2020年(新課改)數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)小測(cè)：圓錐曲線——著眼4點(diǎn)找到解題突破口

1、課時(shí)跟蹤檢測(cè)(五十四) 破題上一一著眼 4 點(diǎn)找到解題突破口 (1) 求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2) 若動(dòng)直線 I: y= kx+ m 與橢圓 C 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) P,且與直線 x= 4 交于點(diǎn) Q, 問(wèn)：以線段 PQ 為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn) M ?若存在，求出定點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：( (1)橢圓 E 的焦點(diǎn)為( (,0), 2 2 設(shè)橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 a1+ b2= l(a b0), r 2 A a = 4, 解得 t 2 c b = 3, a2 b2= 1, 2 2 所以橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+卷=1. 得(3 + 4k2)x2 + 8kmx+ 4

2、m2 12= 0, 所以= 64k2m2 4(3+ 4k2)(4m2 12)= 0, 即 m2= 3 + 4k2. 設(shè) P(xp, yp), / 4k 3、 即 p m, m 假設(shè)存在定點(diǎn)M( (S, t)滿足題意, 因?yàn)?Q(4,4k+ m), 則 MP = 4k S, - t , M Q= (4 sAk+ m t), v m m J 所以 MP M c= mS z4S)+( (mt/4k+ m1) )=4(1S) ( (m+ m+4k ；t+ (S 2 4S+ 3 + t )= 0 恒成立, 所以存在點(diǎn) M(1,0)符合題意.1 已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn) 1，3，且與橢圓 2 E : x2 + y

3、2= 1 有相同的焦點(diǎn). y= kx+ m, (2)聯(lián)立 x+爐1 消去 y. 則 Xp = 4 km 2 3 + 4k2 4k m, yp= kxp+ m= m= 3 m 1 S= 0, 故 = , 2 2 $2 4S+ 3+ t2= 0 解得S= 1 t= 0. 2 2 C: X2+ y2= 1(ab0)的短軸長(zhǎng)為 a b 上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn) 為 C 的左焦點(diǎn). (1)求橢圓 C 的方程； 若點(diǎn) P 在 y 軸的右側(cè)，以 AP 為底邊的等腰 ABP 的頂點(diǎn) B 在 y 軸上，求四邊形 FPAB 面積的最小值. 2b= 2 2, 解：依題意得 9=亞, 解得，a樂(lè) a 3 山=72 a2= b2+

4、 c2 2 2 橢圓 C 的方程是x + y = 1. 6 2 (2)設(shè) P(xo, yo)( 2V yoV 2, 滬 0, Xo0), 線段 AP 的中點(diǎn)為 M , 由厶 ABP 是以 AP 為底邊的等腰三角形，可得 BM 丄 AP, 直線 AP 的垂直平分線方程為 - F ( 2,0), =2 2|yo| + 孟5 3, 當(dāng)且僅當(dāng) 2|yo| = 3-，即 yo= 7時(shí)等號(hào)成立， 2lyol 2 四邊形 FPAB 面積的最小值為 5 3. x2 y2 需 3橢圓 C:孑+ 2= 1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別是 F1, F 2,離心率為 丁，過(guò)點(diǎn) F1且 垂直于 x 軸的直線被橢圓 C

5、截得的線段長(zhǎng)為 1. (1)求橢圓 C 的方程； 點(diǎn) P 是橢圓 C 上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接 PF1, PF2,設(shè)/ F1PF2的角平分線 PM 交 C 的長(zhǎng)軸于點(diǎn) M(m,0)，求 m 的取值范圍.2已知橢圓 2.2,離心率為 點(diǎn) A(3,0), P 是 C 3 則 AP 的中點(diǎn) M Xo+ 3 yo 2 ，2， 直線 AP 的斜率為, Xo 3 o, yo + x2 9 2yo , 四邊形 FPAB 的面積 S= 5 |yo| + -2y2-3 2yo yo xo 3 y 2 = -yT xo+ 3 2 ， 2 2 :奢?=1, 2yo 3 2 解：將 x=- c 代入橢圓的方程X2

6、 + a 由題意知= 1,故 a = 2b2 3.又 e=，則b= 即 a = 2b,所以 a= 2, b= 1, a a 2 a 2 2 故橢圓 C 的方程為x + y2= 1. 4 (2)由 PM 是/ F1PF2的角平分線， 可得田=田即氏=LF1MJ |F1M| |F2M| |PF2| |F2M|. 設(shè)點(diǎn) P(xo, yo)( 2 v xoV 2), 又點(diǎn) F1( ( 3, 0), F2( ( 3, 0), M(m,0), 則 |PF11=寸(V3 X0$+ y = 2+ Xo, |PF2|= 乂帀-xof+ y = 2- xo. 又|F1M|= |m+ 3|, |F2M|= |m ,

7、 3|,且,3v mv 3, 所以 |F1M| = m + 3, |F2M|= 3 m. 2 亞 + 2 Xo 3 + m 3 所以 - = ，化簡(jiǎn)得 m = 7xo, y3 V3 m 4 2 2 xo 3 3 而一 2v xov 2,因此一-v mv-. 2 2 故實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 一 2, 3 . 2 2 4. (2018 沈陽(yáng)模擬) )已知橢圓 x2+生=1(a b 0)的左，右焦點(diǎn)分別為 F1, F?,且尸許2| =6,直線 y= kx 與橢圓交于 A, B 兩點(diǎn). (1)若厶 AF1F2的周長(zhǎng)為 16，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 若 k=子，且 A, B, F1, F2四點(diǎn)共圓，求橢圓

8、離心率 e 的值； 在(2)的條件下，設(shè) P(X0, y)為橢圓上一點(diǎn)，且直線 PA 的斜率 陽(yáng) ( 2, 1)，試求 直線PB 的斜率 k2的取值范圍. 解：由題意得 c= 3，根據(jù) 2a + 2c= 16,得 a= 5.結(jié)合 a2= b2+ c2,解得 a2= 25, b2 2 2 =16.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 25+16=1. 2 2 篤+ *= 1, a b 2由丄 y= 丁 x, y2 b2 F= 1得 y=a 得 b2+ fa2 x2 a2b2= 0. 設(shè) A(xi, yi), B( (X2, y2) ). 2 2 所以 X1+ X2= 0 , X1X2= , 丄1 2 b + 8a 由 AB , F1F2互相平分且共圓，易知， AF2丄 BF2, - - 因?yàn)?F2A = (X1 3, y1), F2B = (X2 3, y2), - - 所以 F 2A F 2B = (xi 3)(x2 3) + yiy2 1 + 1 X1X2 + 9= 0. a4b2 即 X1X2= 8，所以有 :-=8, I 1 2 b+ 8a 結(jié)合 b2+ 9 = a2,解得 a2= 12, 所以離心率 e=于. 由(2)的結(jié)論知，橢圓方程為 4 2