偏微分方程的離散化方法研究

1、離散空間離散空間tP離散時(shí)間離散時(shí)間無效網(wǎng)格無效網(wǎng)格 有效網(wǎng)格有效網(wǎng)格點(diǎn)中心網(wǎng)格點(diǎn)中心網(wǎng)格塊中心網(wǎng)格塊中心網(wǎng)格xyyzx模擬區(qū)網(wǎng)格圖（井位、邊界、斷層）模擬區(qū)網(wǎng)格圖（井位、邊界、斷層）五點(diǎn)法注水開發(fā)五點(diǎn)法注水開發(fā)5年后年后XW3層含水飽和度分布圖層含水飽和度分布圖五點(diǎn)法注水開發(fā)五點(diǎn)法注水開發(fā)20年后年后XW3層含水飽和度分布圖層含水飽和度分布圖rzxxPxxPxPx)()(lim0 前前差商差商 xxxPxPxPx)()(lim0 后后差商差商 xxxPxxPxPx2)()(lim0 中心中心差商差商 Px函函數(shù)數(shù)P(x+x)利利用用Talor公公式式逼逼近近導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) )()()()(! 4)

2、(! 3)(! 2)()()()4(432xOxPxxPxPxxPxxPxxPxxPxxP (*) )2()(2)()(! 3) 2/()(! 2) 2/()(2)()2(32xOxPxxPxPxxPxxPxxPxxP 1、 一階前差商一階前差商 xxPxxPxP)()(，xPPxPiii1 忽略忽略截?cái)嘟財(cái)嗾`差誤差)( xO 2、 一階后差商一階后差商 xxxPxPxP)()(，xPPxPiii1 忽略忽略截?cái)嘟財(cái)嗾`差誤差)( xO 3、 一階中心差商一階中心差商 xxxPxxPxP2)()(，xPPxPiii211 忽略忽略截?cái)嘟財(cái)嗾`差誤差)(2xO xxxPxxPxP)2/()2/(，x

3、PPxPiii2/12/1 忽略忽略截?cái)嘟財(cái)嗾`差誤差)2/(2xO 1、 二二階階差差商商 將將方方程程(*)正正負(fù)負(fù)相相加加,可可得得: .)(12)()(2)()()4(4 2xPxxPxxPxxPxxP 上上式式兩兩端端同同除除2x,整整理理得得: )()()(2)()(22 xOxxxPxPxxPxP 忽忽略略二二階階截截?cái)鄶嗾`誤差差)(2xO 222)()(2)(xxxPxPxxPxP，211222xPPPxPiiii(用節(jié)點(diǎn)位置) 1、 一種常用二階差商處理方法一種常用二階差商處理方法 xxukxukxkxxxxx2221，)(2121xxx 112),(),(1xtyxutyxx

4、uxuxx ，222),(),(1xtyxxutyxuxuxx xxtyxxutyxukxtyxutyxxukxukxxxxx222112),(),(),(),(21 xx1 1xx2 2xx1、拋物型方程、拋物型方程：一維不穩(wěn)定滲流方程一維不穩(wěn)定滲流方程：tPxP22 （1）顯示差分：）顯示差分：利用 P（x，t）關(guān)于 t 的一階向前差商和關(guān)于 x 的二階差商，在點(diǎn)（i，n）的差分方程。 tPPxPPPninininini12112 )()21 (111ninininiPPPP，2xt，截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差：)(2xtO 從方程可以看出：如果已知第 n（本步時(shí)間）的值niP ，就可以求得第 n+

5、1時(shí)刻（下步時(shí)間）的值1niP。因此如初始條件，即 n=0 時(shí)各網(wǎng)格的 P 值已給定，就可以依次求得以后各時(shí)間的 P 值。 這種差分格式是顯式差分格式。 在顯式差分格式中：只有一個(gè)未知數(shù)1niP，由一個(gè)方程就可以求出。簡單，精度較差，時(shí)間步長受到嚴(yán)格限制，基本不用。 （2）隱式差分）隱式差分：利用利用 P（x，t）關(guān)于）關(guān)于 t 的一階向后差商和關(guān)于的一階向后差商和關(guān)于 x 的二階差商，的二階差商，在點(diǎn)在點(diǎn)（i，n+1）的差分方程）的差分方程： tPPxPPPninininini12111112 ninininiPPPP)()21 (11111 從方程可以看出：如果已知第從方程可以看出：如果已

6、知第 n（本步時(shí)間）的值（本步時(shí)間）的值niP ，為了求得第，為了求得第 n+1 時(shí)刻（下時(shí)刻（下步時(shí)間）的值步時(shí)間）的值1niP，必須解一個(gè)線性代數(shù)方程組，必須解一個(gè)線性代數(shù)方程組。即：要想求出即：要想求出1niP值，需用值，需用到第到第 n 時(shí)刻的時(shí)刻的 P 值，值，也要用到第也要用到第 n+1 時(shí)刻的時(shí)刻的 P 值。這種差分格式是值。這種差分格式是隱隱式式差分格差分格式式。在。在隱隱式差分格式中：式差分格式中：在點(diǎn)（在點(diǎn)（i，n+1） ，） ，用到（用到（i-1，n+1） 、 （） 、 （i+1，n+1） 、 （） 、 （i，n）三點(diǎn)。在三點(diǎn)。在隱式隱式差分格式中差分格式中：只有一個(gè)方程

7、，：只有一個(gè)方程，23 個(gè)未知數(shù)，但個(gè)未知數(shù)，但穩(wěn)定，穩(wěn)定，精度好，精度好，廣廣泛使用。泛使用。 以上方程的一般形式：以上方程的一般形式：iiiiiiidPbPaPc11，形成三對角矩陣。，形成三對角矩陣。 三三對對角角矩矩陣陣形形式式 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 P P P P 2 2 P P P P P P 3 3 P P P P P P 4 4 P P P P P P 5 5 P P P P P P 1 1 P P P P P P 2 2 P P P P P P 3 3 P P P P P P 4 4 P P P P P P 5

8、 5 P P P P 2、橢圓型方程、橢圓型方程： 二維不穩(wěn)定滲流方程二維不穩(wěn)定滲流方程 tPyPxP2222 采用：等距網(wǎng)格差分 （1）顯示差分：）顯示差分：在點(diǎn)（i，j，n）的差分方程（圖示） tPPyPPPxPPPnjinjinjinjinjinjinjinji,1,21,1,2, 1, 122 )2()2(1,1, 1, 1,1,njinjinjinjinjinjinjinjiPPPPPPPP 2xt，2yt，截?cái)嗾`差：)(22yxtO 該線性代數(shù)方程組在節(jié)點(diǎn)（i，j）列方程式，用到（i，j） ， （i+1，j） ， （i-1，j） ， （i，j+1） ， （i，j-1）五個(gè)點(diǎn)。 顯式

9、：只有一個(gè)方程，1 個(gè)未知數(shù)，簡單，精度較差，時(shí)間步長受到嚴(yán)格限制，基本不用。 （2）隱式差分：）隱式差分：在點(diǎn)（在點(diǎn)（i，j，n+1）的差分方程（圖示）的差分方程（圖示） tPPyPPPxPPPnjinjinjinjinjinjinjinji,1,211,1,11,21, 11,1, 122 若取正方形網(wǎng)格：若取正方形網(wǎng)格：則：則： yx njinjinjinjinjinjiPPPPPP,1,1, 11,1, 111,1)14( 該線性代數(shù)方程組在節(jié)點(diǎn)（該線性代數(shù)方程組在節(jié)點(diǎn)（i，j）列方程式，也要用到（）列方程式，也要用到（i，j） ， （） ， （i+1，j） ，） ，（i-1，j） ，

10、 （） ， （i，j+1） ， （） ， （i，j-1）五個(gè)點(diǎn)，但時(shí)刻不同。）五個(gè)點(diǎn)，但時(shí)刻不同。 隱式：只有一個(gè)方程，隱式：只有一個(gè)方程，5 個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù)，穩(wěn)定，廣泛使用。，穩(wěn)定，廣泛使用。 其一般形式是：其一般形式是：jinjijinijinjijinjijinjijifPdPbPePaPc,11.,11,1,1, 1,11,（形成五對（形成五對角矩陣）角矩陣） 五五 對對 角角 矩矩 陣陣 形形 式式 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3

11、4 4 5 5 1 1 P P P P P P 2 2 P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P 5 5 P P P P P P 1 1 P P P P P P P P 2 2 P P P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P P P 5 5 P P P P P P P P 1 1 P P P P P P P P 2 2 P P P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P

12、P P 5 5 P P P P P P P P 1 1 P P P P P P P P 2 2 P P P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P P P 5 5 P P P P P P P P 1 1 P P P P P P 2 2 P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P 5 5 P P P P P P 3、Crank_Nicolson 差差分分格格式式 Crank_Nicolson 差分格式（簡稱C_N格式）是綜合顯式和隱式格式而構(gòu)建，將空間二

13、階差商取為n 時(shí)刻與n+1 時(shí)刻的算術(shù)平均值，則： tPPxPPPxPPPnjinjinjinjinjinjinjinji,1,21, 11,1, 12, 1, 1)22(21 整理： njinjinjinjinjinjiPPtxPPPtxP, 1,2, 11, 11,21, 1)22()22( 截?cái)嗾`差：)(2txO 這種差分格式求解精度高，工作量與隱式差不多，在油藏?cái)?shù)值模擬中經(jīng)常采用的格式之一。 4、其其它它差分格差分格式式 時(shí)間時(shí)間中心中心顯式顯式差分差分： tPPxPPPnjinjinjinjinji221,1,2, 1, 1 Dufort_Frankel 差分差分格式格式： tPPx

14、PPPPnjinjinjinjinjinji2)(1,1,2, 1!,1, 1 Douglas_Jones 校正校正差分差分格式格式： （1）預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)差分差分格式格式： 2/22,2/1, 1, 122/1, 12/1,2/1, 1tPPxPPxPPPnjinjinjinjinjinjinji （2）修正修正差分差分格式格式： tPPxPPxPPPPPPnjinjinjinjinjinjinjinjinjinji,1,2/1, 12/1, 12, 1, 11, 11,1, 122)2()2( 定定產(chǎn)產(chǎn)條條件件：即即井井以以一一定定產(chǎn)產(chǎn)量量 q 生生產(chǎn)產(chǎn)。如如在在網(wǎng)網(wǎng)格格（i，j）上上有有一一口

15、口井井，產(chǎn)產(chǎn)量量 q，則則可可在在滲滲流流方方程程左左邊邊加加上上產(chǎn)產(chǎn)量量相相，生生產(chǎn)產(chǎn)井井 q 為為負(fù)負(fù)，注注水水井井 q 為為正正。 定定壓壓條條件件：即即井井以以一一定定流流動動壓壓力力 Pwf 生生產(chǎn)產(chǎn)，這這時(shí)時(shí)的的 q 未未知知，可可由由給給定定的的井井底底流流動動壓壓力力 Pwf 和和井井點(diǎn)點(diǎn)所所在在網(wǎng)網(wǎng)格格節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的的壓壓力力 Pij 計(jì)計(jì)算算： 把把網(wǎng)網(wǎng)格格內(nèi)內(nèi)井井近近似似看看成成穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)流流動動，符符合合平平面面徑徑向向流流： )/ln()(2,wewfjijirrPPKhq 如如考考慮慮油油層層彈彈性性和和油油井井表表皮皮效效應(yīng)應(yīng)的的影影響響，則則： )43ln()(2,srrPPKhqwewfjiji （一）、內(nèi)邊界條件處理（一）、內(nèi)邊界條件處理關(guān)于供