不等式的性質(zhì)與證明剖析

1、不等式的性質(zhì)與證明一、高考要求：掌握不等式的性質(zhì)、簡單不等式的證明和重要不等式及其應(yīng)用.二、知識(shí)要點(diǎn)：1.實(shí)數(shù)大小的根本性質(zhì):a-b 0仁ab; a-b=0u a=b; a-b0u a b,bc,那么ac;如果ab,bc,那么ab,那么a+cb+c;如果abj a-c b-c;(3)乘法法貝U :如果ab,c0j acbc;如果ab,c0jSJ acc,那么ac-b;(5)同向不等式的加法法那么：如果ab且cdj a+c b+d;如果ab且c d那么a+cb0,且cd0,那么acbd.3.幾個(gè)拓展的性質(zhì)：ab0= anbn(n C N,n1);ab0= Va Vb (n N,n 1);ab且c

2、d = a-db-c;ab0,且cd0= -;d c11ab0(或0ab)n2ab(a bCR) ;a2+b2+c23abca、b、c R+);, ja+b2/一廠 c、 , a + b + c3/,廠-+、ab 2 (a、b同號(hào))；2+c+a3 (a、b、c同號(hào))a ba b c(4)倒數(shù)形式：a +12(aC R+) ; a + l02 (aC R-).aa三、典型例題：例1:ab,那么不等式a2b2;1中不能成立的個(gè)數(shù)是(a b a - b aA.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)例2:證明不等式：2+ h *22(1)對(duì)V實(shí)數(shù)a、b,求證：ab0a;0,q0,p3+q3=2,試用反證法證明p

3、+q02(4)對(duì)V實(shí)數(shù)x、y,求證:x2+xy+y21Q(5)對(duì)V實(shí)數(shù)a、bCR+,且a+b=1求證：(1 +-)(1+-) 9.a b四、歸納小結(jié)：1.實(shí)數(shù)大小的根本性質(zhì)反映了實(shí)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)和實(shí)數(shù)大小順序之間的關(guān)系，是不等式證明和解不等式的主要依據(jù).2.不等式證明的常用方法：1比擬法常和配方法結(jié)合使用.用比擬法證明的一般步驟是：作差 t 變形 T 判斷符號(hào)；2綜合法和分析法常結(jié)合使用.綜合法就是由因?qū)Ч褂貌坏仁降男再|(zhì) 和已證明的不等式去直接推證；分析法就是 執(zhí)果索因表達(dá)的形式是：要 證A,只要證B;反證法的步驟:假設(shè) T 推理 T 矛盾 T 原命題成立；3.在利用不等式求最大值或最小值時(shí)，

4、要注意變量是否為正，和或積是否為定 值，等號(hào)是否能成立.通過變形，使和或積為定值，是用不等式求最值的根本技巧. 五、根底知識(shí)訓(xùn)練：一選擇題：1.在以下命題中，是真命題的是A.x y和岡|y|互為充要條件B.xy和x2y2互為充要條件2 . 2一1111C.a b b w 0 -2 a -2互為充要條件D.-a4-一b和4a3b互為充要條件a b342.a b,cC R,由此能推出以下不等式成立的是22ccA.a+cb-cB.acbcC.acbcD.a2b23.如果ab0且ab,貝有A.11Bb2D.a2 b2a ba b11.4 .讓b一成立的a bA.充分必要條件B.充分非必要條件C.必要非

5、充分條件D.既不充分又不必要條件5.不等式a+b2成立的充要條件是b aA.ab0且awbB.abwdl awbC.a 0,b0且awbD.alH bwl16.x2,那么函數(shù)y=x+-的取小值是()x -2A.4B.3C.2D.17.不等式a2+22aa2+b22(a-b-1);(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2中，恒成立的個(gè)數(shù) 是()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)8假設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足b+c=3a2-4a+6, b-c=a2-4a+4那么a、b、c的大小關(guān)系是()A.baB.bcaC.b c aD.b c g(x) B.f(x)=g(x) C.f(x) -5B.M-5C.M=-

6、5D.不能確定111.0a aaaaC.aaaa a12.a bbB. a bC.a b13.設(shè)a、b是不相等的正數(shù)，那么2214.右0 x 1,0yaa a1D. a a* aaD.B. aba ba2b22222,c a+b r a + bD. v- Jababa bi2中，包成立的個(gè)數(shù)是a bA.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)16.設(shè)正數(shù)a,b滿足ab=4,那么2a+3b的最小值是A.12B.10C.4 6D.4 317.設(shè)a,bC R且a+b=3,那么2a+ 2b的最小值是()A.6B.8C.4 2D.2 218.假設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足方程x+y-4=0，那么x2+y2的最小值是()A.4B.6C.

7、8D.1019.令0a 1;a+b=2；a+b2；a2+b22；ab 1.其中能推出“& b中至少有一個(gè)數(shù)大于1的條件是()A.B.C.D.2Y221.以下命題中，(1)x+1的最小值是2; (2)X的最小俏是2; (3)5的最x. x21x24小值是2; (4)2-3x-4的最小值是2.正確命題的個(gè)數(shù)是()xA.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)(二)填空題：22.假設(shè)xy且ab,那么在a-xb-y; a+xb+y; axby;x-by-a；a b這五個(gè)式子中包成立的不等式的序號(hào)是 .y xcd23.三個(gè)不等式：ab0；ad以其中兩個(gè)作為條件，余下ab的一個(gè)作為結(jié)論，那么可以組成 個(gè)正確的

8、命題.1124.以下四個(gè)不等式：a 0b;ba 0;b 0a；0V ba.其中使0),那么y的取小值是xC. aba2b2a b, 22A.2xyB.x+yC. 2 xyD.x2+y2D.1個(gè)25.x0,函數(shù)y = 2-3x -的最大值是.x一次不等式和不等式組的解法一、高考要求：熟練求不等式組的解集.二、知識(shí)要點(diǎn)：1.能直接說明未知數(shù)的取值范圍的不等式叫做最簡不等式，解集相等的不等式叫做同解不等式，一個(gè)不等式變?yōu)樗耐獠坏仁降倪^程叫做 同解變形.2.一次不等式ax baw0解法：當(dāng)a0時(shí)，解集是xx2,用區(qū)間表示為2,+ 8；aa當(dāng)a0時(shí)，解集是xxB,用區(qū)間表示為-oo,b.aa3 .不

9、等式組的解集就是構(gòu)成不等式組的各不等式解集的交集.三、典型例題：例1：解以下不等式組：22(x2+1)(x-3) 03x + 4 5x - 6四、歸納小結(jié)：一次不等式和不等式組的解法是解各種不等式組的根底.解不等式實(shí)際上就 是利用數(shù)與式的運(yùn)算法那么，以及不等式的性質(zhì)，對(duì)所給不等式進(jìn)行同解變形，直到變 形為最簡不等式為止.五、根底知識(shí)訓(xùn)練：一選擇題：1.方程x2+m+2x+m+5=0有兩個(gè)正根，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.m-2B.m-5D.-5m-42.方程mx2+2m+1x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.m -414C.m?-41 L-D.m一 且mO 4三解答題：x -

10、1：二0解不等式 組:2僅-22 55(2) 2x 5 03x - 6 0.分式不等式的解法一、高考要求：會(huì)解線性分式不等式：上b0或*lb0(c#0).cx d cx d二、知識(shí)要點(diǎn)：在分式的分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式.線性分式不等式的一般形式為：止bA0或軍士b0(c*0),不等號(hào)也可以是“漱 Y .cx d cx d三、典型例題：例:解不等式：空3下5.x -2 x-1四、歸納小結(jié):1.分式不等式的求解可應(yīng)用同解原理轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，常用的解法有:(1)轉(zhuǎn)化為一次不等式組；(2)區(qū)間分析法.2 .解分式不等式的關(guān)鍵是利用除法運(yùn)算的符號(hào)法那么化成不等式組或用區(qū)間分析法.注意

11、：不能按解分式方程的方法去分母;制.五、根底知識(shí)訓(xùn)練：(一)選擇題：.1, 11.滿足00C.x 13)C.Ig(x-3) 1的解集是()x2A.x|0 M 3B.x|-2x34.不等式2、-30的解集是(x - 2x 1A.x|x 3B.x|1 x3C.x|-6 0式3)C.x|x 或x 0D.x|x 2D.x|x3且xw5.不等式(x(x3)(X7)(X7)WO 的解集是()x一2A.x|1今2B.x|1 x bc,那么不等式(x(xa)(xb)b)冷的解集是()x - cA.(-8,c)jb,a)B.(c,bU a,+ 8)C.(c,b U (b,aD.(c,a U b,+ oo)(二)

12、填空題：7.不等式2x二！1的解集是.x 38 .不等式(X -1)(x+2) 0的解集是(x2-4)(3-x)9.假設(shè)不等式2x+a一0的解集為x|-3x2那么a=x 4x 3(三)解答題：10 .解以下不等式：2-1(1) ： x 1(2)0 ： x -一： 1xx含有絕對(duì)值的不等式一、高考要求：熟練求絕對(duì)值不等式的解集.二、知識(shí)要點(diǎn)：1 .|x-a|(a )幾何意義是x在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到a的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離.2.不等式|x| & a(a0)的解集是x|-a&x0赤等式|x|a(a0)的解集是x|x a.3.不等式|ax+b|0)的解集是x|-c ax+b c(c 0)的解

13、集是x|ax+bc,然后解這 個(gè)一次不等式，求出原不等式的解集，即這兩個(gè)一次不等式的解集的并集為原不 等式的解集.三、典型例題：例:解以下不等式：(1) |x2-3x|4(2) 1 |2x1|5(3) x+|x-1|2四、歸納小結(jié):解絕對(duì)值不等式時(shí)，應(yīng)先了解根本絕對(duì)值不等式|x|a (a0)的解法，并 把含有絕對(duì)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式.五、根底知識(shí)訓(xùn)練：(一)選擇題：1.不等式|x-2|1的解集是()A.(1,3)B.(3,+ oo)C.(-oo,1)D.(-oo,1)j (3,+ oo)2.不等式|2-3x|5的解集是()A.(-1,7)B.(7,+ oo)C.(-1,+ 8)D

14、.(-oo-1)U(7,+ oo)333A.x|1x5 B. x|x5 C. x|x或乂5D. x| - 5,B=x 3x 1B.x| -7K 1C.x|x RD.x|x 35.A= x x-2 1,那么APB等于()A.x|x 2C.x|-1 x0(二)填空題：3.不等式|2-3x|4的解集是(2B.x| -1 x5D.x|-1 x0或2x 5a6.右不等式|x-a|b的解集為x|-3 xb,b0=x|x 4,那么a2+b=_.8.假設(shè)xC Z,那么不等式|x-2| 3的解集是.(三)解答題：9.設(shè)集合A=x|2x- 1| 03,B=x|x+芥1,求集合C,使其同時(shí)滿足以下三條件(1)C?(

15、AUB)nZ (2)C中有三個(gè)元素；(3)CUBW .10.解以下不等式：(1) 3 2x-12x -1元二次不等式的解法、高考要求：熟練求一元二次不等式的解集.、知識(shí)要點(diǎn)：兒次方程的根、一元二次不等式的解集的比照表一元二次函數(shù)的圖象、如下：、典型例題:例1:求以下不等式的解集：(1)2x+3-x2 0 ; (2)x(x+2)-1x(3x) ; (3)x2-2sx+3 0 ; (4)x2+6(x+3) 3 ;(5)3x2+50 3x.例2:m是什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程m-1x2-mx+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？2112例3:ax+2x+c0的解集為- x 0.四、歸納小結(jié)：解一元二次不等式的方法主要

16、有：1轉(zhuǎn)化為一次不等式組；2區(qū)間分析法；3配方法；4利用二次函數(shù)的圖象.五、根底知識(shí)訓(xùn)練：一選擇題：1 .97高職-1不等式x2+2x+10的解集是A.B.RC.x|x= -1D.x|x -1,x R2.不等式x2-4x-5x2+8 0的解集是A.x|-1 x5 B.x|x5 C.x|0 x5D.x|-1 x0a w0解集是空集的充要條件是A.a0且b2-4ao0 B.a0且b2-4ac 0 C.a 0D.a0且b2-4ac0B.2x2-4石x+600 C.3x2-3x+1 0D.2x2-2x+1 05.假設(shè)x2-mx+1 2或m-2B.-2m0的解集是x x 0的解集為x|x J2,那么b=

17、,c=.8.(m+3)x2+(2m-1)x+2(m-1)0,x R,B=x|1-|x-a| 0, x,a R,A n B=求a的取值范 圍.10.不等式(a2-1)x2-(a-1)x-10的解是全體實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.11.假設(shè)函數(shù)y=x2-(1+k)x-k+2的值域?yàn)榉秦?fù)實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.12.假設(shè)關(guān)于x的方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求實(shí)數(shù)a的 取值范圍.不等式的應(yīng)用一、高考要求：了解不等式或不等式組在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，會(huì)列不等式或不等式組解簡單的實(shí)際問題.二、知識(shí)要點(diǎn)：列不等式解應(yīng)用題的主要步驟是：設(shè)未知數(shù)；2根據(jù)題意，列出不等

18、式或不等式組；3解不等式或不等式組；4檢驗(yàn)結(jié)果是否符合實(shí)際，并作答. 三、典型例題：例1:某漁業(yè)公司年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船，用于捕撈，第一年需各種費(fèi)用12萬元, 從第二年開始包括維修費(fèi)在內(nèi)，每年所需費(fèi)用均比上一年增加4萬元，該船每年捕 撈的總收入為50萬元.1該船捕撈幾年開始盈利即總收入減去總本錢及所有費(fèi)用為正值?2該船捕撈假設(shè)干年后，處理方案有兩種：當(dāng)年平均盈利到達(dá)最大值時(shí)，以26萬元的價(jià)格賣出；當(dāng)盈利總額到達(dá)最大值時(shí)，以8萬元的價(jià)格賣出，問哪一種方案 較為合算？請(qǐng)說明理由.例2:某種商品,現(xiàn)在定價(jià)每件p元,每月售貨賣出n件,因而現(xiàn)在每月售貨總金額為np元.設(shè)定價(jià)上漲x成,賣出數(shù)量減少y成，售貨總金額變成現(xiàn)在的z倍.1用x和y表示z;2設(shè)y=kx