122第二課時分段函數(shù)與映射

1、1.2.2第二課時 分段函數(shù)與映射 課標要求課標要求:1.:1.通過具體實例通過具體實例, ,了解簡單的分段函數(shù)了解簡單的分段函數(shù), ,并能簡單應用并能簡單應用.2.2.了解了解映射的概念映射的概念. . 自主學習自主學習新知建構新知建構自我整合自我整合 【情境導學】【情境導學】 導入一導入一 某人去上班某人去上班, ,由于擔心遲到由于擔心遲到, ,所以一開始就跑步前進所以一開始就跑步前進, ,等跑累等跑累了再走完余下的路程了再走完余下的路程. .可以明顯地看出可以明顯地看出, ,這人距離單位的距離是關于出發(fā)這人距離單位的距離是關于出發(fā)后的時間的函數(shù)后的時間的函數(shù), ,想一想想一想, ,用怎樣

2、的解析式表示這一函數(shù)關系呢用怎樣的解析式表示這一函數(shù)關系呢? ?為解決為解決這一問題這一問題, ,本節(jié)我們學習分段函數(shù)本節(jié)我們學習分段函數(shù). . 導入二導入二 在現(xiàn)實生活中在現(xiàn)實生活中, ,常常使用表格描述兩個變量之間的對應關系常常使用表格描述兩個變量之間的對應關系. .比比如如: :國內跨省市之間的郵寄信函國內跨省市之間的郵寄信函, ,每封信函的重量和對應郵資如下表每封信函的重量和對應郵資如下表: : 信函重量信函重量 m/gm/g 0m 0m 2020 20m 20m 4040 40m 40m 6060 60m 60m 8080 80m 80m 100100 郵資郵資M/M/元元 0.80

3、0.80 1.601.60 2.402.40 3.203.20 4.004.00 想一想想一想 郵資M是信函重量m的函數(shù)嗎?若是,其解析式是什么? ?0.80, m?0,20?,?1.60, m?20,40?,?( (據(jù)函數(shù)定義知據(jù)函數(shù)定義知 M M 是是 m m 的函數(shù)的函數(shù), ,其解析式為其解析式為 M=M=?2.40, m?40,60?,) ) ?3.20, m?60,80?,?4.00, m?80,100?知識探究知識探究 1.1.分段函數(shù)分段函數(shù) 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x),xA,y=f(x),xA,根據(jù)自變量根據(jù)自變量x x在在A A中不同的取值范圍中不同的取值范圍, ,有著不同

4、的對有著不同的對應關系應關系, ,則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù). . 探究探究1 1: :怎樣求分段函數(shù)的定義域、值域怎樣求分段函數(shù)的定義域、值域? ? 答案答案: :分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集, ,分段函數(shù)的值域是各段值分段函數(shù)的值域是各段值域的并集域的并集. . 2.2.映射映射 非空非空 的集合的集合, ,如果按某一個確定的對應關系如果按某一個確定的對應關系f,f,使對于集合使對于集合A A中中設設A,BA,B是是 任意一個任意一個 唯一確定唯一確定 的的 元素元素x,x,在集合在集合B B中都有中都有 的元素的元素y y與之

5、對應與之對應, ,那么那么f:AB f:AB 為從集合為從集合A A到集合到集合B B的一個映射的一個映射. . 就稱對應就稱對應 探究探究2:2:函數(shù)與映射的關系是什么函數(shù)與映射的關系是什么? ? 答案答案: :函數(shù)是一類特殊的映射函數(shù)是一類特殊的映射, ,若構成映射的兩個集合是非空的數(shù)集若構成映射的兩個集合是非空的數(shù)集, ,則該則該映射一定是函數(shù)映射一定是函數(shù). . 探究探究3:3:若映射若映射f:AB,f:AB,集合集合A A中元素在對應法則中元素在對應法則f f下的元素構成集合下的元素構成集合C,C,則則B B與與C C相等嗎相等嗎? ? 答案答案: :B B與與C C不一定相等不一定

6、相等, ,它們之間的關系是它們之間的關系是C C? ? B. B. 自我檢測自我檢測 1 1.(.(分段函數(shù)分段函數(shù)) )已知已知 f(x)=f(x)=?x?5,x?6,?2?,x?6(x(xN N* *),),則則 f(3)f(3)等于等于( ( ?f?x(A)2 (A)2 (B)3 (B)3 (C)4 (C)4 (D)5 (D)5 2 2.(.(分段函數(shù)分段函數(shù)) )已知已知 f(x)=f(x)=?1?x,x?1,1?x?2,則則 f(x)f(x)的定義域為的定義域為( ( C C ?x(A)(A)R R (B)(- (B)(-,1,1 (C)(-(C)(-,2) ,2) (D)(1,+)

7、(D)(1,+) A A ) ) ) ) 3 3.(.(映射概念映射概念) )給出下列四個對應給出下列四個對應, ,如圖如圖, ,其中構成映射的是其中構成映射的是( ( B B ) ) (A)(A)只有只有 (C)(C)只有只有 (B)(B)只有只有 (D)(D)只有只有 4 4.(.(映射映射) )已知集合已知集合A=0,8,A=0,8,集合集合B=0,4,B=0,4,則下列對應關系中則下列對應關系中, ,不能看作不能看作從從A A到到B B的映射的是的映射的是( ( D D ) ) 11(A)f:x(A)f:xy=y=x (B)f:xx (B)f:xy=y=x x 841(C)f:x(C)

8、f:xy=y=x x (D)f:x (D)f:xy=x y=x 22?x?1, x?1,5.5.( (分段函數(shù)分段函數(shù)) )設函數(shù)設函數(shù) f(x)=f(x)=?2則則 f(f(-1)f(f(-1)的值為的值為 . . ?x?x?2,x?1,答案答案: :4 4 課堂探究課堂探究典例剖析典例剖析舉一反三舉一反三 ?x?1, x? ?2,?2【例【例 1 1】 (2018(2018山東濰坊一中高一月考山東濰坊一中高一月考) )已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=f(x)=?x?2x,?2?x?2, ?2x?1, x?2.?5(1)(1)求求 f(-5),f(-f(-5),f(-3),f(f(-),f(f(

9、-)的值的值; ; 25解解: :(1)(1)由由-5-5(-(-,-2,-,-2,-3(-2,2),-(-2,2),-(-(-,-2,-2,知知 f(-5)=-5+1=-4, f(-5)=-5+1=-4, 25533f(-f(-3)=(-)=(-3) ) +2+2(-(-3)=3-2)=3-23.f(-.f(-)=-)=-+1=-+1=-, ,而而-2-2-2, 3m-f(m)3m-5(m2),5(m2),求實數(shù)求實數(shù)m m的取值范圍的取值范圍. . 解解:(2)當當a-2時,a+1=3,即a=2-2,不合題意,舍去. 當-2a3m-5,解得m4, 又又m2,所以所以m的取值范圍為2,4).

10、 變式探究變式探究1:1:本題中若將本題中若將(2)(2)中的中的f(a)=3f(a)=3改為改為ff(a)=3,ff(a)=3,求求a. a. 解解: :令令 t=f(a),t=f(a),則則 f(t)=3, f(t)=3, 由例由例 1(2)1(2)的解法知的解法知 t=1t=1 或或 t=2. t=2. 當當 t=1t=1 時時,f(a)=1.,f(a)=1.由于由于 x x-2-2 時時,x+1,x+1-1, -1, x x2 2 時時,2x-1,2x-13. 3. 因此只有因此只有-2a2-2a3m-5,f(m)3m-5,求求m m的取值范圍的取值范圍. . 解解: :當當 m m-

11、2-2 時時,m+13m-5,m+13m-5, 即即 m3, m3, 所以所以 m m-2. -2. 當當-2m2-2m3m-5, +2m3m-5, 12 219即即 m m -m+50.-m+50.由由 m m -m+5=(m-m+5=(m-) ) + +00 知知, , 242 22 2-2m2. -2m3m-5, ,2m-13m-5, 即即 m4,m4,即即 2 2m4. m3m-5f(m)3m-5 的實數(shù)的實數(shù) m m的取值范圍為的取值范圍為(-(-,-2,-2(-2,2)(-2,2)2,4)=(-2,4)=(-,4). ,4). 方法技巧方法技巧 (1)分段函數(shù)求值問題的關鍵是看所給

12、自變量的取值屬于哪一段,代入該段解析式求解即可. (2)已知函數(shù)值求自變量的值時,應分別代入各段解析式中求解,以免丟解.要根據(jù)每段解析式中自變量本身的限制條件進行驗證取舍. (3)已知f(x)解關于f(x)的不等式時,要先在每一段內求交集,最后求并集. (4)求解形如ff(a)的函數(shù)值問題,按從里到外的原則,先求f(a),再求ff(a). ?x2?1, x?1,?【備用例【備用例 1 1】 設函數(shù)設函數(shù) f(x)=f(x)=?2則則 f(f(3)= f(f(3)= . . ?,x?1,?x?x2?1, x?1,?解析解析: :因為函數(shù)因為函數(shù) f(x)=f(x)=?231, 31, ?,x?1

13、,?x2所以所以 f(3)=f(3)=, , 3222 2413所以所以 f(f()=()=() ) +1=+1=+1=+1=. . 339913答案答案: : 9分段函數(shù)的解析式分段函數(shù)的解析式 題型二題型二 【例【例2 2】 某車間生產(chǎn)一種儀器的固定成本是某車間生產(chǎn)一種儀器的固定成本是7 5007 500元元, ,每生產(chǎn)一臺該儀器需要每生產(chǎn)一臺該儀器需要增加投入增加投入100100元元, ,已知總收入滿足函數(shù)已知總收入滿足函數(shù): : 2?400 x?x?0?x?200?,?H(x)=H(x)=?其中其中 x x 是儀器的月產(chǎn)量是儀器的月產(chǎn)量.(.(利潤利潤= =總收入總收入- -總成本總成

14、本) ) ?40000?x?200?,(1)(1)將利潤表示為月產(chǎn)量將利潤表示為月產(chǎn)量x x的函數(shù)的函數(shù); ; 解解: :(1)(1)設月產(chǎn)量為設月產(chǎn)量為 x x 臺時的利潤為臺時的利潤為 f(x), f(x), 則總成本則總成本 t=7 500+100 x, t=7 500+100 x, 又因為又因為 f(x)=H(x)-t, f(x)=H(x)-t, 2?x?300 x?7500?0?x?200?,?所以利潤所以利潤 f(x)=f(x)=? ?100 x?32500?x?200?.(2)(2)當月產(chǎn)量為何值時當月產(chǎn)量為何值時, ,車間所獲利潤最大車間所獲利潤最大? ?最大利潤是多少元最大利

15、潤是多少元? ? 解解:(2)當當0 x200時時,f(x)=-(x-150)2+15 000, 所以f(x)max=f(150)=15 000; 當x200時,f(x)=-100 x+32 500在在(200,+)上是減函數(shù)上是減函數(shù), 所以f(x)f(200)=12 500. 而12 50015 000,所以當x=150時,f(x)取最大值,最大值為15 000. 答:當月產(chǎn)量為150臺時,該車間所獲利潤最大,最大利潤是15 000元. 方法技巧方法技巧 分段函數(shù)模型的一般形式是:對于不同的自變量范圍對應不同的函數(shù)解析式,求解分段函數(shù)模型問題應明確分段函數(shù)的求解分段函數(shù)模型問題應明確分段函

16、數(shù)的“段段”一定要分一定要分得合理,日常生活中的出租車計費、自來水費、電費、個人所得稅的收取等,都是最簡單的分段函數(shù). 即時訓練即時訓練2-12-1:(2018成都高一檢測)成都市出租車的現(xiàn)行計價標準是成都市出租車的現(xiàn)行計價標準是 : :路路程在程在2 km2 km以內以內( (含含2 km)2 km)按起步價按起步價8 8元收取元收取, ,超過超過2 km2 km后的路程按后的路程按1.91.9元元/km/km收收取取, ,但超過但超過10 km10 km 后的路程需加收后的路程需加收 50%50%的返空費的返空費( (即單價為即單價為1.91.9(1+50%)= (1+50%)= 2.85

17、2.85元元/km). /km). (1)(1)將某乘客搭乘一次出租車的費用將某乘客搭乘一次出租車的費用f(x)(f(x)(單位單位: :元元) )表示為行程表示為行程x(0 x60,x(038.8,所以該乘客換乘比只乘一輛車更省錢. 【備用例【備用例2 2】 在扶貧活動中在扶貧活動中, ,為了盡快脫貧為了盡快脫貧( (無債務無債務) )致富致富, ,企業(yè)甲將經(jīng)營狀企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店以況良好的某種消費品專賣店以5.85.8萬元的優(yōu)惠價格轉讓給了尚有萬元的優(yōu)惠價格轉讓給了尚有5 5萬元無息萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙貸款沒有償還的小型企業(yè)乙, ,并約定從該店經(jīng)營的利潤中并

18、約定從該店經(jīng)營的利潤中, ,首先保證企業(yè)乙首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支的全體職工每月最低生活費的開支3 6003 600元后元后, ,逐步償還轉讓費逐步償還轉讓費( (不計息不計息).).在甲提供的資料中有在甲提供的資料中有: :這種消費品的進件為每件這種消費品的進件為每件1414元元; ;該店月銷量該店月銷量Q(Q(百百件件) )與銷售價格與銷售價格P(P(元元) )的關系如圖所示的關系如圖所示; ;每月需要各種開支每月需要各種開支2 0002 000元元. . (1)(1)當商品的價格為每件多少元時當商品的價格為每件多少元時, ,月利潤扣除職工最低生活費的余額最大月利潤扣除

19、職工最低生活費的余額最大? ?并求并求最大余額最大余額; ; 解解: :設該店月利潤余額為設該店月利潤余額為 L, L, 則由題設得則由題設得 L=Q(P-14)L=Q(P-14)100-3 600-2 000, 100-3 600-2 000, ?2P?50?14?P?20?,?由題圖易得由題圖易得 Q=Q=?3 ?P?40?20?P?26?,?2?2P?50?P?14?100?5600?14?P?20?,?代入式得代入式得 L=L=?3 ?P?40?P?14?100?5600?20?P?26?,?2(1)(1)當當 1414P P2020 時時,L,Lmaxmax=450=450 元元,

20、,此時此時 P=19.5P=19.5 元元, , 125061當當 20P20P2626 時時,L,Lmaxmax= =元元, ,此時此時 P=P=元元. . 33故當故當 P=19.5P=19.5 元時元時, ,月利潤余額最大月利潤余額最大 , ,為為 450450 元元. . (2)(2)企業(yè)乙只依靠該店企業(yè)乙只依靠該店, ,最早可望在幾年后脫貧最早可望在幾年后脫貧? ? 解解:(2)設可在n年內脫貧, 依題意有12n450-50 000-58 0000, 解得解得n20, 即最早可望在20年后脫貧. 分段函數(shù)的圖象分段函數(shù)的圖象 題型三題型三 【例【例3 3】 畫出下列函數(shù)的圖象畫出下列

21、函數(shù)的圖象, ,并寫出它們的值域并寫出它們的值域: : ?1?,0?x?1,(1)y=(1)y=?x ?2x,x?1;?1?,0?x?1,解解: :(1)(1)函數(shù)函數(shù) y=y=?x的圖象如圖所示的圖象如圖所示, ,觀察圖象觀察圖象, ,得函數(shù)的值域為得函數(shù)的值域為(1,+(1,+).). ?2x,x?1(2)y=|x+1|+|x-3|. (2)y=|x+1|+|x-3|. ?2x?2,x? ?1,?解解: :(2)(2)用零點分段法將原函數(shù)式中的絕對值符號去掉用零點分段法將原函數(shù)式中的絕對值符號去掉, ,化為分段函數(shù)化為分段函數(shù) y=y=?4,?1?x?3,它它?2x?2,x?3,?的圖象如

22、圖所示的圖象如圖所示. .觀察圖象觀察圖象, ,得函數(shù)的值域為得函數(shù)的值域為4,+4,+). ). 方法技巧方法技巧 (1)畫含有絕對值的函數(shù)的圖象的方法:對含有絕對值的函數(shù),要作出其圖象,首先應根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號,將函數(shù)轉化為分段函數(shù),然后分段作出函數(shù)圖象. (2)畫分段函數(shù)圖象的方法:作分段函數(shù)的圖象時,分別作出各段的圖象,在作每一段圖象時,先不管定義域的限制,作出其圖象,再保留定義域內的一段圖象即可,作圖時要特別注意接點處點的虛實,保證不重不漏. x?x即時訓練即時訓練3-1:3-1:已知在函數(shù)已知在函數(shù)f(x)=1+ (-f(x)=1+ (-2x2).2x2). 2(1)(

23、1)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù); ; 解解: :(1)(1)當當 0 0 x x2 2 時時, , x?xf(x)=1+f(x)=1+=1; =1; 2當當-2x0-2x0 時時, , ?x?xf(x)=1+f(x)=1+=1-x, =1-x, 2?1?x,?2?x?0,所以所以 f(x)=f(x)=? ?1,0?x?2.(2)(2)畫出該函數(shù)的圖象畫出該函數(shù)的圖象; ; (3)(3)寫出該函數(shù)的值域寫出該函數(shù)的值域. . 解解:(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示: (3)由(2)知,f(x)在(-2,2上的值域為1,3). 【備用例【備用例3 3】 已知函數(shù)已知函數(shù)y

24、=f(x)y=f(x)的圖象由圖中的兩條射線和拋物線的一部分的圖象由圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成組成, ,求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式. . 解解: :(1)(1)當當 x x1 1 時時, ,設設 f(x)=kf(x)=k1 1x+bx+b1 1, , 因為圖象過點因為圖象過點(0,2),(1,1), (0,2),(1,1), ?b1?2,所以所以? ?k1?b1?1,?k1? ?1,所以所以? ?b1?2,所以所以 f(x)=-x+2. f(x)=-x+2. (2)當當1x3時時,設f(x)=a(x-2)2+2(a0). 因為圖象過點(1,1), 所以a=-1, 所以f(x)=-x2

25、+4x-2. (3)(3)當當 x x3 3 時時, ,設設 f(x)=kf(x)=k2 2x+bx+b2 2, , 因為圖象過點因為圖象過點(3,1),(4,2), (3,1),(4,2), ?k2?1,?3 k2?b2?1,所以所以?所以所以? ?b2? ?2,?4 k2?b2?2,所以所以 f(x)=x-2, f(x)=x-2, ?x?2,x?1,?2綜上綜上,f(x)=,f(x)=?x?4x?2,1?x?3, ?x?2,x?3.?映射映射 題型四題型四 【例【例4 4】 判斷下列對應是不是從集合判斷下列對應是不是從集合A A到集合到集合B B的映射的映射: : (1)A=(1)A=N

26、N* *,B,B=N=N* *, ,對應關系對應關系f:x|xf:x|x-3|; -3|; (2)A=(2)A=平面內的圓平面內的圓,B=,B=平面內的矩形平面內的矩形,對應關系對應關系f:f:作圓的內接矩形作圓的內接矩形; ; (3)A=2014(3)A=2014年南京青奧會參賽國年南京青奧會參賽國,B=,B=參賽國的金牌數(shù)參賽國的金牌數(shù),對應關系對應關系f:f:每個參賽國最終每個參賽國最終獲得的金牌數(shù)獲得的金牌數(shù); ; 1(4)A=x|0 x2,B=y|0y6,(4)A=x|0 x2,B=y|0y6,對應關系對應關系f:xy= x.f:xy= x. 2解解:(1)由于在對應關系f作用下A中

27、元素3與3的差的絕對值為0,而0? ?B,故不是映射. (2)因為一個圓有無數(shù)個內接矩形,即集合A中任何一個元素在集合B中有無數(shù)個元素與之對應,故不是映射. (3)對A中任何一個元素,按照對應關系f,在B中都有唯一一個元素與之對應,符合映射定義,是映射. 1(4)是映射,因為A中每一個元素在中每一個元素在f:xy= x作用下對應的元素構成的集合作用下對應的元素構成的集合C=y| 20y1? ? B,符合映射定義. 變式探究變式探究: :本題所給對應關系中本題所給對應關系中, ,哪一個對應能構成函數(shù)哪一個對應能構成函數(shù). . 解解: :由于只有(3),(4)能構成映射,而(3)中的集合不是數(shù)集,

28、(4)中的集合是數(shù)集,因此只有(4)能構成函數(shù). 方法技巧方法技巧 (1)判定一種對應是否為映射的方法:給定兩集合A,B及對應關系f,利用映射的定義利用映射的定義.AB的對應的對應“多對一多對一”,“一對一一對一”,是A到B的映射. (2)映射映射f:AB中的集合中的集合A,B的特征:集合A到B的映射,A,B必須是非空集合(可以是數(shù)集,也可以是其他集合); 與A中元素對應的元素構成的集合是集合B的子集. 即時訓練即時訓練4-14-1: :下列對應是從集合下列對應是從集合S S到到T T的映射的是的映射的是( ( ) ) (A)S=0,1,4,9,T=-3,-2,-1,0,1,2,3,(A)S=0,1,4,9,T=-3,-2,-1,0,1,2,3, 對應法則是開平方對應