2.1 相似矩陣 ppt課件

1、C4-3 相似矩陣相似矩陣一、相似矩陣與相似變換的概念一、相似矩陣與相似變換的概念.,., , 111的相似變換矩陣的相似變換矩陣變成變成稱為把稱為把可逆矩陣可逆矩陣進(jìn)行相似變換進(jìn)行相似變換稱為對(duì)稱為對(duì)行運(yùn)算行運(yùn)算進(jìn)進(jìn)對(duì)對(duì)相似相似與與或說矩陣或說矩陣的相似矩陣的相似矩陣是是則稱則稱使使若有可逆矩陣若有可逆矩陣階矩陣階矩陣都是都是設(shè)設(shè)定義定義BAPAAPPABAABBAPPPnBA 1. 等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系 . 22111211PAPPAPPAAP ., . 3為為正正整整數(shù)數(shù)相相似似與與則則相相似似與與若若mBABAmm二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì)二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì).本身相似本身相似與

2、與AA.,相似相似與與則則相似相似與與若若ABBA.,相相似似與與則則相相似似與與相相似似與與若若CACBBA反身性反身性)1()2(對(duì)對(duì)稱稱性性傳傳遞遞性性)3(證明證明相相似似與與BA PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA PAPkPAPkPAkAkP21211122111. 4 .,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kkBAPPP 1,使使得得可可逆逆陣陣., 1的特征值亦相同的特征值亦相同與與從而從而式相同式相同的特征多項(xiàng)的特征多項(xiàng)與與則則相似相似與與階矩陣階矩陣若若定理定理BABABAn推論推論 假設(shè)假設(shè) 階方陣階方陣A與對(duì)角陣與對(duì)角陣n n 21.,21個(gè)個(gè)特特征征

3、值值的的即即是是則則相相似似nAn 利用對(duì)角矩陣計(jì)算矩陣多項(xiàng)式利用對(duì)角矩陣計(jì)算矩陣多項(xiàng)式,1PPBA 若若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110 Ak的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式AEaAaAaAaAnnnn 1110)( .)(1PBP .1PBPk 則則PEaBaBaBaPnnnn11110)( PPB1 PPB1 PPB1 PPB1 k個(gè)個(gè),1為為對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣使使若若可可逆逆矩矩陣陣特特別別地地 APPP, 1PPAkk 則則.)()(1PPA 有有對(duì)于對(duì)角矩陣對(duì)于對(duì)角矩陣, ,21 knkkk,)()()()(111 利用上利用上述結(jié)論可以述結(jié)論可以很方便地計(jì)很方便地計(jì)算矩陣算

4、矩陣A 的的多項(xiàng)式多項(xiàng)式 .)(A .)(,)(OAfAf 則則的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式是是矩矩陣陣設(shè)設(shè) 定理定理證明證明.與對(duì)角矩陣相似的情形與對(duì)角矩陣相似的情形只證明只證明A使使則則有有可可逆逆矩矩陣陣與與對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣相相似似若若,PA),(11 ndiagAPP . 0)(, iifA的的特特征征值值為為其其中中有有由由,1PPA )(Af.1OPPO PPf1)( PffPn11)()( ., 1對(duì)對(duì)角角化化這這就就稱稱為為把把方方陣陣為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使若若可可找找到到可可逆逆矩矩陣陣階階方方陣陣對(duì)對(duì)AAPPPAn 證明證明,1為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使假假設(shè)設(shè)存存在在可可逆逆陣陣 A

5、PPP .,21npppPP 用其列向量表示為用其列向量表示為把把三、利用相似變換將方陣對(duì)角化三、利用相似變換將方陣對(duì)角化.)( 2個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有的的充充分分必必要要條條件件是是能能對(duì)對(duì)角角化化即即與與對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣相相似似階階矩矩陣陣定定理理nAAAn nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于是有于是有 nppp ,211 ,1 PAPAPP得得由由., 的的特特征征向向量量的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可見見iii

6、ApPA .,21線線性性無無關(guān)關(guān)所所以以可可逆逆又又由由于于npppP命題得證命題得證., PAPPnnnA使使陣陣個(gè)個(gè)特特征征向向量量即即可可構(gòu)構(gòu)成成矩矩這這個(gè)個(gè)特特征征向向量量得得并并可可對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)地地求求個(gè)個(gè)特特征征值值恰恰好好有有由由于于反反之之闡明闡明 假設(shè)假設(shè) 階矩陣階矩陣 的的 個(gè)特征值互不相等，個(gè)特征值互不相等，那么那么 與對(duì)角陣相似與對(duì)角陣相似推論推論nAAn假設(shè)假設(shè) 的特征方程有重根，此時(shí)不一定有的特征方程有重根，此時(shí)不一定有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能不一定能對(duì)角化，但如果能找到對(duì)角化，但如果能找到 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，個(gè)線性

7、無關(guān)的特征向量， 還是能對(duì)角化還是能對(duì)角化AAnnA例例1 1 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得 得得方方程程組組代代入入將將, 02121 EA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.110,10221 , 0, 73 xEA 由由對(duì)對(duì)求得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由由于于.,321線線性性無無關(guān)關(guān)所所以以 .,3 化化可可對(duì)對(duì)角角因因而而

8、個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有即即AA,同理同理 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值為的特征值為所以所以A , 01 xEA 代代入入把把解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化為對(duì)角矩陣不能化為對(duì)角矩陣.A 163053064A設(shè)設(shè)A能否對(duì)角化？若能對(duì)角能否對(duì)角化？若能對(duì)角,P則則求求出出可可逆逆矩矩陣陣化化例例2.1為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的的全全部部特特征征值值為為所所以以A 得得方方程程組組代代入入將將0121 xEA 06306306

9、3212121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)代代入入將將, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321線線性性無無關(guān)關(guān)由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP則則有有所以所以 可對(duì)角化可對(duì)角化.A留意留意 , ,213 P若若令令111 012 100. 1 APP則則有有00 00002 11即矩陣即矩陣 的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)要相互對(duì)應(yīng)P);det()det(,)1(BABA 則則相相似似與與;,)2( 11相相似似與

10、與且且也也可可逆逆則則可可逆逆且且相相似似與與若若 BABABA;,)3( 為為常常數(shù)數(shù)相相似似與與則則相相似似與與kkBkABA.)()(,)(,)4( 相相似似與與則則是是一一多多項(xiàng)項(xiàng)式式而而相相似似與與若若BfAfxfBA四、小結(jié)四、小結(jié)相似矩陣相似矩陣 相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)介紹的以外，還有：的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)介紹的以外，還有：相似變換與相似變換矩陣相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于簡化對(duì)矩陣的各種這種變換的重要意義在于簡化對(duì)矩陣的各種運(yùn)算，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與運(yùn)算，其方法是先通過相似

11、變換，將矩陣變成與之等價(jià)的對(duì)角矩陣，再對(duì)對(duì)角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從之等價(jià)的對(duì)角矩陣，再對(duì)對(duì)角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對(duì)而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對(duì)角矩陣的運(yùn)算角矩陣的運(yùn)算相似變換是對(duì)方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把相似變換是對(duì)方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把A變成，而可逆矩陣變成，而可逆矩陣 稱為進(jìn)行這一變換的稱為進(jìn)行這一變換的相似變換矩陣相似變換矩陣APP1 P,111111111 A.00100100 nB思考題思考題.,是是否否相相似似判判斷斷下下列列兩兩矩矩陣陣BA思考題解答思考題解答. 0,)( )()det( 211 nnnAnEA的的特特征征值值為為因因解解使得使得矩陣矩陣存在可逆存在可逆是實(shí)對(duì)稱矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣又又, 1PA),0 , 0 ,(11