過程設備設計-旋轉薄殼理論

1、第三章、旋轉薄殼理論第三章、旋轉薄殼理論（壓力容器應力分析（壓力容器應力分析Stress Analyses of pressure vessel)3.1回轉薄殼的幾何要素回轉薄殼的幾何要素圖3-1回轉殼體回轉殼體軸對稱問題軸對稱問題中間面中間面有一根對稱軸，并由旋轉曲面構成的薄壁旋轉殼體(thin shell of revolution)薄壁旋轉殼體通常屬于軸對稱問題，即殼體的幾何形狀，所受的外部載荷以及約束條件均對稱于旋轉軸(axially symmetric shell) 與殼體內外表面等距離的曲面，用中間面來表示殼體的幾何特性圖圖3-2 任意回轉殼體任意回轉殼體母線母線形成中間面的平面形

2、成中間面的平面曲線曲線 OAA經線經線法線法線通過經線上任意一點通過經線上任意一點M垂直于中間面的直線，垂直于中間面的直線，稱為中間面在該點的稱為中間面在該點的“法線法線”法線的延長線必與回轉軸相交法線的延長線必與回轉軸相交緯線緯線作圓錐面與殼體中間面正交，得到的交線作圓錐面與殼體中間面正交，得到的交線通過回轉軸作一縱截通過回轉軸作一縱截面與殼體曲面相交所面與殼體曲面相交所得的交線得的交線OBB 通過經線上一點通過經線上一點M M的法線作的法線作垂直于經線的平面與中間面垂直于經線的平面與中間面相割形成的曲線相割形成的曲線MEFMEF，此曲，此曲 線在線在M M點處的曲率半徑稱為點處的曲率半徑稱

3、為該點的第二曲率半徑該點的第二曲率半徑 圖圖3-3 任意回轉殼體任意回轉殼體第一曲率半徑第一曲率半徑r1中間面上任一點中間面上任一點M處經線的曲率處經線的曲率半徑為該點的半徑為該點的“第一曲率半徑第一曲率半徑”第二曲率半徑第二曲率半徑r2第二曲率半徑的中心第二曲率半徑的中心K2落在回轉軸上，其長度等于法線段落在回轉軸上，其長度等于法線段MK2注意( , )M 注意確定曲面上的任一點確定曲面上的任一點周向坐標角，決定經線的位置周向坐標角，決定經線的位置經向坐標角，決定緯線的位置經向坐標角，決定緯線的位置圖3-42sinrr1cosdrrdrCB幾何關系幾何關系 (3-1) (3-2)式的推導：過

4、B點的平行園的園心C必在旋轉軸OO上，由圖知，經線和緯線的微長(3-2)2sinrr,dldl1dlrddlrdcosdrdl1cosdrrd3.2 外力和內力分析外力和內力分析(1) 基本假設基本假設n除假設殼體是完全彈性之外，本章還采用以下假設除假設殼體是完全彈性之外，本章還采用以下假設:n小位移或小撓小位移或小撓 (nao)度假設度假設：殼體受力后，各點的位移都：殼體受力后，各點的位移都遠小于壁厚；遠小于壁厚；n直法線假設直法線假設：殼體在變形前垂直于中面的直線段，在變形：殼體在變形前垂直于中面的直線段，在變形后仍保持為直線，并垂直于變形后的中面，并假設殼體的后仍保持為直線，并垂直于變形

5、后的中面，并假設殼體的厚度不變；厚度不變；n不擠壓假設不擠壓假設：殼體各層纖維在變形前后均互不擠壓。：殼體各層纖維在變形前后均互不擠壓。(2) 外力外力n容器承受的外力主要是分布面力，如氣壓、液壓等。體積容器承受的外力主要是分布面力，如氣壓、液壓等。體積力如重力、慣性力等可以化為分布力。由于是軸對稱問題，力如重力、慣性力等可以化為分布力。由于是軸對稱問題，外力不隨坐標變化，僅是的函數。外力不隨坐標變化，僅是的函數。在殼體中任一點沿兩個經線截面和兩個以第二曲率半徑為木縣的旋轉法截面取出的微小六面體稱單元體。(3) 內力內力微元體取法微元體取法圖3-5n微元體上的受力有：nN : 垂直于緯線截面的

6、經向力，拉為正，壓為負；nN: 垂直于經線截面的周向力，拉為正，壓為負；nM：緯線截面內的經向彎矩，使截面向外側旋轉為正， 反之為負；nM：經線截面內的周向彎矩，使截面向外側旋轉為正，反之為負；nQ：為橫向剪力。圖3-5圖3-6注意5個內力分量：個內力分量：N 、N 為法向力，這二個內力是因中面為法向力，這二個內力是因中面的拉伸、壓縮而產生的，稱為薄膜內力的拉伸、壓縮而產生的，稱為薄膜內力(或薄膜力或薄膜力)；Q 、為橫向剪力；、為橫向剪力；M 、M 分別為彎矩，這三個內力是分別為彎矩，這三個內力是因中面的曲率、扭率改變而產生的，稱為彎曲內力。因中面的曲率、扭率改變而產生的，稱為彎曲內力。n3

7、.3無力矩理論與有力矩理論無力矩理論與有力矩理論(membrane theory and bending theory)無力矩理論無力矩理論有無力矩理論有無力矩理論同時考慮薄膜內力和彎同時考慮薄膜內力和彎曲內力曲內力，這種理論稱為，這種理論稱為有力矩理論或彎曲理論有力矩理論或彎曲理論殼體很薄，平衡時，就可省略彎曲內力對平衡的影響，于是得到無力矩應力狀態(tài)。省略彎曲省略彎曲內力（內力（ M、M ， Q ）的殼）的殼體理論，稱為體理論，稱為或薄膜理論或薄膜理論。3.4無力矩理論的基本方程無力矩理論的基本方程圖3-7（c）圖圖3-7 （b）（a）a點 建立一空間直角坐標系， x取經線的切向，y取緯線的

8、切向，z取法向的反向。0zF周向力 在法線方向的投影:1sinN rd d NN經向力 在法線方向的投影:N2sinN rd d 周向力 在法線方向的投影:N經向力 在法線方向的投影:N外載荷的法線方向分量：11 2sinzzP rd rdPrrd d 121 2sinsinsin0zN rd dN rd dPrrd d 代入0zF并注意所有分力的方向 1 2sinrrd d 12zNNPrr各式同除， (3-3)代入0zF并注意所有分力的方向 0 xF周向力 在經線方向的投影:N經向力 在經線方向的投影:N1cosN rd d ()dNdrdNd drd dN r d dddd 外載荷在經線

9、方向的投影 1P rd rd代入0 xF并注意所有分力的方向 11()cos0dN r d dN rd dP rrd dd 11()cos0dN rN rP rrd(3-4)區(qū)域平衡方程區(qū)域平衡方程 式中C為積分常數，由邊界條件決定 所以經向應力和周向應力為：NN若將(3-5)式各項乘 則該式具有簡單的物理意義 212sin2(sincos )2zrNrr PPdC 3-6無力矩理論兩個方程無力矩理論兩個方程12sin2(sincos )2zrNrr PPdC 12zNNPrr3-33-63.5 無力矩理論在幾種常見殼體上的應用無力矩理論在幾種常見殼體上的應用0P受氣壓作用 氣體壓力是垂直作用

10、于殼體表面，且處處相等。有： 常數，zPP由（3-6）式 12sin2cos2rNrrPdC 22sin2rNprdrprC=0 1cosdrrd（3-7） 22prN2211()(2)NrNr PNrr（3-8） (3-9)22212(2)2NprNprrr(3-10) 1、受均勻氣體內壓作用的容器A.球形殼體（封頭）球形殼體（封頭）: r1=R r2=R21224PPPR PDRRR (3-11) B. 圓柱形容器: R1= R2=R42PDPD2(3-12) C. 錐形封頭:R1= R2=r/cos =xtg902sinPr2 sin2 cos22 cos2P rPxPxtgPRP xt

11、gPxtg (3-13) D. 橢圓封頭2受液體內壓作用的容器 直立殼體,液體壓力垂直作用于殼體表面,0,zPPhgh11 2222221sincossin()zg hrrCNrNrNr PghrNrr(3-19)例例1 如圖，求圓柱殼內的應力如圖，求圓柱殼內的應力例例2 充滿液體的球殼，沿對應于充滿液體的球殼，沿對應于 的平行的平行園園A-A裙座支承，液體的密度為裙座支承，液體的密度為 ，求殼體，求殼體內任一點的應力。內任一點的應力。0無力矩理論的應用條件無力矩理論的應用條件(1) 殼體的厚度、中面曲率與載荷沒有突變，構成同一殼體的材料物理性能(如E、u等)相同 (2) 殼體邊界處不橫向剪力、彎矩和扭矩的作用 (3)殼體邊界處只可有沿經線切線方向的約束,而邊界處轉角與撓度不應受到約束 對很多實際問題：無力矩理論求解+有力據理論修正一、不連續(xù)效應和不連續(xù)效應分析的基本方法一、不連續(xù)效應和不連續(xù)效應分析的基本方法3.6 回轉殼體的不連續(xù)分析連接邊緣的變形二、圓柱殼受邊緣力和邊緣力矩的彎曲解二、圓柱殼受邊緣力和邊緣力矩的彎曲解 1、求解微分方程式 軸對稱加載的圓柱殼有力矩理論基本微分方程為4444xd wpwNdxDRD2-16 p382-19 p39由上式寫出由上式寫出 求出內力求應力圓平板和圓柱殼的連接三、組合