數(shù)學(xué)分析中極限的求法之多少

1、數(shù)學(xué)分析中極限的求法之多少極限的求法是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析中的基本概念很多都用其來表述，都可以用極限來描述。如函數(shù)yf(x)在處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級(jí)數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的。極限的求法是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限的求法是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限的計(jì)算重點(diǎn)關(guān)注兩點(diǎn)：一是考察所給函數(shù)是否存在極限。若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計(jì)算此極限。本文主要是對(duì)第二個(gè)問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。一、利用夾逼準(zhǔn)則求極限若一正整數(shù) N,當(dāng)n>N時(shí)，有且則有 . 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從的表達(dá)式中，通常通過放大或縮

2、小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列和 ，使得。例1 求的極限解：因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng) 則 又因?yàn)槎?、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在有界性，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限。 例2 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。 證明：從這個(gè)數(shù)列構(gòu)造來看 顯然是單調(diào)增加的。用歸納法可證。 又因?yàn)?所以得. 因?yàn)榍懊孀C明是單調(diào)增加的。 兩端除以 得 因?yàn)閯t, 從而 即 是有界的。根據(jù)定理有極限，而且極限唯一。 令 則 則. 因?yàn)?解方程得 所以 三、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限極限的四則運(yùn)算性質(zhì)：（1）若極限和都存在，則函數(shù)，

3、 當(dāng)時(shí)也存在極限且 （2）若，則在時(shí)也存極限，且有利用極限的四則運(yùn)算法則求極限，條件是每項(xiàng)或每個(gè)因子極限存在，一般所給的變量都不滿足這個(gè)條件，如、等情況，都不能直接用四則運(yùn)算法則，必須要對(duì)變量進(jìn)行變形，設(shè)法消去分子、分母中的零因子，在變形時(shí)，要熟練掌握飲因式分解、有理化運(yùn)算等恒等變形。例3求極限(1) (2)(3)(4) 已知 求解：(1) (2)(3)-1 (4) 因?yàn)?所以 四、利用兩個(gè)特殊極限公式求極限兩個(gè)特殊極限公式 (1) (2) 在這一類型題中，一般也不能直接運(yùn)用公式，需要恒等變形進(jìn)行化簡后才可以利用公式。 例4 求下列函數(shù)的極限 (1) (2) 解：(1) 1(2) 1五、利用單

4、側(cè)極限求極限 這種方法使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先必須考慮分段點(diǎn)的左、右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。例5求 f(x)在x=0的左右極限 解：1 1 六、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限。如果 u=g(x) 在點(diǎn)連續(xù) g()=,而y=f(u)在點(diǎn)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)在點(diǎn)連續(xù)。即也就是說，極限號(hào)可以與符號(hào)f互換順序。 例6求 解：令 ylnu, u 因?yàn)?lnu 在點(diǎn) 處連續(xù) 所以 1七、利用無窮小量的性質(zhì)求極限 無窮小量的性質(zhì)：無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量。如果,g(x)在某區(qū)間有界，那么.這種方

5、法可以處理一個(gè)函數(shù)不存在但有界，和另一個(gè)函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問題。 例7求 解： 因?yàn)?所以 0八、利用等價(jià)無窮小量代換求極限 等價(jià)無窮小量：當(dāng)時(shí)，稱y,z是等價(jià)無窮小量：記為 yz 在求極限過程中，往往可以把其中的無窮小量，或它的主要部分來代替。但是，不是乘除的情況，不一定能這樣做。 例8求 解：8九、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在附近有導(dǎo)數(shù)，則 如果存在，則此極限值就稱函數(shù) f(x)在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)記為 .即在這種方法的運(yùn)用過程中。首先要選好f(x)。然后把所求極限表示成f(x)在定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。 例9求 解：取f(x)= .則 十、利用微分中值定理和積分中值定理求極限（

6、一）微分中值定理若函數(shù) f(x) 滿足 () 在 連續(xù) .()在(a,b)可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 例10求 解： （二）積分中值定理設(shè)函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間 上連續(xù);g(x) 在上不變號(hào)且可積，則在上至少有一點(diǎn)使得 例11求 解： 十一、利用洛必達(dá)法則求極限在前面的敘述中，我們已經(jīng)提到了利用等價(jià)無窮小量來求函數(shù)的極限，在此筆者敘述一種牽涉到無窮小（大）量的比較的求極限的方法。我們把兩個(gè)無窮小量或兩個(gè)無窮大量的比的極限統(tǒng)稱為不定式極限，分別記作型或型的不定式極限?，F(xiàn)在我們將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限，這個(gè)方法通常稱為洛比達(dá)法則。下面就給出不定式極限的求法。（一）對(duì)于型不定式極限可

7、根據(jù)以下定理來求出函數(shù)的極限。若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足：=0。在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且 =A。（A可為實(shí)數(shù)，也可為或）則=A。注：此定理的證明可利用柯西中值定理，在此，筆者就不一一贅述了。例12求解：容易檢驗(yàn)f(x)=1+與g(x)=在的鄰域里滿足定理的條件和，又因= -故由洛比達(dá)法則求得，=在此類題目中，如果仍是型的不定式極限，只要有可能，我們可再次利用洛比達(dá)法則，即考察極限是否存在。當(dāng)然，這是和在的某鄰域內(nèi)必須滿足上述定理的條件。例13求解：利用 （），則得原式=在利用洛比達(dá)法則求極限時(shí)，為使計(jì)算更加快捷減少運(yùn)算中的諸多不便，可用適當(dāng)?shù)拇鷵Q，如下例，例14求解：這是型不定式

8、極限，可直接運(yùn)用洛比達(dá)法則求解，但是比較麻煩。如作適當(dāng)?shù)淖儞Q，計(jì)算上就會(huì)更方便些，故令當(dāng)時(shí)有，于是有=（二）型不定式極限若滿足如下定理的條件，即可由如下定理計(jì)算出其極限。若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足：=在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且=A，（A可為實(shí)數(shù)，也可為或）。則=A。此定理可用柯西中值定理來證明，在此，筆者就不一一贅述了。例15求解：由定理4得，注1：若不存在，并不能說明不存在。注2：不能對(duì)任何比式極限都按洛比達(dá)法則來求解。首先必須注意它是不是不定式極限；其次是觀察它是否滿足洛比達(dá)法則的其它條件。下面這個(gè)簡單的極限=1 雖然是型的，但若不顧條件隨便使用洛比達(dá)法則：=就會(huì)因右式的極限不

9、存在而推出原式的極限不存在這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論。(三)其它類型不定式極限不定式極限還有，等類型。這些類型經(jīng)過簡單的變換，都可以化為型和型的不定式極限。例16求解：這是一個(gè)型的不定式極限，作恒等變形=，將它轉(zhuǎn)化為型的不定式極限，并用洛比達(dá)法則得到=例17求解：這是一個(gè)型的不定式極限，作恒等變形=其指數(shù)部分的極限是型的不定式極=從而得=例18 求（k為常數(shù)）解：這是一個(gè)型的不定式極限，按上例變形的方法，先求型的極限，=然后得到 =（）當(dāng)=0時(shí)上面的結(jié)果仍成立。例19 求解：這是一個(gè)型的不定式極限，類似地，先求其對(duì)數(shù)的極限（型） =1于是有=洛必達(dá)法則只能對(duì)或型才可直接使用，其他待定型必須先化成這兩種類型

10、之一，然后再應(yīng)用洛必達(dá)法則。洛必達(dá)法則只說明當(dāng) 等于 A 時(shí)，那么也存在且等于A. 如果不存在時(shí)，并不能斷定也不存在，只是這是不能用洛必達(dá)法則，而須用其他方法討論 。 例20(1) 求 (2)求 解：(1) 由 所以上述極限是待定型1(2) 它為型 由對(duì)數(shù)恒等式可得 = 十二、利用定積分求和式的極限 利用定積分求和式的極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間 上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。 例21求 解：由于 可取函數(shù) f(x)區(qū)間為上述和式恰好是 在 上n等分的積分和。 所以 十三、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)

11、收斂，則運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級(jí)數(shù)收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限 例22 求 解：設(shè) 則 = =0<1由比值判別法知收斂 由必要條件知0十四、利用泰勒展開式求極限 泰勒展開式：若 f(x)在x=0點(diǎn)有直到n+1 階連續(xù)導(dǎo)數(shù),那么 (其中在0與1之間) 利用泰勒公式求極限由于泰勒公式的特殊形式，對(duì)于求解某些函數(shù)的極限有簡化求解過程的作用。 例23求解：本題可用洛比達(dá)法則來求解，但是運(yùn)算過程比較繁瑣，在這里可用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子， （取n=4）cosx=1-+()=1-+cosx-=-()因而求得= 十五換元法求極限 當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求。 例24 求 解：令 則 1本文對(duì)極限的求法作了一下小結(jié),歸納了15種求極限的基本方法.對(duì)一般的極限用上面的方法可以求出來,復(fù)雜一點(diǎn)的可能要綜合幾種方法才能求出.關(guān)鍵是“運(yùn)用之妙,存乎一心，源于熟練”.參考文獻(xiàn)1 陳傳璋，金福臨編，數(shù)學(xué)分析（上下冊(cè)）第二版，高等教育出版社2 蔡子華主編，2005年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全（