初一數(shù)學(xué)一元一次方程教案(奧數(shù))

1、初一奧數(shù)數(shù)學(xué)競(jìng)賽第四講 一元一次方程方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容最簡(jiǎn)單的方程是一元一次方程，它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)方程的基礎(chǔ)，很多方程都可以通過(guò)變形化為一元一次方程來(lái)解決本講主要介紹一些解一元一次方程的基本方法和技巧 用等號(hào)連結(jié)兩個(gè)代數(shù)式的式子叫等式如果給等式中的文字代以任何數(shù)值，等式都成立，這種等式叫恒等式一個(gè)等式是否是恒等式是要通過(guò)證明來(lái)確定的如果給等式中的文字(未知數(shù))代以某些值，等式成立，而代以其他的值，則等式不成立，這種等式叫作條件等式條件等式也稱(chēng)為方程使方程成立的未知數(shù)的值叫作方程的解方程的解的集合，叫作方程的解集解方程就是求出方程的解集只含有一個(gè)未知數(shù)(又稱(chēng)為一元)，且其次

2、數(shù)是1的方程叫作一元一次方程任何一個(gè)一元一次方程總可以化為ax=b(a0)的形式，這是一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(最簡(jiǎn)形式)解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)合并同類(lèi)項(xiàng)，化為最簡(jiǎn)形式ax=b；(5)方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得出方程的解 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值來(lái)確定： (2)若a=0，且b=0，方程變?yōu)?·x=0，則方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解；(3)若a=0，且b0，方程變?yōu)?·x=b，則方程無(wú)解例1 解方程解法1 從里到外逐級(jí)去括號(hào)去小括號(hào)得去中括號(hào)得去大括號(hào)得解法2 按照分配律由外及里去括號(hào)去大括號(hào)得化簡(jiǎn)為去中括號(hào)得去小括號(hào)得

3、例2 已知下面兩個(gè)方程3(x+2)=5x，4x-3(a-x)=6x-7(a-x) 有相同的解，試求a的值分析 本題解題思路是從方程中求出x的值，代入方程，求出a的值解 由方程可求得3x-5x=-6，所以x=3由已知，x=3也是方程的解，根據(jù)方程解的定義，把x=3代入方程時(shí)，應(yīng)有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解為a+2，求方程22(x+3)-3(x-a)=3a的解解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5由題設(shè)知a+2=5，所以a=3于是有22(x+3)-3(x-3)=3

4、15;3，-2x=-21，例4 解關(guān)于x的方程(mx-n)(m+n)=0分析 這個(gè)方程中未知數(shù)是x，m，n是可以取不同實(shí)數(shù)值的常數(shù)，因此需要討論m，n取不同值時(shí)，方程解的情況解 把原方程化為m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)當(dāng)m+n0，且m=0時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)m+n=0時(shí)，方程的解為一切實(shí)數(shù)說(shuō)明 含有字母系數(shù)的方程，一定要注意字母的取值范圍解這類(lèi)方程時(shí)，需要從方程有唯一解、無(wú)解、無(wú)數(shù)多個(gè)解三種情況進(jìn)行討論例5 解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2分析 本題將方程中的括號(hào)去掉后產(chǎn)生x2項(xiàng)，但整理化簡(jiǎn)后，可以消去x2，也就是說(shuō)，原

5、方程實(shí)際上仍是一個(gè)一元一次方程解 將原方程整理化簡(jiǎn)得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2， 即 (a2-b2)x=(a-b)2(1)當(dāng)a2-b20時(shí)，即a±b時(shí)，方程有唯一解(2)當(dāng)a2-b2=0時(shí)，即a=b或a=-b時(shí)，若a-b0，即ab，即a=-b時(shí)，方程無(wú)解；若a-b=0，即a=b，方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解例6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關(guān)于x的一元一次方程，求代數(shù)式199(m+x)(x-2m)+m的值解 因?yàn)?m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關(guān)于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1(1)當(dāng)m=1時(shí)，方程變?yōu)?2x+8

6、=0，因此x=4，代數(shù)式的值為199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)當(dāng)m=-1時(shí)，原方程無(wú)解所以所求代數(shù)式的值為1991例7 已知關(guān)于x的方程a(2x-1)=3x-2無(wú)解，試求a的值解 將原方程變形為2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2由已知該方程無(wú)解，所以例8 k為何正數(shù)時(shí)，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正數(shù)？來(lái)確定： (1)若b=0時(shí)，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，則b=0成立(2)若ab0時(shí)，則方程的解是正數(shù)；反之，若方程ax=b的解是正數(shù)，則ab0成立(3)若ab0時(shí)，則方程的解是負(fù)數(shù)；反之，若方程ax=b的解是負(fù)數(shù)，則ab0成立

7、解 按未知數(shù)x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k要使方程的解為正數(shù)，需要(k2-2k)(k2-5k)0看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)因?yàn)閗20，所以只要k5或k2時(shí)上式大于零，所以當(dāng)k2或k5時(shí)，原方程的解是正數(shù)，所以k5或0k2即為所求例9 若abc=1，解方程解 因?yàn)閍bc=1，所以原方程可變形為化簡(jiǎn)整理為化簡(jiǎn)整理為說(shuō)明 像這種帶有附加條件的方程，求解時(shí)恰當(dāng)?shù)乩酶郊訔l件可使方程的求解過(guò)程大大簡(jiǎn)化例10 若a，b，c是正數(shù)，解方程解法1 原方程兩邊乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc移項(xiàng)、合并同類(lèi)

8、項(xiàng)得abx-(a+b+c)+bcx-(a+b+c)+acx-(a+b+c)=0，因此有x-(a+b+c)(ab+bc+ac)=0因?yàn)閍0，b0，c0，所以ab+bc+ac0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c為原方程的解解法2 將原方程右邊的3移到左邊變?yōu)?3，再拆為三個(gè)“-1”，并注意到其余兩項(xiàng)做類(lèi)似處理設(shè)m=a+b+c，則原方程變形為所以即x-(a+b+c)=0所以x=a+b+c為原方程的解說(shuō)明 注意觀察，巧妙變形，是產(chǎn)生簡(jiǎn)單優(yōu)美解法所不可缺少的基本功之一例11 設(shè)n為自然數(shù)，x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，解方程：分析 要解此方程，必須先去掉 ，由于n是自然數(shù)，所以n與(n+1) ，nx都是整數(shù)，所以x必是整數(shù)解 根據(jù)分析，x必為整數(shù)，即x=x，所以原方程化為合并同類(lèi)項(xiàng)得故有所以x=n(n+1)為原方程的解例12 已知關(guān)于x的方程且a為某些自然數(shù)時(shí)，方程的解為自然數(shù)，試求自然數(shù)a的最小值解 由原方