三角恒等變換專題復(fù)習(xí)學(xué)案

1、三角恒等變換【考情分析】經(jīng)常以選擇與填空題的形式出現(xiàn)，還常在輔助角公式是考查的重點(diǎn).在考查三角知三角函數(shù)是歷年高考重點(diǎn)考察內(nèi)容之一，三角恒等變換的考查, 解答題中與其它知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查，其中升幕公式、降幕公式、 識(shí)的同時(shí)，又考查用函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的能力?！局R(shí)梳理】1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin( a±B = sin acos B±3os %sin Bcos( a±B) = cos_ acos_ B?sin_ asinB,、 tan a±an Btan (a±® =.1 ?tan atan B2. 二倍角的正

2、弦、余弦、正切公式sin -2 a= 2sin_ acos_a,222 2cos 2 a= cos a sin a = 2cos a 1 = 1 2sin a,2ta n atan 2 a=：廠.1 tan a3. 有關(guān)公式的逆用、變形(1) ta n a±an B= tan(a±B(1 ?tan_aan_ B ;21 + cos 2 a . 21 cos 2 a(2) cos a= 2， sin a= 2；2,(3)1 + sin 2 a= (s in a+ cos a4.輔助角公式asin x+ bcos x= . a21 sin 2 a= (sin a cosa)2,

3、 sin a±3OS a= 2sin2b+ b sin(x+ ©,其中 sin(j)=22,/a + b5. 3 > 0 時(shí) y =Asi周期y = tan （x）周期【考題體驗(yàn)】. acos 片22.寸 a2+ b2 y = Acos(cox + ®)十 ba1. (2013江西高考)若sin= 可，貝V cos a=(1 1B. 3CT因?yàn)?sina= 33，所以 cos a= 1 2sin223解析：選C2. （2014 高考課標(biāo)卷）已知sin2：1A.-6解析：選A3a 6 = 71b.293 .已知tan29 A A.41解析：選Da '

4、小2=12xji13.-，則 cos2(-)二31B.-32D.-3則tan（ a+ ®的值為（）tan( a+ 3)= tanatan atan n+ B1-tan a- 63, 2+_=7 5 =n c=32= 1.tan 6+B 1 7x 5J 3n , As in a= , tan a=，, 3,'tan 2 a4. (2013 四川高考)設(shè) sin 2 a= sin a, a，n，貝V tan 2 a的值是1解析：'-sin 2 a= 2sin acos a= sin a,.cos a= ?,又 a2tan a _ 2W _ 更1 - tan2 a 1 ,3

5、 2.5. tan 20 豐 tan 40 豐 °/3tan 20 tan 40 .tan 20 豐 tan 40 °_解析：.tan (20 牛 40°) _3 3tan 20 tan 40 _ tan 20 + tan 40 ；1 tan 20 tan 40 °即 tan 20 ° tan 40 斗 J3tan 20 tan 40 _ 3.【典型例題】考向一：求角問(wèn)題11例 1:已知 _：話 ：= (0,二)且 tan(- -), tan，求 2-的值.27變式 1: 已知 0 :-:2a 1:：二，tan二一，cos(2 2"歸

6、求的值.考向二：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值例2、cos 402sin(120 ° 40 ° sin 40 。誦cos 40 + sin 40 sin 40 ° J3cos 40 ° 廠 cos 40 _3.(1) 化為特殊角的三角函數(shù)值；(2) 化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值；(3) 化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值.變式2： (2014嘉興模擬 嚴(yán) ¥ -血20的值是()3,2cos(30 ° 20sin 20原式_sin 70C. .3解析：選Csin 702 (cos 30 cos 20 + sin 30 sin 20 sin 20 &

7、#176; Vcos 20 ° 廠 _ ,3.sin 70(2013 重慶高考)4cos 50 tan 40 =(A. 2;B. ； C. 3 ; D. 2 ,2 1sin 40 ° 4cos 40 s!n 40 sin 40 ° 2sin 80 sin 404cos 50 tan 40 _4sin 40 cosi?_ 贏礦 _ 贏亦cos 40cos 40【方法規(guī)律】1.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則，即一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.即用轉(zhuǎn)化與化歸思想 去異求同”的過(guò)程，具體分析如下：(1)首先觀察角與角之間的關(guān)系，用已知角表示未知

8、角，角的變換是三角恒等變換的核心;(2)其次是看三角函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常是常值代換或者切化弦;(3 )再就是觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，合理的選擇三角函數(shù)公式，化繁為簡(jiǎn)2.解決給角求值問(wèn)題的基本思路對(duì)于給角求值問(wèn)題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問(wèn)題的基本思路有:考點(diǎn)三：三角函數(shù)的條件求值例 3 (1)(2013 浙江高考)已知 a R, sin a+ 2cos a4A.33B.4C.-4_22 則 tan 2 a=()4D. 3n(2)(2013廣東高考)已知函數(shù)f(x) = .2n 的值；若 cos 0= 5, 02 n ,求 f|2 0+二'I解(1)法一：(直接法)兩邊平方，再

9、同時(shí)除以1 八、2tan a37,代入 tan 2 a= ，得 tan 2 a=;.31 tan a4cos x 12，x R.求f2cos a,nn3 .得 3tan a 8tan a 3= 0, tan a= 3 或 tan a= 法二：(猜想法)由給出的數(shù)據(jù)及選項(xiàng)的唯一性，記sina=-r, cos a=-i，這時(shí) Sin a+ 2COS a=M.10 .10 2C.符合要求，此時(shí)tan a= 3,代入二倍角公式得到答案n= Vcos 4= 1.( n - 4 = cos 2 sin 2 0.45；n n小6 石=2cosn n、 l:3-12 = 2cos 20+740 , 2 n,所

10、以 sin 0= 24 227sin 2 0= 2sin 0os 0= , cos 2 0= cos 0 sin 0=.25 25f - n = 2cos -f 2 0+ n = .2 cos 2 0+-3ncos 0= 5, 0、因?yàn)樗?4 L17一 25 丿 25.【互動(dòng)探究】保持本例(2)條件不變，求fj才丿的值.1 cos2 0=所以f 2 + n = cos 2 0- sin 2 0= 尋2 n , cos 0= 5,所以 sin 0= n12 = %os 0-T3410= 54= 5.三角函數(shù)求值的兩種類型關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).解：因

11、為所以 f 0n = 2cos=cos 0+ sin101=4Q = 5.,20+i n 0【方法規(guī)律】(1) 給角求值：(2) 給值求值： 一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用； 變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.tan(0+ 方=2 貝U sin 0+ cos 0=關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.變式3： 1. (2013新課標(biāo)全國(guó)卷n )設(shè)0為第二象限角，若；= ¥，故 sin 0+ cos 0=2 si nJ 0+解法一由0在第二象限，且tann 14 = 2 故 sin法二：如果將tan第二象限，則sin 0=t,

12、2 .已知0 v 3<訂an解：'-0< 3< < a< nn 1tan 0+1 114 =T利用兩角和的正切公式展開(kāi)，貝V=：,求得tan 0= .又因?yàn)?在421 tan 0 23力，從而 sin 0+ cos 0= =申0.V105-，求 cos( a+ 3 的值.3cos 0=p10'3= 1a 2 = 9n n32, 4< a 2< ni ( 3,sin a 2 =n,且 cos.| a，sina+ 3'cos-= cosn a.4 <2<( 3 (a R|( 3 (a 33+ i ( 3 . U J| ,

13、a 2 2 3 = cos a 2 cos 2 3 + sin a 2 sin 2 3sin2 a予 J5a 2 = 9，遲2=跡9327 '2a+ 349 X 5239'cos(a+ 3= 2cos -2 1 = 2 X 729 1 = 729"考點(diǎn)四：三角變換的綜合應(yīng)用1.三角恒等變換是三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值、證明的主要依據(jù).高考常與三角函數(shù)的其他知識(shí)相結(jié)合命 題，題目難度適中，為中檔題.2 .高考對(duì)三角恒等變換綜合問(wèn)題的考查常有以下幾個(gè)命題角度：(1) 與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)相結(jié)合命題；(2) 與向量相結(jié)合命題；(3) 與解三角形相結(jié)合命題.例 4 (1)(2013

14、 天津高考)已知函數(shù) f(x) = . 2sin 2x+ n + 6sin xcos x 2cos2x+ 1, x R.求f(x)的最小正周期；求f(x)在區(qū)間0,-的最大值和最小值.n.(2013 遼寧高考)設(shè)向量 a= ( 3sin x, sin x), b= (cos x, sin x), x ” 0若|a|=|b|,求x的值；設(shè)函數(shù)f(x) = ab,求f(x)的最大值.解(1)f(x)= . 2sin 2x cosj- , 2cos 2x si門才+ 3sin 2x cos 2x= 2sin 2x 2cos 2x= 2 2sin T = 2n=nI 2 = n.所以f(x)的最小正周

15、期因?yàn)閒(x)在區(qū)間是增函數(shù)，在區(qū)間0，3n, n上是減函數(shù)，又f(o)=2,=2亞臨二的最大值為2 2，最小值為,.2 2 2 2 -+ sin x= 4sin x, |b| = cos x+ sin x從而 sin x= 1，所以 x= f.f(x) = a b= . 3sin xcos x+ sin2x i<2xn)+ 2當(dāng)x=n=2,故函數(shù)f(x)在0,由a又 x 0, n=_23sin 2x os 2x+ 舟=sin所以f(x)的最大值為3.【方法規(guī)律】三角恒等變換綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1) 與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)相結(jié)合的綜合問(wèn)題.借助三角恒等變換將已知條件中的函數(shù)

16、解析式整理為f(x)= Asin( ax+妨的形式，然后借助三角函數(shù)圖象解決.(2) 與向量相結(jié)合的綜合問(wèn)題.此類問(wèn)題通常是先利用向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為角恒等變換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等問(wèn)題解決.2.2 2=1, 及 |a|= |b|,得 4sin x= 1.,singx取最大值1.三角函數(shù)問(wèn)題，然后再利用三2是實(shí)數(shù)集，f(x) = a b+ 4cos x+)變式 4： 1.已知平面向量 a= (sin2x, cos2x), b= (sin2x, cos2x),2 3sin xcos x,如果存在 m R，任意的 x R, f(x)>f(m),那么 f(m)=(A . 2+ 2 .3B .

17、 3 C. 0 D . 2 2 . 3解析：選 C 依題意得 f(x)= sin4x cos4x+ 4cos2x+ , 3sin 2x = sin2x+ 3cos2x+ . 3sin 2x= cos 2x+ , 3sin2x+ 2= 2sin 2x+ 6 + 2，因此函數(shù) f(x)的最小值是一2+ 2 = 0，即有 f(m)= 0.ax n sin 2 ax a > 0)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn).(1)求2.已知X0, 乂0+才是函數(shù)f(x)= cos27 n門7? 0若對(duì)？ x1 + cos 宅 ax解: (1)f(x)=2cos 2ax+ 2 sin 2 a :都有|f(x) m|w 1，求

18、實(shí)數(shù)m的取值范圍. n31 cos 2ax in=2 cos ? ax 3f in的值;cos 2 ax寧 si n 2 ax+ ；COS 2ax學(xué)好資料_=¥ 如 n 2 wx+ _23cos 2 3x = fsi n 2 ®x+3 .2 n 由題意可知，f(x)的最小正周期 T= n, =2“.n 3 in 2=牙12 2sin 2X $ +=n 又w> 0 ,f3= 1,f(x) = 3si njx+-7 n 1+ 亠(2)|f(x) m|w 1，即 f(x) 1 w mw f(x) + 1,：對(duì)？ x , 0 I,都有 |f(x) m|< 1,M7 n5

19、 nn n'm> f(x)max 1 且 mW f(x)min + 1 ,：石三 XW 0，石 W 2x+ 3 W 3 , f1W sin 2x+ 3 wf,.- W 2s in 2x+ 3 W 4，即 f(x)max= 4, f(x)min = ¥ ,13f4WmW 1 故實(shí)數(shù)m的取值范圍為迴 W 迴si n x+ n 廠 44,1 -製【小結(jié)】1組關(guān)系一一兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與倍角如 1 切 +1:- 料用兩式相陳兩式杓除公式的關(guān)系2個(gè)技巧拼角、湊角的技巧(1)用已知角表示未知角2 a= ( a+ 3+ ( a3 ； 2 3= ( a+ 3) ( a 3

20、 ； a= ( a+ 3 3= ( a 3 + 3a+ 3 a 一 3 a= T+T,(2)互余與互補(bǔ)關(guān)系3=a+ 3 a 3 a 32 2 ； 2a+n：+n2；n2；n+3 +3個(gè)變換 應(yīng)用公式解決問(wèn)題的三個(gè)變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是n+“配湊”a=n;(2) 變名：通過(guò)變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，(3) 變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等. 3【鞏固檢測(cè)】1. (2013浙江高考)函數(shù)f(x)= sin xcos

21、x+cos 2x的最小正周期和振幅分別是(B. n 2 C. 2 n 1D. 2 n 2其手法通常有“切化弦”、“升幕與降幕”等.“常解析:2 .若3 Ah丄V31V3(由 f(x)= sin xcos x+-cos 2x= ?sin 2x+ycos 2x= sin 2x+13,3，得最小正周期為 n,振幅為1.解析:nn c 八0 V aV 2， 2< 3< 0,B .虧(3cos a+ 2 = coscos n+cos na 0< a< f,則 TV 4+ a< 3n，f '2444nr n n 3 n又2< 3< 0,則 4< 4

22、2< 2，sn=cos n+ a cosC產(chǎn).92 =寸，則 cos a+D . 9n . n .sin 4+ a ：n 3亠62< 2,f nE_ 2 尸 3 .2,23 .sin 4+ a'、in 4-3，3 .已知銳角 a 3滿足sin3 n n 、. 3 n. nA. 4 ； B-4或&； C-4cos 3=5解析：選C 由sin a=故 cos( a+®= cos acosa=¥ cos 3=彳彳訃。，貝V a+ 3等于(510n;D . 2k n+ 尹 Z)且a, 3為銳角，可知cos3 sin asin 3=x 丄=匚,510510

23、又 0 V a+ n 故 a+n3= 4-n4.已知 a+ 3= 4，則(1 + tan a)(1 + tan 3)的值是(B. 1ntan a+ tan 3解析：'-+ 3= 4, tan( a+ 3 = 1,41 tan otan 3'tan a+ tan 3= 1 tan aan 3-(1 + tan a)(1 + tan 3 = 1 + tan a+ tan 3+ tan aan 5 .已知 sin a+ n + sin a= 3,貝V cos3C-3解析：選D4.353,故 3sin a+由 sin a+ + sin a=3 叮3所以 Sin a+ -COS a=5s

24、in a+ n = £，所以 cos6 .已知tanj+ n；= 2，則詈僉的值為2 n亍=cos3= 1 + 1 tan aan 3+ tan aan 3= 2.2 n y4D-4/曰 1二g得 2sin a+ 2cos a+sin a= 5 , nL_邊 6廠 5 ,扌+ a+ 6 = sin a+ 6 = 5-fntan x+ 1解析：由 tan x+ 4 = 2,得=2,、41 tan x1 tan x tan x 1 tan x 1 Atan x= 3, '''tan 2x= 2tan x =2= 2tan x tan x1 tan2x7.將函數(shù)y= sin x的圖象向右平移 扌個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng) 為原來(lái)的4倍，這樣就得到函數(shù)f(x)的圖象，若g(x)= f(x)cos x+ 3.n寸的形式;(1)將函數(shù)g(x)化成Asin( ®x+冊(cè)+ B其中A、w>0, 能若函數(shù)g(x)在區(qū)間n 6上的最大值為2，試求6的最小值.12,解：(1)由題意可得f(x