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1、數(shù)學(xué)中考中最值問題的解法探析數(shù)學(xué)中考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)求最值的問題,成為中考的熱點(diǎn) . 下面通過近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其解法.一、利用“垂線段最短”求最值例 1 ( 2013 江蘇無錫) 已知點(diǎn) D與點(diǎn) A( 8,0),B( 0,6),C(a,-a )是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),則CD長(zhǎng)的最小值為.解析 OA=8,OB=6, AB=10.(1)當(dāng) CD是平行四邊形的邊時(shí),CD = AB = 10.二、利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”求最值例 2 ( 2009 漳州)如圖 1, AOB = 45°, P 是 AOB內(nèi)一點(diǎn), PO = 10 ,Q,R分別是 OA和 OB上的動(dòng)點(diǎn),求 PQR周

2、長(zhǎng)的最小值 .解析 分別作 P 關(guān)于 OA,OB的對(duì)稱點(diǎn) C,D,連接 CD,則 PR+ PQ + R Q CD,當(dāng) Q, R在線段 CD上時(shí), PQR周長(zhǎng)最小 . COD = 2AOB = 90°, OC = OD = OP = 10 ,三、利用“兩點(diǎn)之間, 線段最短”和“垂線段最短”求最值四、利用“三角形三邊關(guān)系”求最值例 4 (2011 四川廣安)如圖 3 所示,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形 ABCD是直角梯形, BCAD, BAD = 90°, BC與 y 軸相交于點(diǎn) M,且 M是 BC的中點(diǎn), A,B,D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A(-1 ,0), B(-1 ,2), D(

3、 3,0). 連接 DM,并把線段 DM沿 DA方向平移到 ON. 若拋物線 y = ax2 + bx + c經(jīng)過點(diǎn) D,M, N.(1)求拋物線的解析式.(2)拋物線上是否存在點(diǎn) P,使得 PA = PC?若存在,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由 .(3)設(shè)拋物線與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 E,點(diǎn) Q是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 當(dāng)點(diǎn) Q在什么位置時(shí), 有|QE - QC|最大?并求出最大值 .五、利用一次函數(shù)求最值例 5 (2013 湖北十堰)某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn) A,B 兩種新型節(jié)能臺(tái)燈共 100 盞,這兩種臺(tái)燈的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如表所示:( 1)若商場(chǎng)預(yù)計(jì)進(jìn)貨款為 3500 元,則這兩種臺(tái)

4、燈各購(gòu)進(jìn)多少盞?(2)若商場(chǎng)規(guī)定 B 型臺(tái)燈的進(jìn)貨數(shù)量不超過 A 型臺(tái)燈數(shù)量的 3 倍,應(yīng)怎樣進(jìn)貨才能使商場(chǎng)在銷售完這批臺(tái)燈時(shí)獲利最多?此時(shí)利潤(rùn)為多少元?分析 ( 1)設(shè)商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn) A 型臺(tái)燈 x 盞,則 B 型臺(tái)燈為(100 - x )盞,然后根據(jù)進(jìn)貨款 = A 型臺(tái)燈的進(jìn)貨款 +B 型臺(tái)燈的進(jìn)貨款列出方程求解即可 .(2)設(shè)商場(chǎng)銷售完這批臺(tái)燈可獲利 y 元,根據(jù)獲利等于兩種臺(tái)燈的獲利總和列式整理, 再求出 x 的取值范圍, 然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性求出獲利的最大值 .解析 ( 1)設(shè)商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn) A 型臺(tái)燈 x 盞,則 B 型臺(tái)燈為(100- x )盞 . 根據(jù)題意得, 30x + 50 (100 - x ) = 3500 ,解得 x = 75 ,所以, 100 - 75 = 25.答:應(yīng)購(gòu)進(jìn) A 型臺(tái)燈 75 盞, B 型臺(tái)燈 25 盞.(2)設(shè)商場(chǎng)銷售完這批臺(tái)燈可獲利y 元,則 y = (45 - 30 ) x + (70 - 50 )( 100 - x )=15x + 200

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