專題訓(xùn)練螞蟻爬行的最短路徑(含答案)解讀

1、螞蟻爬行的最短路徑1. 一只螞蟻從原點 0出發(fā)來回爬行，爬行的各段路程依次為：+5,-3, +10, -8, -9, +12,-10.-109-7-6-5-4-3-2-1 0 I 2 3 4 5 7 T 9W回答下列問題：(1)螞蟻最后是否回到出發(fā)點 0；(2)在爬行過程中，如果每爬一個單位長度獎勵2粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ,故沒有回到 0;(2) (|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|) X2=114 粒2 .如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B的最

2、短距離是解：如圖將正方體展開，根據(jù)兩點之間，線段最短”知，線段AB即為最短路線.3 . ( 2006?茂名)如圖，點 A、B分別是棱長為2的正方體左、右兩側(cè)面的中心，一螞蟻從點A沿其表面爬到點 B的最短路程是 cm解：由題意得，從點 A沿其表面爬到點 B的最短路程是兩個棱長的長，即2+2=4.4 .如圖，一只螞蟻從正方體的底面A點處沿著表面爬行到點上面的B點處，它爬行的最短路線是（）A. A? P? BD. A? S? B第23頁共19頁解：根據(jù)兩點之間線段最短可知選A.故選A.5 .如圖，點A的正方體左側(cè)面的中心，點B是正方體的一個頂點，正方體的棱長為2,螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程

3、是（）解：如圖，AB=匚2 2 1210 .故選C.6 .正方體盒子的棱長為 2,BC的中點為M,一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為（）解：展開正方體的點 M所在的面,.BC的中點為M,所以 MC= 1BC=1 , 2在直角三角形中 AM 二 祗?十11+2產(chǎn)=VI3.7 .如圖，點 A和點B分別是棱長為20cm的正方體盒子上相鄰面的兩個中心，一只螞蟻在cm。盒子表面由AB=CD=DF + FC= 1 EF+ 1 GF =1 X20+1 >20=20cm .2222故選C.8.正方體盒子的棱長為2, BC的中點為 M, 一只螞蟻從 A點爬行到 M點的最短距離解：將正方體展開，連接 M、

4、D1, 根據(jù)兩點之間線段最短，MD = MC+CD=1+2=3 ,MD1=MD2 DD12 .32 22139.如圖所示一棱長為 3cm的正方體，把所有的面均分成 3q個小正方形.其邊長都為1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行 2cm,則它從下底面點 A沿表面爬行至側(cè)面的B點，最少要用 2.5秒鐘.解：因為爬行路徑不唯一，故分情況分別計算，進(jìn)行大、小比較，再從各個路線中確定最的路線.(1)展開前面右面由勾股定理得(2)展開底面右面由勾股定理得AB= 一一：=' cmAB=尸=5cm；所以最短路徑長為 5cm,用時最少：5妥=2.5秒.10 . （2009?恩施州）如圖，長方體的長為15,寬為1

5、0,高為20,點B離點C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是解：將長方體展開，連接 A、B,根據(jù)兩點之間線段最短，AB=限再而=25 .11 .如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處（條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為CiAiDDi解：正面和上面沿 AiBi展開如圖，連接 ACi, ABCi是直角三角形,AC1= . ab2 bc1242 1 2 242 32 5D312 .如圖所示：有一個長、寬都是 2米，高為3米的長方體紙盒，一只小螞蟻從 A點爬到B點，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為解：由題意得, 路徑

6、一 ：AB= 依+2)43= V59 ；路徑二：AB=I； =5;路徑三：AB=依+2y+22 = V59 ;<29 >5,5米為最短路徑.13.如圖，直四棱柱側(cè)棱長為 4cm,底面是長為5cm寬為3cm的長方形.一只螞蟻從頂點 A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點B.求：(1)螞蟻經(jīng)過的最短路程;(2)螞蟻沿著棱爬行(不能重復(fù)爬行同一條棱)的最長路程.解：(1) AB的長就為最短路線.然后根據(jù) 若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為45+3戶+4?=質(zhì)(cm)；若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為攸4+3尸+52 =修(cm), 或成4+5)斗色=百(5)所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是4網(wǎng)cm.(2

7、)5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最長路程是30cm.14.如圖，在一個長為50cm,寬為40cm,高為30cm的長方體盒子的頂點 A處有一只螞蟻,它要爬到頂點B處去覓食，最短的路程是多少？解：圖 1 中，二主=40泗cm.圖 2 中，=:gO+aO” = 30i/IC 電9生7 cm.圖3中， AE二板江麗 二20住用775 cm.采用圖3的爬法路程最短，為 2DVI5cm15 .如圖，長方體的長、寬、高分別為 6cm, 8cm, 4cm. 一只螞蟻沿著長方體的表面從點 爬到點B.則螞蟻爬行的最短路徑的長是 。解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個

8、平面, 則這個長方形的長和寬分別是12cm和6cm,則所走的最短線段是的廣國=6 V5 cm；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形， 則這個長方形的長和寬分別是10cm和8cm,所以走的最短線段是以一-'= ；cm;第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形,則這個長方形的長和寬分別是14cm和4cm,所以走的最短線段是i - =2cm；三種情況比較而言，第二種情況最短.20cm、3cm、2cm. A 和 B 是這B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著16 .如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為 個臺階上兩個相對的端點，點 A處有一只螞蟻，想到點臺階面爬行到點

9、B的最短路程為 cm解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為 20cm,寬為(2+3) X3cm, 則螞蟻沿臺階面爬行到 B點最短路程是此長方形的對角線長.可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xcm,由勾股定理得：x2=202+ (2+3) X32=252, 解得x=25.故答案為25.5cm, 3cm 和 1cm, A 和 B17 .如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到 B點去吃可口的食物.請你想一想,這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到 B點，最短線路是 cm。解：將臺階展開，如下圖，因為 AC=3X3+1X3=12, BC=5,

10、所以 AB2=AC2+BC2=169,所以 AB=13 (cm),所以螞蟻爬行的最短線路為13cm.答：螞蟻爬行的最短線路為13cm.18 . （2011湃眇卜）如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm,高為5cm.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá) Q點，則螞奴爬行的最短路徑長為 cm.解:. PA=2X (4+2) =12, QA=5 .PQ=13.故答案為：13.19 .如圖，一塊長方體醇寬 AN=5cm,長ND=10cm, CD上的點B距地面的高 BD=8cm,地面上A處的一只螞蟻到 B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少？解：如圖1,在磚的側(cè)面展開圖 2上，連接AB,則AB的

11、長即為A處到B處的最短路程.解：在RtAABD中,因為 AD=AN + ND=5+10=15 , BD=8,所以 AB2=AD2+ BD2=152+82=289=172.所以 AB=17cm.故螞蟻爬行的最短路徑為 17cm.20 . （2009?佛山）如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角 A處沿著木柜表面爬到柜角Ci處.（1）請你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑;（2）當(dāng)AB=4, BC=4, CCi=5時，求螞蟻爬過的最短路徑的長;（3）求點Bi到最短路徑的距離.解：（1）如圖,木柜的表面展開圖是兩個矩形 ABC'iDi和ACCiAi

12、.故螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AiC'i和ACi . （2分）（2）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段 AiBi到Ci,爬過的路徑的長是 h=2+0-57二府.（3分）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BBi到Ci ,爬過的路徑的長是1口 二也4+4尸+5?二屈（4 分）1i>12,故最短路徑的長是 匕二匹.（5分）（3）作 BiE± ACi 于巳則= 7t7? &4=去？ 5=能慌為所求.（8分）21.有一圓柱體如圖，高 4cm,底面半徑5cm, A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到 C處，求螞 蟻爬行的最短距離.解：AC的長就是螞蟻爬行的最短距離.C, D分別是BE, AF的

13、中點.AF=2 T?5=10Tt. AD=5 兀AC= AD2 CD2= 1cm.故答案為：16cm.22.有一圓形油罐底面圓的周長為24m,高為6m, 一只老鼠從距底面 1m的A處爬行到對角B處吃食物，它爬行的最短路線長為解：AB= 52 122 13 m23 .如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AAi的端點A到達(dá)Ai ,若圓柱底面半徑為 ,高為5,則螞蟻爬行的最短距離為 解：因為圓柱底面圓的周長為2 7tx =12,高為5,所以將側(cè)面展開為一長為 12,寬為5的矩形, 根據(jù)勾股定理，對角線長為 付1F=13. 故螞蟻爬行的最短距離為 13.24 .如圖，一圓柱體的底面周長為24cm,高A

14、B為9cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,則螞蟻爬行的最短路程是解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為 24cm,1貝U AD=24X =12cm.2又因為 CD=AB=9cm,所以 AC= r =15cm.故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是15cm.故答案為：15.25. （2006湃1州）有一圓柱體高為 10cm,底面圓的半徑為 4cm, AAi , BBi為相對的兩條母 線.在AAi上有一個蜘蛛 Q, QA=3cm；在BBi上有一只蒼蠅 P, PB二2cm,蜘蛛沿圓柱體 側(cè)面爬到P點吃蒼蠅，最短的路徑是 cm.（結(jié)果用帶 兀和根號的

15、式子表示）解：QA=3, PBi=2,即可把PQ放到一個直角邊是 4兀和5的直角三角形中,根據(jù)勾股定理得:QP= ，1.一一26 .同學(xué)的茶杯是圓柱形，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蟻，從A處爬行到對面的中點B處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖.問題：某正方體盒子，如圖左邊下方A處有一只螞蟻，從 A處爬行到側(cè)棱 GF上的中點M點處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖.解：如圖，將圓柱的側(cè)面展開成一個長方形，如圖示，則A、B分別位于如圖所示的位置,連接AB,即是這條最短路線圖.如圖，將正方體中面 ABCD和面CBFG展開成一個長方形，如圖示，則A、M分別位于如圖所示的位

16、置，連接 AM,即是這條最短路線圖.27 .如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm,假若點B有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點 P處的食物，那么它爬行的最短路程解：圓錐的底面周長是 4國則4聲n=180。即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是第5題n 4180180°,，在圓錐側(cè)面展開圖中 AP=2, AB=4,/ BAP=90° ,，在圓錐側(cè)面展開圖中 BP二這只螞蟻爬行的最短距離是故答案是：2 V 5 cm.28.如圖，圓錐的底面半徑R=3dm,母線l=5dm, AB為底面直徑,C為底面圓周上一點,/COB=150° , D為VB上一點

17、，VD二 #dm .現(xiàn)有一只螞蟻，沿圓錐表面從點 C爬到D.則螞蟻爬行的最短路程是（）設(shè)弧BC所對的圓心角的度數(shù)為 n,5 TV 71nM 目 =解得n=90,CVD=90°,.cd= Vs+7=4 g ,29.已知圓錐的母線長為 5cm,圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，且/ AOAi=120°, 一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點 A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點A.則螞蟻爬行的最短路程長.AA' =AC=5 禽.解：連接 AA',彳OCAA于C,圓錐的母線長為 5cm, /AOAi=120°,30.如圖，底面半徑為1,母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出

18、發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點，它爬行的最短路線長是解：由題意知，底面圓的直徑為2,故底面周長等于2兀.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°,4n根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，24-n180解得n=90° ,所以展開圖中圓心角為 90。，根據(jù)勾股定理求得到點 A的最短的路線長是："16 16 v132 4/2 .31. （2006?南充）如圖，底面半徑為 1,母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從 A點出發(fā)，繞 側(cè)面一周又回到 A點，它爬行的最短路線長是 。解：由題意知底面圓的直徑=2,故底面周長等于2兀.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°,4n根據(jù)底面周長

19、等于展開后扇形的弧長得2聲”一180解得n=90° ,所以展開圖中的圓心角為90。，根據(jù)勾股定理求得它爬行的最短路線長為4J2 .32. （2009?樂山）如圖，一圓車B的底面半徑為2,母線PB的長為6, D為PB的中點.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點D,則螞蟻爬行的最短路程為 1解：由題意知，底面圓的直徑 AB=4, 故底向周長等于 4 7t.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得解得 n=120° ,所以展開圖中/ APD=120°妥=60° ,根據(jù)勾股定理求得 AD= 3J3,所以螞蟻爬行的最短距離為3J3 .33.如圖，圓錐底面半徑為 r,母線長為4心6。6.3r,底面圓周上有一螞蟻位于 A點，它從A點出發(fā)沿圓錐面爬彳L周后又回到原出發(fā)點，請你給它指出-解：把圓錐沿過點 A的母線展成如圖所示扇形，則螞蟻運(yùn)動的最短路程為 AA'（線段）.條