最優(yōu)控制理論考試重點

1、 1.1. 最優(yōu)控制問題的性能指標 (1)(1)積分型性能指標(拉格朗日型)：J(u) = (tf Lx(t),u(t),tdt 0 反映控制過程偏差在某種意義下的平均或控制過程的快速性，同時能反映燃料或能量的消耗。 (2)(2)末值型性能指標(梅耶型)： J(u)=8x(tf),tf,接近目標集程度，即末態(tài)控制精度的度量。 tf J(u) =8x(tf ),tf 十 L Lx(t),u(t),tdt。 2.2. 最優(yōu)控制問題的數學模型 給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程： x(t) = fx(t),u(t),t；狀態(tài)方程的邊界條件: 給定性能指標：J(u) =8x(tf ),tf +Lx(t),u(t),t

2、dt ;允許控制域 u(t): u(t)U。 3 3 .最優(yōu)控制應用的幾種類型： 最短時間控制，最小能量控制，線性調節(jié)器，最少燃料消耗控制，線性跟蹤器。 4.4. 選取性能指標注意： 應能反映對系統(tǒng)的主要技術條件要求，便于對最優(yōu)控制進行求解，所導出最優(yōu)控制易于實現。 5.5. 邊界條件：指狀態(tài)向量在起點或終點的所有容許值的集合。 6 6 .橫截條件：依據性能指標的要求，從容許值的集合中選擇哪一點作為始態(tài)或終態(tài)的問題。 1.1. 泛函：對于某一類函數y(-)中的每一個函數y(x)，變量J都有一個值與之相對應，那么變量 府作依賴于函數 y(x)的泛函。記為:J=Jy(x) , y(x)稱為泛函的宗

3、量。 宗量的變分：dy = y(x) - y0(x) o 2.2. 泛函的連續(xù)性：對任意給定的正數 總存在另一個正數 5 ,當 y(x)-yo(x) 5, y(x)-yo(x) 5,., y(k)(x)-y0k)(x)曷,.時，Jy(x) - Jy。(x)| 尊，則稱泛函 Jy(x) 在點yo(x)處是連續(xù)的，而此時y(x)與yo(x)具有k階接近度。 Jy(x)滿足：(1)Jyi(x)+y2(x) = Jyi(x) + Jy2(x) , (2) Jay(x) = aJy(x)則稱其為線性泛函。 3.3. 泛函的變分(計算題) 設泛函Jy(x)為連續(xù)泛函，則泛函增量的線性主部稱為泛函的變分，記

4、為： J o泛函的變分是唯一的。 泛函 Jy(x)的求解：6Jy(x) =jy(x)+y(x)從。 , 。.fLt,x(t),x(t). - x(t) - 方(t) 例=確定點A01)至給定直線y/(r)= 2-r的最短的曲線方程。 解：由氏至 w的 M 長 * =(時 + 陵渲=J1 +戈財 性能指標為 y 、 _ /(*) = | Al + , 0 由歐拉方程二 孑 -)= 0 煮 s/1 + X 1 =to,x(to) = xo t=tf ,x(tf) S Lt,x(t),x(t) - 7 - 6x(t)dt x(t) J=r Lt,x(t),x(t)dt，則 J= t0 t0 X XJ

5、1! + X 2 (3)(3)綜合性能指標(鮑爾扎型)： 積分得， 得最優(yōu)敦或方程， 沿最優(yōu)軌線函數H相對最優(yōu)控制u*(t)取絕對極小值，這是極小值原理的一個重要結論。 Hx*(t)(t),u*(t),t =m)irjHx*(t), (t),u(t),t根摒終端橫截條件 L I -X)5. I - Jl + x2 + (-1 4 . 4 . 泛函 J =Jy(x) 泛函極值定理： 5.5.歐拉方程： (1) ：x .V (7) = F + 1 的極值：對于與 yo(x)接近的曲 一Jy(x)邳或AJ =Jy(x) Jy(x)技0,則泛函Jy(x)在曲線y(x)上達到極值。 若可微泛函Jy(x)

6、在yo(x)上達到極值，則在 y=yo(x)上的變分為零，即 & = 0。 線 y(x), 泛 函 Jy(x)的 增 量 d LL d - _ _ _ _ 已(二)=?；?Lx 已 Lx = 0，展開形式為 LxLxf xLxXxL& = 0。 dt ；:x dt 6 6 .無約束條件的最優(yōu)化問題(思路) (解題步驟)(計算) (1) - 端點固定：歐拉方程：Lx - Lx，= 0。 dt (2) 可變端點：歐拉方程：Lx-dLx，=。,橫截條件： L + ” -x)Lxtf =0；x(t) =x,x(tf)=甲(tf) JL +(中一 x)Lxt0 =0；x(t。)=9(t0

7、),x(tf) = xtf 7 7.具有等式約束條件的最優(yōu)化問題： J(u) =0 x(tf),tf + ftf Lx(t),u(t),tdt，泛函極值必要條件 為: t0 H 狀態(tài)萬程：x = = fx, u,t,協態(tài)方程：九 端點約束：x(t0)f ，Mtf) x(tf),tf =0 f :也=0, :u 一 - . : T - + -V,橫截條件：H(tf)+ v 一 x(tf) ：x(tf) -:tf ,控制方程(極值條件) -：x ；T 8.8. 應用變分法求解最優(yōu)控制問題 步驟如上，首先列寫哈密爾頓函數 H =L f，橫截條件用于補充所缺少的邊界條件。 9.9. 幾種典型的歐拉方程

8、 車 d ;:F F tf (1) J(x (1) J(x )取極值的必要條件為：歐拉方程 ：云一器專 一 0，橫截條件：聽(。上 =0。 x t -2 :L 一 .， ；:L (2)(2) 歐拉方程的展開形式： f x 4:x (3)(3) 不同函數F F的歐拉方程： 豐 1) Fx(t),t : 一=0 ； 2) Fx(t),t: :x . .2 2 、 : F c F -:F -2 :L ：x - :x .:x : -2 i2L . 、 x = 0或 Lx - Lt】Lxxx Ljx = 2 2 2 l :F 一 ： F : F x=0 ; 3) Fx(t),t ： x + C = 0；

9、 x : x xt 0 ; 5) Fx(t),x(t),t=a(x,t)+E(x,t)x : -一 =0。 根據始端Sr件: 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x(t) = fx(t),u(t),t，控制u(t)是有第一類間斷點的分段連續(xù)函數，屬于 p維空間中 的有界閉集Q,滿足不等式約束：Gx(t),u(t),t芝0，在終端時刻tf未知的情況下，為使狀態(tài)自初態(tài)x(t0) = x0, t f _ _ _ 一、一一 轉移到7兩足邊界條件 Mx(tf),tf= 0的終態(tài)，并使性能指標 J =8x(tf ),tf + Fx(t),u(t),tdt達極小值。 設哈密而頓函數為 H = F (x, u,t) + 7：

10、 f (x, u,t)則最優(yōu)控制u*(t)，最優(yōu)軌線x*(t)和最優(yōu)伴隨向量 入*(t)必須 滿足下列條件： (1)(1) 沿最優(yōu)軌線滿足正則方程：x=，九=一也一(坦)T，式中是與時間t無關的拉格朗日乘子向 x jx 量，其維數與 G相同，若G中不包含x,貝U：九= o ；:x (2)(2) 橫截條件及邊界條件： _M T M T A(tf)= 十()vt , H(x,u,Z,t)+ 十()vt 土 =0 , x(to) = xo , Mx(tf),tf=0。 ；x ；x :t :t . . . . .，*K* *、 八 在最優(yōu)軌線x*(t)上與最優(yōu)控制u*(t)相對應的H函數取絕對極小值，

11、即 H (x ,九，u , t)玄H (x ,% , u,t), 并且沿最優(yōu)軌線，下式成立 =4-) ；:u ；:u 上述條件與不等式約束下的最優(yōu)控制的必要條件相比較， 橫截條件及端點邊界條件沒有改變，僅 “H =0這 :u 一條件不成立，而代之以與最優(yōu)控制相對應的函數為絕對極小，其次是正則方程略有改變，僅當 G中不包含x 時，方程才不改變。 1 1.砰-砰控制原理： 若線性定常系統(tǒng) x(t) = Ax + Bu屬于平凡情況，則其最短時間控制為 u* (t) = -M sgnBT7(t), u* (t)的各 個分量都是時間的分段恒值函數，并均取邊界值，稱此為Bang-Bang原理。 n 即 u

12、*j(t) =-sgnqj(t) =-sgn bij(t)t),(j =1,2,.,m) i 4 或 u*j(t) = sgnQ(t) = -sgnBTx*(t),tL*(t)。 2 2 .平凡最短時間控制系統(tǒng)： q：只是在各個孤立的瞬刻才取零值， u*是有第一類間斷點的分段恒值函數。 . . . . . -. * . 3.3. 奇異(非平凡)最短時間控制系統(tǒng)： qj在一段區(qū)間取零值。 一 、,、一_、，, . . 一一 、一 *T 并不意味著在該區(qū)間內最優(yōu)控制不存在， 僅表明，從必要條件不能推出確切美系式。 如果九(t)bj在某一時 、 . 、 . . . . . . . * . . 、 .

13、 . 、 . . . . . . . . 間區(qū)間內保持為零，則uj(t)為不確定值，這種情況稱為奇異問題或非平凡問題，相應的時間區(qū)段稱為奇異區(qū)段。 當整個時間區(qū)間內不出現奇異區(qū)段時，則稱為非奇異問題或平凡問題，對于平凡問題，有以下幾個定義及定理。 砰-砰控制原理 也稱為繼電器型控制或開關控制，其主要特點是控制向量的分量都取控制域的邊界，而且不斷的 從一個邊界值切換到另一個邊界值，從而構成一種最強的控制作用。砰 -砰控制實質是平凡時間最優(yōu)問題，其最 優(yōu)解也就是控制器的輸出是一個類似于繼電器動作的開關式動作。 最短時間控制存在定理： 若線性定常系統(tǒng)x(t)=Ax+Bu完全能控，矩陣 A的特征值均具

14、有非正實部，控制變 量滿足不等式約束|u(t)| M ,則最短時間控制存在。 最短時間控制的唯一性定理： 若線性定常系統(tǒng)x(t) = Ax +Bu屬于平凡情況，若時間最優(yōu)控制存在，則必定是唯一的。 開關次數定理：若線性定常系統(tǒng)x(t) = Ax + Bu控制變量滿足不等式約束|u(t)| M ,矩陣A的特征值全部為實數， 若最短時間控制存在。則必為 Bang-Bang控制，并且每個控制分量在兩個邊界值之間的切換次數最多不超過 n-1 次。切換點為q. (t) = bj禹=0。 系統(tǒng)平凡的充要條件： 當且僅當m個矩陣Gj =bj, Abj ,A2bj，,Abj中全部為非奇異矩陣時，系統(tǒng)是平凡 的

15、。(至少有一個為奇異矩陣時，系統(tǒng)是奇異的。 ) 雙積分模型的物理意義 ：慣性負載在無阻力環(huán)境中運動。 雙積分模型JX1 % = x2:;）的最短時間控制問題,求解過程為: . . * _ . 、 _ . . . 1）應用最小值原理得出最優(yōu)控制表達式 u = -sgn72 （t） ； 2）解協態(tài)方程，結合開關次數定理，列出最優(yōu)控制的 候選函數序列（4種）；3）在狀態(tài)平面上分析狀態(tài)轉移軌線，尋找開關曲線，總結控制規(guī)律； 4）計算狀態(tài)轉移的最短時間。 解題步驟： 1）判斷系統(tǒng)是否能控： rank（Gj） = rank（bj, Abj,A2bj，,Anbj ）是否等于n, A的特征值是否全部有非正實部

16、。 平凡燃料最優(yōu)問題：里也只在孤立點等于1；非平凡燃料最優(yōu)問題： 也2在某個（或某些）區(qū)間內等于 1。 I Cj I Cj 平凡最少燃料控制的充分條件： detG； AT = 0。 最優(yōu)解唯一性定理： 系統(tǒng)是平凡的且最少燃料控制存在，則最少燃料控制必然是唯一的，且目標泛函的相對極小值也是唯一的。 雙積分模型x1 （t）=為（t）的最少燃料控制問題： 1） 判斷其平凡性：該系統(tǒng)是奇異的（則最少燃料控制不一定是唯一的） 。 * q i T 2） 最優(yōu)控制表達式： 山=dez（ = dezB舄 = dez（舄2）。3）利用協態(tài)萬程求解 舄2（t），確定u（t）。 Cj 4） 9種可能的控制序列作為候

17、選函數。 5）計算在狀態(tài)轉移過程中燃料的消耗。 燃料消耗量的下限 乂2。| ,所以，如果能找到一個控制，驅使狀態(tài)從初態(tài)轉移到原點的燃料消耗為 乂?。，則該 控制肯定是燃料最優(yōu)控制。 6）以此為依據來選擇最優(yōu)控制序列（最優(yōu)軌線） 雙積分模型的最少燃料控制問題，求解過程為： 1）應用最小值原理得出最優(yōu)控制表達式； 2）解協態(tài)方程，列出最優(yōu)控制的候選函數序列（ 9個）； 3） 燃料消耗量的下限為；4）在狀態(tài)平面上分析狀態(tài)轉移軌線，尋找開關曲線，總結控制規(guī)律； 5） 計算狀態(tài)轉移的所需時間、消耗燃料。 結論： （1）（x0,x20） 7 + 平凡情況：只有+1序列可驅使系統(tǒng)狀態(tài)到達原點，故為問題的解。

18、 2）列寫H函數：H = L+X f ； 3）伴隨方程: 史 ；:；4）極值條件: .z * * * .、 . . z * * 八 H (x ,，u ,t) _ H (x ,，, u,t)。 5）最優(yōu)控制規(guī)律: u =+M 時, u =-M 時， 求解X (t) * ； 7) 求解X (t) 離合原理：若燃料控制是平凡的, 再來蹦定“：的幅埴： u （t） = + M,q 0 ; 6） 則最優(yōu)控制各分量 uj都是時間分段橫值函數, 確定開關曲線。 并在-1,0, +1三個值之間切換。 * (5-10) 三位控制、離合控制 非干凡情況：因為u （t） =-sgnQ20），v（t） , v（t）1

19、 ,則系統(tǒng)狀態(tài)不可能到達原點。 * 一 .一 - . -, 、 f * . f *. t f 1) u =1 為最優(yōu)解；2)消耗燃料 P(*0,x20)=u (t)dt= L u (t)dt = X2 0 = X20 0 0 0 (2)(X10 , x20 ) = R4 八一一 一 * ,、 ， 、 ，.、 . . . . 非平凡情況：u (t) = -sgn0、20).v(t), V(t)(/) 一) (6 - 2) 求最優(yōu)控制(/),使下列二次型性能指標最小. ./() = -eT(tf)Fe(tJ.) 4- er。)0。心)+ 。/ &(，)(，)出 (6-3 1 F一半正定對定

20、常效加權矩陣 W)半王定對稱時交加權矩陣 R(ty 正定對稱時變加權矩陣 In及人固定 正定二次型寸*黃 0 ./出*) 0 半正定二次型Vx O ,/Av 0 ; 實對稱陣 A 為正定(半正定)的充要條件是全部特征值0 0). 加權矩陣總可化為對稱形式。 O O O (ii) = eT ( )Fe(fj) + ； ： + u(t)T R(t)u(t)(1t (6 3)。 。 o o 性能指標的物理含義： 4 = e(t)TO(t)e(t) 0狀態(tài)轉移過程中衡量川)大小的代價函數 Lu =:(。以(/)(/) 0狀態(tài)轉移過程中衡量大小的代價函數 0(O)=X()R(o)zo一終端代價函數(衡量

21、終點誤差)線性二次型問題的本質： 用不大的控制，來保持轅小的誤差.以達到能量和誤差螺含最優(yōu)的目的 統(tǒng)性二次型問題的三種重要情形: t(/)= (6D y(i) = C(t)x(f) 照)=乂(。一即)(6-2) |1) d = O E) = Hf) = -e0 狀 B) i頃)=。 即)=用) 輸出調節(jié)器 |3) = 0 e(f) = U)-v(f) 跟蹤問題 矩陣F,Q(t), R(t)的每一元素，都是對應二次項的系數。意義：是借以權衡各個誤差分量和控制分量重要程度的 加權矩陣。對于重要的誤差分量或控制分量， 其系數取較大值；對于次要的誤差分量或控制分量， 系數取較小值; 而對于互不相關的誤差分量或控制分量，系數取零值。 狀態(tài)調節(jié)器：用不大的控制能量，使狀態(tài)保持在零值附近，因而稱之為狀態(tài)調節(jié)器問題。 輸出調節(jié)器：用不大的能量控制，使輸出狀態(tài)保持在零值附近，因而稱之為輸出調節(jié)器問題。 跟蹤問題：用不大的控制能量，使 y(t)跟蹤