第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分-數(shù)值分析

1、第四章第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分 /* Numerical Integration and differentiation*/近似計(jì)算近似計(jì)算 badxxfI)(1 引言引言 對對f( )采用不同的近似計(jì)算方法，從而得到各采用不同的近似計(jì)算方法，從而得到各種不同的求積公式。種不同的求積公式。 以上三種方法都是用被積函數(shù)值的以上三種方法都是用被積函數(shù)值的線性組合線性組合來表示積來表示積分值分值。推廣，一般地有推廣，一般地有0( )()nbkkakf x dxA f x求積節(jié)求積節(jié)點(diǎn)點(diǎn)求積系數(shù)，與被求積系數(shù)，與被積函數(shù)無關(guān)積函數(shù)無關(guān)像這樣，將積分用若干節(jié)點(diǎn)上被積函數(shù)值的像這樣，將

2、積分用若干節(jié)點(diǎn)上被積函數(shù)值的線性組合線性組合來表示來表示的數(shù)值積分公式稱為的數(shù)值積分公式稱為機(jī)械求積公式機(jī)械求積公式。0 ( )()nbkkakR ff x dxA f x 求積誤差求積誤差 機(jī)械型求積公式的構(gòu)造歸結(jié)為，確定求積節(jié)點(diǎn)機(jī)械型求積公式的構(gòu)造歸結(jié)為，確定求積節(jié)點(diǎn)xk和求積系和求積系數(shù)數(shù)Ak，使在某種意義下精確度較高?？傊?，要解決三個問，使在某種意義下精確度較高。總之，要解決三個問題：題：1. 精確度的度量標(biāo)準(zhǔn)；精確度的度量標(biāo)準(zhǔn)；2. 如何構(gòu)造具體的求積公式；如何構(gòu)造具體的求積公式；3. 具體求積公式構(gòu)造出來后，誤差如何估計(jì)？具體求積公式構(gòu)造出來后，誤差如何估計(jì)？定義：定義：代數(shù)精度代

3、數(shù)精度若某個求積公式對次數(shù)若某個求積公式對次數(shù) m 階階的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，而對的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，而對m+1 階階的多項(xiàng)式不一定準(zhǔn)確成立。即對應(yīng)的誤差滿足：的多項(xiàng)式不一定準(zhǔn)確成立。即對應(yīng)的誤差滿足：R Pk =0 對對任意任意 k m 階階的多項(xiàng)式成立，且的多項(xiàng)式成立，且 R Pm+1 0 對對某某個個 m+1 階多項(xiàng)式成立，則稱此求積公式的階多項(xiàng)式成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度代數(shù)精度為為 m 。代數(shù)精度與誤差的關(guān)系代數(shù)精度與誤差的關(guān)系：代數(shù)精度越高，求積誤差越小。：代數(shù)精度越高，求積誤差越小。結(jié)論：結(jié)論：問題問題1由上面代數(shù)精度條件確定求積公式可分兩種情形：由上面代數(shù)精度條件確定求積公式可分

4、兩種情形：1. 若事先給定求積節(jié)點(diǎn)若事先給定求積節(jié)點(diǎn)xk(k=0,n),例如被積函數(shù)以表的形式例如被積函數(shù)以表的形式給出時(shí)給出時(shí)xk確定，可令確定，可令m=n,由上式確定由上式確定n+1個系數(shù)個系數(shù)Ak即可即可-待定系數(shù)法和插值法待定系數(shù)法和插值法。2. 若若xk和和Ak都可選擇，令都可選擇，令m=2n +1，確定，確定xk和法和法Ak -Gauss法法要使求積公式具有要使求積公式具有m階代數(shù)精度，則它對階代數(shù)精度，則它對1,x,xm均準(zhǔn)確成立，均準(zhǔn)確成立，即即02201101211nkknkkknmmmkkkAbaA xbaA xbamm+1個方程，個方程，2n+2個未知數(shù)個未知數(shù)問題問題2

5、Case 1-方法方法11 插值型求積插值型求積 公式公式思思路路利用利用插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 則積分易算。則積分易算。)()(xfxPn 在在a, b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值次插值多項(xiàng)式多項(xiàng)式 ，即得到，即得到 nkkknxlxfxL0)()()( babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak bakjxxxxkdxAjkj)()(由由 決定，決定，與與 無關(guān)。無關(guān)。節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) f (x)插值型積分公式插值型積分公式/*interpolatory quadrature*/ bankkxnbanbanbankkkdxxxnfdxxRdxxLxfx

6、fAdxxffR0)1(0)()!1()()()()()()( 誤差誤差Case 1-方法方法21 Newton-Cotes Formulae例：例：對于對于a, b上上1次插值，有次插值，有)()()(1bfafxLabaxbabx )()()(2221bfafdxxfAAabbaab 考察其代數(shù)精度?？疾炱浯鷶?shù)精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式梯形公式/* trapezoidal rule*/解：解：逐次檢查公式是否精確成立逐次檢查公式是否精確成立代入代入 P0 = 1： baabdx111 2 ab=代入代入 P1 = x ：=代入代入 P2 = x2 ： 222abbadxx

7、2baab 3233abbadxx 222baab 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 11 Newton-Cotes FormulaeTh1.形如形如 的求積公式至少有的求積公式至少有 n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度 該該公式為公式為插值型插值型（即：（即： ） nkkkxfA0)( bakkdxxlA)( 當(dāng)節(jié)點(diǎn)當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距分布等距分布時(shí)：時(shí)：ninabhhiaxi,., 1, 0, dxxxxxAnxxijjiji 0)()( njiinnjidtjtininabdthhjihjt00)()!( !)1)()()(令令htax Cotes系數(shù)系數(shù))(niC注：注：Cotes 系數(shù)僅取決于系數(shù)僅取決于 n 和和

8、 i，可查表得到。與可查表得到。與 f (x) 及區(qū)及區(qū)間間a, b均無關(guān)。均無關(guān)。 2 Newton-Cotes 公式公式( )00( )()nbnkakf x dxbaCf xkhNewtonCotes formula1 Newton-Cotes Formulae21,21)1(1)1(0 CCn = 1:)()(2)(bfafabdxxfba Trapezoidal RuledxbxaxffRbax)(!2)( /* 令令 x = a+th, h = b a, 用中用中值定理值定理 */1, , )(1213abhbafh 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1n = 2:61,32,61)2(2)2

9、(1)2(0 CCC)()(4)(6)(2bffafabdxxfbaba Simpsons Rule代數(shù)精度代數(shù)精度 = 32,),(,)(901)4(5abhbafhfR n = 4: Cotes Rule, 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 5,)(9458)6(7 fhfR 01234( )7 () 32 ( ) 12 () 32 ( )7 ()90bab af x dxf xf xf xf xf x偶數(shù)階偶數(shù)階N-C公式具公式具有有n+1階代數(shù)精度階代數(shù)精度n = 3: Simpsons 3/8-Rule, 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 3,)(803)5(5 fhfR 對稱節(jié)點(diǎn)的系數(shù)相同對稱節(jié)點(diǎn)的系數(shù)相

10、同Cotes公式是公式是用不同節(jié)點(diǎn)用不同節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值的函數(shù)值（高度）的（高度）的加權(quán)平均來加權(quán)平均來近似區(qū)間的近似區(qū)間的平均高度平均高度注：當(dāng)注：當(dāng)n 8時(shí)，時(shí)，Cotes系數(shù)有負(fù)，造成公式不穩(wěn)定，因此常用系數(shù)有負(fù)，造成公式不穩(wěn)定，因此常用低階低階Cotes公式。公式。(1)0020000/22/20( ) ()()(1)!, () even, /2 integer, let /2, we have (/2)nnnbbxkkaakknnnkknnnnkfR fx x dxx x dxnxxjh xxthR fht k dtnntu nR fhu nk du 證明：只需證明n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，

11、 N-C公式對公式對f(x)=xn+1的余項(xiàng)的余項(xiàng)R(f)=0即可。即可。因因 f(n+1)(x)=(n+1)!, 由余項(xiàng)公式得由余項(xiàng)公式得Th2. n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí)， N-C公式至少具有公式至少具有n+1階代數(shù)精度。階代數(shù)精度。00/20/2/2/21/2/2/2/2/2/2 ( )(/2)(/2)(/2) ( /2)()1( )( ) odd 0.nnkknnkjnnnnjnjnnnjnjnlet H uunkuknuknujlet jknHuujujujujH uH uR f 注：當(dāng)注：當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，Cotes公式具有公式具有n+1階精度，與階精度，與n+1階階Cotes公

12、式精度相同，但少計(jì)算一個節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，公式精度相同，但少計(jì)算一個節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，因此一般常用偶數(shù)階因此一般常用偶數(shù)階Cotes公式。公式。偶數(shù)階偶數(shù)階N-C公式具公式具有有n+1階代數(shù)精度階代數(shù)精度N-C公式具有公式具有n階代數(shù)精度階代數(shù)精度余項(xiàng)余項(xiàng)R=o(h n+2)Hint：construct a interpolation polynomial of order 5, H(x), satisfying H(a)=f(a), H(b)=f(b), H (k)(a+b)/2) = f (k)(a+b)/2).數(shù)值穩(wěn)定性的一般概念數(shù)值穩(wěn)定性的一般概念N-C的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性3 復(fù)化求積復(fù)化求積

13、 /* Composite Quadrature */高次插值有高次插值有Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 復(fù)化復(fù)化求積公式。求積公式。 復(fù)化梯形公式：復(fù)化梯形公式：),., 0(,nkhkaxnabhk 在每個在每個 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,., 1,)()(2)(111 bankkkxfxfhdxxf11)()(2)(= Tn),(),()(12)()(12)(1221213bafabhnfabhfhfRnkknkk /*中值定理中值定理*/2 C

14、omposite Quadrature 復(fù)化復(fù)化 Simpson 公式：公式：),., 0(,nkhkaxnabhk )()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444 )()(2)(4)(6)(1010121 nknkkkbabfxfxfafhdxxf= Sn)(2180)4(4 fhabfR 注：注：為方便編程，可采用另一記法：令為方便編程，可采用另一記法：令 n = 2n 為偶數(shù)，為偶數(shù)， 這時(shí)這時(shí) ，有，有hkaxhnabhk ,2 )()(2)(4)(3 koddkevenkknbfxfxfafhS2 Composite Quadrat

15、ure 收斂速度與誤差估計(jì)：收斂速度與誤差估計(jì)：定義定義 若一個復(fù)化積分公式的誤差滿足若一個復(fù)化積分公式的誤差滿足 且且C 0，則則稱該公式是稱該公式是 p 階收斂階收斂的。的。 ChfRphlim0321012: ()()1212 11( )( )( )1212nnkkkkbahhR ffhfR ffx dxfbfah 復(fù)化梯形公式/*中值定理中值定理*/類似的，可得類似的，可得44(5)(5)66 1:( )( )1802 2:( )( )9454R ffbfahR ffbfah 復(fù)化Simpson公式復(fù)化Cotes公式2階收斂階收斂4階收斂階收斂6階收斂階收斂例例1：計(jì)算計(jì)算dxx 10

16、142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.138988494 )1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk 其中其中= 3.141592502運(yùn)算量基運(yùn)算量基本相同本相同Q: 給定精度給定精度 ，如何取，如何取 n ?例如：要求例如：要求 ，如何判斷，如何判斷 n = ？ |nTI2 ( )( )12hR ffbfa 上例中若要求上例中若要求 ，則，則610| nTI622106| )0() 1 (|12| | hffhfRn00244949.0 h即：取即：取 n = 4092 Composite Quadrature

17、事后誤差估事后誤差估計(jì)式，可用計(jì)式，可用來判斷迭代來判斷迭代是否停止。是否停止。始步長始步長h0.5 10-23 龍貝格龍貝格積分積分 /* Romberg Integration */復(fù)化梯形公式算法簡單，但精度較差，收斂速度（復(fù)化梯形公式算法簡單，但精度較差，收斂速度（2階收斂）階收斂）較慢，如何提高收斂速度？較慢，如何提高收斂速度？注：按上面規(guī)律，可以構(gòu)造線性組合系數(shù)為注：按上面規(guī)律，可以構(gòu)造線性組合系數(shù)為的新的積分公式，但當(dāng)?shù)男碌姆e分公式，但當(dāng)m 4時(shí)，前一個系數(shù)接近于時(shí)，前一個系數(shù)接近于1，后一個，后一個系數(shù)接近于系數(shù)接近于0，這樣構(gòu)造出的新公式與前一個公式結(jié)果差別不，這樣構(gòu)造出的新

18、公式與前一個公式結(jié)果差別不大，反而增加計(jì)算量，因此實(shí)際上常做到大，反而增加計(jì)算量，因此實(shí)際上常做到Romberg公式為止。公式為止。41,41 41mmm例：例：計(jì)算計(jì)算dxx 10142 已知對于已知對于 = 10 6 須將區(qū)間對分須將區(qū)間對分 9 次，得到次，得到 T512 = 3.14159202由由 來計(jì)算來計(jì)算 I 效果是否好些？效果是否好些？nnnnTTTTI313414422 考察考察412 nnTITI483134TT = 3.141592502 = S4一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323Romberg 序列序列 Romberg 算法：算法： ? ? 0, k=0,1,n定理定理()()22202:( )( )2( )( ), ( )( )0jkjx xkxxj kknbki kikikiaibkkaproofl xGaussLagrangel xnl x dxAl xl x