBOC= 2 BACAOD BOC= 180 .2、 在O O中，弦 AB CD于點(diǎn)E,若O O的半徑為 R 求證：AC+ bD = 4戌.證： AB CD,貝 U CAB ACD= 90如圖，作直徑 AM連接CM貝 U ACM= ACM DCM= 90CAB=DCM Bc Dm Cm ?d CM= BD/ AC2 + cM= AM ACf+ BD= 4R2.3、 在O O中，弦 AB CD于點(diǎn)E,若點(diǎn) M為AC的中點(diǎn)，求證 ME BD.證：如圖，連接 ME并延長交

18、 BD于點(diǎn)FTAB CD,且點(diǎn)M為AC的中點(diǎn) ME為Rt AEC斜邊上的中線 AM= MEA= AEM= BEF又 B= C,A+ C= 90BEF+B= 90 ，即 BFE= 90 ME BD.14、 在O O中，弦 AB CD于點(diǎn)E,若 ON BD于N,求證：ON= AC.2證：如圖，作直徑 BF,連接DF,貝U DF BD,又 ON BD, ON/ FD,又 OB= OF1 ON= DF2連接 AF,貝U AF AB,又 CD AB AF / CD Ac Fd ，貝U AC= FD1 ON= AC25、在O O中，弦 AB CD于點(diǎn) E,若 AC= BD, ON BD于 N, OM AC

19、于 M.(1) 求證：ME/ON(2) 求證：四邊形 OMEf為菱形.證：(1)如圖，延長 ME交OD于點(diǎn)F/ OM AC,則點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)/ AB CD貝U ME為Rt ACE的斜邊上中線 AM= EM,A= AEM= BEF又 B= C,A+ C= 90B+ BEF= 90，貝U BFE= 90 MF BD,又 ON BD MF/ ON(2)由(1 )知MF/ ON同理可證 OM/ NE,四邊形OMEN!平行四邊形/ AC= BD, OM= ON四邊形OMEf為菱形.圓的培優(yōu)專題6圓與內(nèi)角(外角)平分線一圓與內(nèi)角平分線問題往往與線段和有關(guān)，實(shí)質(zhì)是對角互補(bǔ)的基本圖形1、 如圖，O OABC

20、的外接圓，弦 CD平分 ACBACB= 90 .求證：CA+ CB= &CD.證：如圖，在 CA的延長線上截取 AE= BC,連DE, AD, BD/ CD平分 ACB AD= BD又 DAE= DBC AE= BC DAEA DBC( SAS CD= DE 又 ACD= 45 CDE是等腰直角三角形，貝0 CA+ CB= CE=2 CD.CA+CB2、 如圖，O OABC的外接圓，弦 CD平分 ACBACB= 120 ,求的值.CD解：如圖，在 CA的延長線上截取 AE= BC,連DE, AD, BD/ CD平分 ACB AD= BD 又 DAE= DBC AE= BC DAEA D

21、BC( SAS CD= DE,又 ACD= 60 CDE是等邊三角形加 CA+CBCD= CE= CA+ BC,即 CD = 13、如圖，過 O M(1,1)的動圓O O1交y軸、x軸于點(diǎn)A、B,求。陽OB的值.解：如圖，過點(diǎn) M作ME y軸，MF X軸，連AM BM由M( 1 , 1)知：四邊形OFME是正方形OE= OF= 4, EM= FM 又MBF= MAE AEMPA BFM(AAS)，貝0 AE= BF OA+ OB= AE+ OE+ OF BF= 8.二 圓中的外角問題往往與線段的差有關(guān)ACQACB= 90求證：(1) PaPb ；(2) AC- BC=、2 PC證：(1)如圖，

22、連接AP,貝 UPCQ=PAB又 PCQ=PCA則PAB=PCA Pa ?b(2)連接BP,由，(1)得，PA= PB4、如圖，O OABC的外接圓，弦 CP平分 ABC的外角在AC上截取 AD= BC,連PD,又PAD= PBC PADA PBC( SAS，貝0 PD= PC又 PCD= 45 ，則 PCD是等腰直角三角形，5、如圖，O OABC的外接圓，弦 CP平分 ABC的外角亠BC AC求的值.PC解：如圖，在 BC上截取 BD= AC,連AP、BP、DPPCB= PCQ= PBA AP= BP,又 CAP= DBP CAPA DBP ( SAS，貝0 CP= DP又 ACB= 120

23、 , PCD= 30 ,AC BC= CD=2 PC.ACQACB= 120BC ACCD幾 PC = PC =36、如圖，A（4,0） , B（0, 4） , O O-!經(jīng)過 A、B、O三點(diǎn)，點(diǎn) 這 P為 Oa 上動點(diǎn)（異于 O A）PB一 PA求一PO 的值解：如圖，在 BP上截取BC= AP/ A（4,0） , B（0,4），則 OA= OB= 4又 OAP= OBC OAPA OBC（ SAS口r r PB PAPC 庁-OC= OR 且 COP= AOB= 90，則一po = - 2 .圓的培優(yōu)專題7與切線有關(guān)的角度計(jì)算一切線與一個(gè)圓答案：1、70 ; 2、20 ; 3、80 ; 4

24、、120 ; 5、130 ; 6、451、 如圖，AD切O O于A, BC為直徑，若ACB= 20，貝0CAD=.2、 如圖，AP切O O于P, PB過圓心，B在O O上，若ABP= 35，貝U APB=.3、 如圖，PA、PB為O O的切線，C為ACB上一點(diǎn)，若BCA= 50，貝UAPB= _第1題第2題第3題4、 如圖，PA、PB為O O的切線，C為Ab上一點(diǎn)，若 BCA= 150，則 APB=.5、如圖，點(diǎn) O是厶ABC的內(nèi)切圓的的圓心，若BAC= 80，貝0 BOC=.6、 如圖，PA切O O于A,若PA= AB, PD平分APB交AB于D,貝U ADP=.（設(shè)元，列方程）二切線與兩個(gè)

25、圓7、 如圖，兩同心圓的圓心為O,大圓的弦 AB AC 分別切小圓于 D E,小圓的DE的度數(shù)為110 ,則大圓的 Bc 的度數(shù)為 .8、 如圖，O O第憶題2交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)8題）在O Q上，若D=1?0題，則C=9、如圖，O O和O 02外切于D, AB過點(diǎn)D,若 AOD= 100 , C為優(yōu)弧BD上任一點(diǎn)，貝U DCB=答案：7、140 ； 8、40 ; 9、50 （過點(diǎn)D作兩圓的切線）圓的培優(yōu)專題8與切線有關(guān)的長度計(jì)算1、如圖，在O 0的內(nèi)接 ACB中，ABC= 30 , AC的延長線與過點(diǎn) D的切線BD交于點(diǎn)D,若O O的半徑為1 , BD/OC貝U CD=( CM牙 )2、 如

26、圖 ABC內(nèi)接于O O, AB= BC,過點(diǎn) A的切線與 OC的延長線交于 D,BAC= 75 ,CD = ,3，貝U A»(AD= 3)3、 如圖，O OBCD的外接圓，過點(diǎn) C的切線交BD的延長線于 A,ACB= 75 ,CdcdABO 45，貝U db的值為 .4、 如圖第AB為O O的直徑，弦 DC交2題于 E,過C作OO的切線交DB的延長線于4題若 AB= 4 ,ADC= 45 ,M= 75 ,則 CD-.(CD- 2 3 )5、 如圖，等邊 ABC內(nèi)接于O O, BD切O O于B , AD BD于D, AD交O O于E , O O的半徑為1,貝U AE-(AE- 1)6、

27、 如圖， ABC中，C- 90 , BC- 5, O O與ABC的三邊相切于 D、E、F,若O O的半徑為2,則厶ABC的周長為( C- 30)7、 如圖， ABC中，C- 90 , AC- 12 , BC- 16，點(diǎn) O在 AB上,O O與 BC相切于 D,連接 AD,貝U BD-.(示：過 D 作 DE AB,設(shè) CD- DE- X , BD- 10)第5題第6題第7題解題策略：連半徑，有垂直；尋找特殊三角形；設(shè)元，構(gòu)建勾股定理列方程圓的培優(yōu)專題9圓的切線與垂徑定理1、如圖，AB為O O的直徑，C為AE的中點(diǎn)，CD BE于D.(1) 判斷DC與O O的位置關(guān)系，并說明理由；(2) 若DC=

28、 3, O O的半徑為5 ,求DE的長.解：(1) DC是O O的切線，理由如下：如圖，連接 OC BC,貝 U ABC= CBD- OCB OC/ BD,又 CD BEOC CD又OC為O O的半徑 DC是O O的切線(2)如圖，過 O作OF BD,則四邊形 OFDC是矩形，且 BE- EF- OF- CD= 3 , DF- OC= 5 , EF- BF- . 52 32 4, DE- DF- EF- 12、 如圖，AB為O O的直徑，D是BC的中點(diǎn)，DE AC交AC的延長線于E , O O的切線 BF交AD的延長線于點(diǎn) F.(1)求證：DE為O O的切線;(2)若DE 3,0 O的半徑為5

29、,求DF的長.(1) 證：顯然，CAD=OAD= ODA ODII AE,又 DE AC, OD DE,又OD為O O半徑 DE為O O的切線(2) 解：如圖，過點(diǎn) O作 OG AC,貝U OGDE!矩形，即 OG= DE= 3 , DE= OD= 5 AG= ;5 34 ,貝U AE= 5+ 4 = 9,9 33：； 10連接 BD,則 BD AD, BD=°2 (3.10)2 , 10設(shè) DF= X,則 X2 (10)2 = BF=(X 3.10)2 102 , DF= X3、如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于O O, BD是O O的直徑，AE CD于E, DA平分 BDE.(1) 求

30、證：AE是O O的切線；(2) 若 AE= 2 , DE= 1 ,求 CD的長.(1 )證：如圖，連接 OA 貝 U ADE= ADO= OAD OA/ CD 又 AE CD OA AE,又OA為O O的半徑 AE是O O的切線(2)解：如圖，過點(diǎn) O作OF CD貝U CD= 2DF,且四邊形 OFEA是矩形 EF= OA= OD OF= AE= 2設(shè) DF= X ,貝0 OD= EF= X 12 2 2 x 2 (x 1) , X 1.5 CD= 2CF= 2X 34、如圖，AE是O O的直徑,DF切O O于 B, AD DF于 D, EF DF 于 F.(1) 求證：EF+ AD= AE;

31、(2) 若EF= 1 , DF= 4 ,求四邊形 ADFE的周長.(1 )證：如圖，連接 CE,則四邊形 CDFE是矩形連接OB交CE于點(diǎn)G,/ DF是O O的切線 OB DF, OB CE BG= CD= EF, OG/ AC,又 AO OE AC= 20G EF+ AD= AC+ CD+ EF= 2OG 2BG= 2OB= AE.(2)解：顯然 CE= DF= 4, CD= EF= 1設(shè) AC= x，則 AD= x 1 , AE= x 22 2 2- x 4 (x 2)，則 x 3，則 AC= 3, AD= 4, AE= 5四邊形CDFE的周長為14.圓的培優(yōu)專題10圓的切線與勾股定理OC

32、= BC,1、如圖，已知點(diǎn) A是O 0上一點(diǎn)，半徑0C的延長線與過點(diǎn) A的直線交于點(diǎn)B,1AC = OB.2(1)求證：AB是O 0的切線；(2)若 ACD= 45 ，0C= 2，求弦CD的長.(1) 證：T 0C= OB1 AC為OAB的OB邊上的中線，又 AC= OB2 OAB是直角三角形，且OAB= 90 ，又OA為O O的半徑 AB是O O的切線(2) 解：顯然，OA= OC= AC,即厶OAC是等邊三角形AOG 60 , D= 30如圖，過點(diǎn) A作AE CD于點(diǎn)E,T ACD= 45AEC是等腰直角三角形， AE= CE=AC= 2 OC= V2 , DE=AE=22 CD=、6,2

33、2、 如圖，PA、PB切O O于 A B,點(diǎn) M在 PB上，且 OM/AP, MN AP于 N.(1)求證：OM= AN;( 2)若O O的半徑r 3 , PA= 9,求 OM的長.(1 )證：如圖，連接 OA / PA為O O的切線， OA AP,又 MN AP OA/ MN 又 OM / AP,四邊形 OANM!矩形，即 OM= AN(2)解：如圖，連接 OB, / PB PA為O O的切線OBM= MN= 90 , PB= PA= 9/ OM/AP,. OMB= P,又 0B= OA= MN :,MNP( AAS:.OM= PM,貝U 32 + OM=( 9-OM 2,二 OM= 53、

34、 如圖，AB為O O的直徑，半徑 OC AB, D為AB延長線上一點(diǎn)，過 D作O O的切線，E 為切點(diǎn)，連接CE交AB于F.(1)求證：DE= DF;( 2)連接 AE,若 OF= 1, BF= 3,求 DE的長.(1 )證：如圖，連接 OE/ PE為O O的切線， OE DE,又 OC ABC+ CFO=OEF DEF= 90又 C= OCFCFO= DFEDEF= DFE - DE= DF(2)解：顯然， OE= OB= OF+ BF= 4設(shè) BD= x，則 DE= DF= x 3, OD= x 42 2 2(x 3)4 (x 4) , x 4.5 DE=4、 如圖，正方形 ABCO勺頂點(diǎn)

35、分別在 y軸、x軸上，以AB為弦的O M與x軸相切于F, 已知A(0,8)，求圓心M的坐標(biāo).解：如圖，連接 FM交延長交AB于點(diǎn)ETO M與x軸相切，即OC是O M的切線 EF OC又四邊形ABCO是正方形 EF AB,又 A ( 0, 8)即 AB= EM= OA= 8- AE = 4設(shè) MF= AM= x，貝U EM= 8- x2 2 2 4(8 x) x , x 5，即 MF= 5點(diǎn)M的坐標(biāo)為(一4 , 5)圓的培優(yōu)專題11圓的切線與全等三角形1、如圖，BD為O O的直徑，A為BC的中點(diǎn)，AD交BC于E,過D作O O的切線，交BC 的延長線于 F. (1)求證：DF= EF;( 2)若

36、AE= 2, DE= 4,求DB的長.(1 )證：如圖，連接 AB/ BD為O O的直徑，DF為O O的切線BAD=BDF= 90ABOAEB=ADBFDE= 90又 ABC=ADBAEB=DEFDFE=DEF, DE= EF(2 )解：如圖，過點(diǎn)F 作 FG 1ED,則EG= GD= 2 = AE,又 BAE=FGE= 90AEB= GEF, ABEA GFE( ASA , BE= EF,即卩DE為RA BDF的斜邊上中線DF= EF= DE= 4, BF= 8,貝U BD= 4. 32、 如圖，AB為O 0的直徑，C D為O O的一點(diǎn)，OC AD, CF DB于F.(1) 求證：CF為O

37、0的切線；(2)若BF= 1 , DB= 3,求O 0的半徑.(1) 證：J AB為O 0的直徑 DF AD,又 OC AD OC/ DF, 又 CF DB OC CF,又OC為O O的半徑 CF為O O的切線(2) 解：如圖，過點(diǎn) C作CE BD于點(diǎn)E,貝U BE= DE=, EF=又 OC CF, CF EF四邊形OCFE是矩形 O O有半徑OC= EF=3、 如圖，以O(shè) O的弦AB為邊向圓外作正方形 ABCD. (1)求證：OC= OD(2) 過 D作 DM切O O于 M,若 AB= 2, DM= 2 2，求O O的半徑.(1 )證：如圖，連接 OA OB貝U OA= OBOAB= OB

38、A四邊形ABCD是正方形 AD= BC,DAB= CBA= 90OAD= OBC OADA OBC( SAS OC= OD(2)解：如圖，連接 OM BD,貝U OM DM 且BD=AB= 2 2 = DM又 0M= OB OD= OD ODIW ODB( SSS OB BD,又ABD= 45OAB= 45,即厶OAB是等腰直角三角形- OAf呂 AB 224、如圖，在 ABC中，AC= BC,SVABC3SVBCM ，Svacm2Svbcm(1)求證：BDAD= BD；( 2)弦 CE交 BD于 M，若 Svabc3Svbcm，求 隹.ACB= 90，以BC為直徑的O O交AB于D.(1)略

39、證：連接 CD則CD AB又 AC= BC,ACB= 90 ， AD= BD(2)解：如圖，連接 BE,過A作AN CE于N, AN= 2BECAN=BCE AC= BC,ANC= CEB ANCA CEB(AAS) BE= CN, CE= AN設(shè) CN= BE= X，貝U CE= AN= BE= 2x , BC=5x ,.2 BC= M0X，即 BD=BDCE10圓的培優(yōu)專題12圓的切線與等腰三角形1、如圖，在 ABC中，AB= AC,以AB為直徑的O O與邊BC交于D,與邊 AC交于E, 過D作DF AC于F.(1) 求證：DF為O O的切線；(2)若DE= . 5 , AB= 5，求AE

40、的長.(1 )證：如圖，連接 AD, OD/ AB為O O的直徑， AD BC,又 AB= AC, OA= OBEAD= DAB= ADO OD/ AC,又 DF AC OD DF,又OD為O O的直徑 DF為O O的切線(2) 解：TEAD=DAB 二 BD= DE= 5，又 AB= 5,二 AD= p(亦)2 2苗T DFX AC= ADX CD, DF= 2 , CF= EF= , ( 5) 521，二 AE= 5 2= 32、如圖，在 ABC中，AB= AC,以邊 AB為直徑作O0,交BC于D,過D作DEAE.(1) 求證：DE是O 0的切線；(2)連接OC若(1 )證：如圖，連接 A

41、D, 0D貝U AD BC又 AB= AC, CD= BD,又 A8 OBCAB= 120 ,求 DC 的值. OD/ AC,又 DE AE OD DF, DE是O O的切線；(2) 解：如圖，過點(diǎn) O作OF BD于F ,貝U BD= 2BFTAB= AC,CAB= 120 , -B= 30設(shè) OF= X ,貝U BF=、3x , O吐 2x ,AC= AB= 4X , CD= BD= 2. 3x ,貝U CF= 3、. 3x3、如圖,由勾股定理，得 OC= 2、_7x,由面積法，得DE=3x， Oc 2114AB= AC,點(diǎn)O在AB上,O O過點(diǎn)B,分別交BC于 D、AB 于 E , DFA

42、C.(1)證：DF為O O的切線；(2)若AC切O O于G O O的半徑為3 , CF= 1,求AC.(1 )證：如圖，連接 OD t AB = AC, OB= ODB= C= ODB OD/ AC,又 DF AC OD DF,又OD為O O的半徑 DF為O O的切線(2)解：如圖，連接 OG t AC為O O的切線 OG AC,又 OD DF, DF AC, OG= OD四邊形 ODFG是正方形，即 O吐OG= GF= 3設(shè) AG= X ,貝U AB= AC= X 4,貝U AO= X 1232 X 3 (X 1) , X 4 ,則 AC= 84、如圖，CD是O O的弦，A為CD的中點(diǎn)，E為

43、CD延長線上一點(diǎn)，EG切O O于G.DK 3/(1)求證：KG= GE;(2)若 AC/ / EG= - ,AK= 2.10,求OO的半徑.CK 5(1 )證：如圖，連接 OG OA交CD于點(diǎn)FT A為Cd的中點(diǎn)，EG是O O的切線OAGbAKF=OGAbEGK又 OAG=OGAAKF=EKGEGK=EKG KG= GE AC/ EQ -CAK=EGK又OA CD OG GECAQCKA - CA= CK(2)解：.EGK=EKG= CKA設(shè) CK= CA= 5x ,則 DK= 3x ,二 CD= 8x , CF= 4x , EG= X AF= J(5x)2(4x)2 3x在 Rt AFK中，

44、(3x)2 x2(2.10)2 , x 2- CE= 8 , AE= 6,設(shè)O O的半徑為 R,貝0 R2 = 82 +(R- 6) 2,. R= 25圓的培優(yōu)專題13圓與三角形的內(nèi)心1、如圖，AB是O O的直徑， Ac Ce ,點(diǎn)M為BC上一點(diǎn)，且 CM= AC.(1)求證：皿為厶ABE的內(nèi)心；(2)若O O的半徑為5, AE= 8,求厶BEM的面積.(1)證：如圖,連接CE,貝U AC= CE= CM點(diǎn)CM =CBEAEM=CEMCEA=BEM=CEABEM 又ABC=皿為厶ABE的內(nèi)心.CBEAEMCBE(2)解：如圖,過點(diǎn) M作MN BE于點(diǎn)N,貝U MN%A ABE的內(nèi)切圓的半徑./

45、 AB= 10, AE= 8,貝U BE= MN=6 8 10 MN =亙=22 a b c1 BME勺面積為一 x 6X 2= 6.2BAC點(diǎn)皿是厶ABC的內(nèi)心2、如圖，O OABC的外接圓，BC為直徑，AD平分(1)求證：BC= .2 DIM ( 2)若 DM= 5- 2 , AB= 8,求 OM的長.(1 )證：如圖，連接 BD, CD/ BC為直徑,AD平分BAC- BD= CDBDC= 90 , BC= ,2 CD連接 CM 貝0 ACM= BCM DAC= BCDDMC= ACW DAC= BCW BCD= DCM DM= CD 即 BC=、2 DM(2 )解：顯然, BC= .2

46、DM= 10 , AB= 8 ,貝 U AC= 6,且MA& 45如圖，過 M作ME BC于點(diǎn)N,作MF AC于點(diǎn)F,貝U MB MF= AF= 2- CF = CE= 4,貝U OE= 1 0M= . 22 12、. 5.3、 如圖，AB為O 0的直徑，C為OO上一點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，DE AB于E, I是厶ABD 的內(nèi)心，DI的延長線交O 0于N.(1)求證：DE是O 0的切線；(2)若DE= 4，CE= 2,求O 0的半徑和IN的長.(1) 證：J D是 BC 的中點(diǎn)，OA= ODCAD= DAO= ADO OD/ AE,又 DE AB OD DE,又OD為O O的半徑 DE是O

47、 O的切線.(2) 解：如圖，過點(diǎn) O作OF AC,則AF= CF/ DE AB, OD DE四邊形 ODEF是矩形，貝U OF= DE= 4設(shè)O O 的半徑為 R,貝0 OA= OD= EF= R, AF= CF= R 22 2 2 ( R 2)+ 4 = R , R= 5, AB= 10,如圖，連接 BI , AN, BN,貝U IN = BN= AN= 5.2 4、如圖，在 ABC中，AB= AC, I是厶ABC的內(nèi)心，O O交AB于E, BE為O O的直徑.(1)求證：AI與O O相切；(2)若BC= 6, AB= 5,求O O的半徑.(1 )證：如圖，延長 AI交BC于點(diǎn)D,貝U A

48、D BC,連接 OI，貝UOIB = OBI = OBD OI / BC,又 AD BC AD OI,又OI為O O的半徑 AI與O O相切(2)顯然 BD= 3 , AB= 5 ,貝U AD= 4如圖，過點(diǎn) I 作 IF AB于點(diǎn) F ,貝U BF= BD= 3 , AF= 2 , IF = ID,2 2 23設(shè) IF = ID = x，則 Al = 4 x，二 x 2(4 x),則 IF = x 223221 5設(shè) O 的半徑為 R 貝0 OF= 3- R,.(3- R) 2+(： )= R，二 R=2 8圓的培優(yōu)專題14圓中動態(tài)問題1、如圖，點(diǎn)P是等邊 ABC外接圓BC上的一個(gè)動點(diǎn)，求證

49、 PA= PB+ PC. 證：如圖，在 AP上截取 PD= PC,連接 CD/ ABC是 等邊三角形，ABC=ACB= 60DPC= ABC= 60 PCD是等邊三角形，即 CD= PCACMBCD=BCP+ BCD= 60ACD=BCP,又 AC= BC ACDA BCP ( SAS AD= BP PA= AD+ DP= PB+ PC.2、已知弦 AD BD,且AB= 2,點(diǎn)C在圓上，CD= 1,直線 AD BC交于點(diǎn)E.圖1圖一2(1) 如圖1,若點(diǎn)E在O O夕卜，求 AEB的度數(shù)；(2) 如圖2,若C、D兩點(diǎn)在O O上運(yùn)動，CD的長度不變，點(diǎn) E在O O內(nèi)，求 AEB的度數(shù).解：(1)如

50、圖一1,連接OC OD/ AD BD AB為O O的直徑，且 AB= 2 CD= OC= OD= 1，即 OCD是等邊三角形COD= 601CBD=COD=302AEB= 60(2)如圖一2,連接OC, OD1同理可得：ACD= 60 , CBD=COD=30又 ADB= 90 , AED= 1203、已知直線|經(jīng)過O O的圓心O,且交O O于A B,點(diǎn)C在O O上，且AOC= 30，點(diǎn)P 是直線|上一個(gè)動點(diǎn)(與 O不重合)，直線 CP與O O交于Q,且QP= QO.(1) 如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段A0上時(shí)，求OCP的度數(shù)；(2) 如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段0A的延長線上時(shí)，求OCP的度數(shù);(3) 如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段0B的延長上時(shí)，求OCP的度數(shù).圖一1圖一2解：(1)如圖一1,設(shè) OCP= X/ 0C= 0Q 貝U OQP= X又 AOC= 30 ,