數(shù)學(xué)公式集錦

1、數(shù)學(xué)公式集錦1和差倍問(wèn)題 和差問(wèn)題：（ 和差 ） ÷2=較小數(shù) 較小數(shù)差 =較大數(shù) 和較小數(shù) =較大數(shù)（ 和差 ） ÷2=較大數(shù)較大數(shù)差 =較小數(shù)和較大數(shù) =較小數(shù) 和倍問(wèn)題和÷（ 倍數(shù) 1）=小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù) =大數(shù) 和小數(shù) =大數(shù) 差倍問(wèn)題差÷（ 倍數(shù)-1）= 小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù) =大數(shù) 小數(shù)差 =大數(shù)2年齡問(wèn)題的三個(gè)基本特征： 兩個(gè)人的年齡差是不變的； 兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的； 兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3歸一問(wèn)題的基本特點(diǎn)：?jiǎn)栴}中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單 一量”，題目一般用“照這樣的速度”等 詞語(yǔ)來(lái)表示

2、。關(guān)鍵問(wèn)題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4 植樹(shù)問(wèn)題兩大基本類(lèi)型：（1）非封閉線(xiàn)上植樹(shù) 在直線(xiàn)或者不封閉的曲線(xiàn)上植樹(shù)，兩端 都植樹(shù)；棵數(shù) =段數(shù) 1棵距×段數(shù) =總長(zhǎng) 在直線(xiàn)或者不封閉的曲線(xiàn)上植樹(shù)，兩端 都不植樹(shù)；棵數(shù) =段數(shù) 1 棵距×段數(shù) =總長(zhǎng) 在直線(xiàn)或者不封閉的曲線(xiàn)上植樹(shù)，只有 一端植樹(shù)；棵數(shù) =段數(shù)棵距×段數(shù) =總長(zhǎng)2）封閉線(xiàn)上植樹(shù)棵數(shù) =段數(shù)棵距×段數(shù) =總長(zhǎng)關(guān)鍵問(wèn)題：確定所屬類(lèi)型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān) 系5 雞兔同籠問(wèn)題基本概念： 雞兔同籠問(wèn)題又稱(chēng)為置換問(wèn)題、 假設(shè)問(wèn)題， 就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái)；基本思路： 假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)

3、象存在（甲和乙一 樣或者乙和甲一樣）： 假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差， 找出這個(gè)差是多少； 每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出 出現(xiàn)這個(gè)差的原因； 再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出 現(xiàn)的差?；竟剑喊阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)（兔腳數(shù)×總頭數(shù)總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)雞腳數(shù)） 把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)（總腳數(shù) 一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問(wèn)題： 找出總量的差與單位量的差6盈虧問(wèn)題基本概念 ： 一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生 一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種 結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同， 造成結(jié)果的差異， 由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)

4、或?qū)ο蟮目?量?；舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo) 準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出 參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的 總量?；绢}型：一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）÷兩次每份數(shù) 的差當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次 每份數(shù)的差 當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷ 兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn) ： 對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問(wèn)題： 確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。7 周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，某些特征有規(guī) 律循環(huán)出現(xiàn)。周期： 我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)

5、所經(jīng)過(guò)的時(shí)間 叫周 期。關(guān)鍵問(wèn)題： 確定循環(huán)周期。閏 年：一年有 366 天；年份能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，則年份必須能被 400 整除；平 年：一年有 365 天。年份不能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，但不能被 400 整除；牛吃草問(wèn)題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“ 1”份，根據(jù)兩 次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找 出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速 度和總草量?；咎攸c(diǎn)： 原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的；關(guān)鍵問(wèn)題： 確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L(zhǎng)量 =（較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù) - 較短 時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)）÷（長(zhǎng)

6、時(shí)間 - 短時(shí)間）；總草量 =較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù) - 較長(zhǎng)時(shí) 間×生長(zhǎng)量；9平均數(shù)基本公式：平均數(shù) =總數(shù)量÷總份數(shù) 總數(shù)量 =平均數(shù)×總份數(shù) 總份數(shù) =總數(shù)量÷平均數(shù)平均數(shù) =基準(zhǔn)數(shù)每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差 的和÷總份數(shù)基本算法：求總數(shù)量以及總份數(shù)：利用基本公式進(jìn)行計(jì)算基準(zhǔn)數(shù)法 ：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn) 數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù) 為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與 基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些 差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù) 的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見(jiàn)基本公 式。10抽

7、屜原理抽屜原則一：如果把（n+1）個(gè)物體放在 n 個(gè)抽屜里， 那 么必有一個(gè)抽屜中至少放有 2 個(gè)物體。例：把 4 個(gè)物體放在 3 個(gè)抽屜里，也就是 把 4 分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種 情 況 ： 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 觀察上面四種放物體的方式，我們 會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有 2 個(gè)或多于 2 個(gè)物體，也就是說(shuō)必有一個(gè)抽屜 中至少放有 2 個(gè)物體。抽屜原則二：如果把 n 個(gè)物體放在 m 個(gè)抽屜里，其中 n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有 : k=n/m +1 個(gè)物體：當(dāng) n 不能被 m整除時(shí)。 k=n/m個(gè)物體：當(dāng) n 能被

8、 m整除時(shí)。理解知識(shí)點(diǎn)：X 表示不超過(guò) X 的最大整數(shù)。 例4.351=4 ； 0.321=0 ；2.9999=2 ；關(guān)鍵問(wèn)題 ：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和 抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。11定義新運(yùn)算基本概念 ：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符 號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算?；舅悸罚簢?yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù) 代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本 運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問(wèn)題： 正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)： 新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注 意運(yùn)算順序。每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使12數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差

9、是一定 的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉?xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)；項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差；通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式；數(shù)列的和 ： 這一數(shù)列全部數(shù)字的和基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量： 首項(xiàng)，末項(xiàng)，公 差，項(xiàng)數(shù)，總和, 通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量， 如果 己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中 涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這 第四個(gè)?；竟剑喉?xiàng)數(shù)=（末項(xiàng) - 首項(xiàng)）÷公差 1； 數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷ 2； 公差 =（末項(xiàng)首項(xiàng)）÷（項(xiàng)數(shù) 1）； 通項(xiàng)（末項(xiàng)）首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)一 1） ×

10、 公 差；首項(xiàng)=末項(xiàng) - 公差×（項(xiàng)數(shù) -1）關(guān)鍵問(wèn)題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；13二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制：用 0 9 十個(gè)數(shù)字表示，逢 10 進(jìn) 1； 不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2 表 示 20， 百 位 上 的 2 表 示 200。 所 以 234=200+30+4=2102+310+。4 =An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+A n-410n-5+An-610n- 7+ +A3102+A2101+A110 0注意： N0=； N=N（其中 N是任意自然數(shù)） 二進(jìn)制：用 01 兩個(gè)數(shù)字表示，逢 2 進(jìn) 1；不 同數(shù)位

11、上的數(shù)字表示不同的含義。（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n -5+An-62n-7+ +A322+A221+A120注意： An 不是 0 就是 1。 十進(jìn)制化成二進(jìn)制： 根據(jù)二進(jìn)制滿(mǎn) 2 進(jìn) 1 的特點(diǎn)，用 2 連續(xù)去除 這個(gè)數(shù)，直到商為 0，然后把每次所得的余數(shù) 按自下而上依次寫(xiě)出即可。 先找出不大于該數(shù)的 2 的 n 次方，再求它們 的差，再找不大于這個(gè)差的 2 的 n 次方，依此 方法一直找到差為 0，按照二進(jìn)制展開(kāi)式特點(diǎn)即可寫(xiě)出。14加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有 n 類(lèi)方法， 在第一類(lèi)方法中有 m1種不同方

12、法，在第二類(lèi)方 法中有 m2種不同方法，在第 n 類(lèi)方法中有 mn 種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有： m1+ m2 +mn 種不同的方法。關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的分類(lèi)方法。 基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成 n 個(gè)步驟進(jìn)行，做第 1 步有 m1種方法，不管第 1 步用哪一種方法， 第 2 步總有 m2種方法不 管前面 n-1 步用哪種方法，第 n 步總有 mn種方 法，那么完成這件任務(wù)共有： m1×m2×mn種不同的方法。關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的完成步驟。基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分直線(xiàn)：一點(diǎn)在直線(xiàn)或空間沿一定方向或相 反方向運(yùn)動(dòng)，形成

13、的軌跡。直線(xiàn)特點(diǎn)：沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度。 線(xiàn)段：直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn) 叫端點(diǎn)。線(xiàn)段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。射線(xiàn)：把直線(xiàn)的一端無(wú)限延長(zhǎng)。 射線(xiàn)特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒(méi)有長(zhǎng)度。數(shù)線(xiàn)段規(guī)律：總數(shù) 1+2+3+（點(diǎn)數(shù)一 1）；數(shù)角規(guī)律 =1+2+3+（射線(xiàn)數(shù)一 1）； 數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線(xiàn)段數(shù)×寬的線(xiàn)段 數(shù)： 數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù) =1×1+2×2+3×3+ 行數(shù)×列數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身之外，沒(méi)有別的 約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身之外，還有別的 約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果

14、某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么 這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示 出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì) 因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一 的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式： N=，其中 a1、a2、 a3 an 都 是 合 數(shù) N 的 質(zhì) 因 數(shù) ， 且 a1<a2<a3< <an。 求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式： P=(r1+1) ×(r2+1) ×(r3+1) ×× (rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是 1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)： 若整數(shù) a 能夠被 b 整除，a

15、叫做 b 的倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最 大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的 幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公 約數(shù)的約數(shù)。4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù) m，所得的積的 最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如： 12 的約數(shù)有 1、2、3、4、6、12；18 的約數(shù)有：那么 12 和 1那么 12 和 118)=6；1、2、 3、6、9、18； 的公約數(shù)有： 1、2、 3、6； 最大的公約數(shù)是： 6，記作(

16、 12，求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法： 先分解質(zhì)因數(shù)， 然后把相同 的因數(shù)連乘起來(lái)。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘 3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除， 能夠整除的那個(gè)余數(shù)， 就是所求的最大公約數(shù) 公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最 小公倍數(shù)。12 的倍數(shù)有：12、24、36、18 的倍數(shù)有：36、54、72那么 12 和 1的公倍數(shù)有：36、72、1039那么 12 和 18 最小的公倍數(shù)是 36，記作 12 ，18=36；最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的 倍數(shù)。2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的

17、乘積等于 這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法： 1、短除法求最小公倍數(shù)； 2、分解質(zhì)因數(shù)的方法 17數(shù)的整除一、基本概念和符號(hào)：1、整除：如果一個(gè)整數(shù) a，除以一個(gè)自然數(shù) b， 得到一個(gè)整數(shù)商 c，而且沒(méi)有余數(shù)， 那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，記作 b|a 。2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“ | ”，不能整除符號(hào) “”；因?yàn)榉?hào)“”，所以的符號(hào)“”；二、整除判斷方法：1. 能被 2、5 整除：末位上的數(shù)字能被 2、5 整除。2. 能被 4、25 整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 4、25 整除3.能被 8、125 整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 8、125 整除4. 能被 3、9

18、 整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9 整除。5. 能被 7 整除： 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù) 字所組成數(shù)之差能被 7 整除。 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的 2倍后能被 7 整除。6. 能被 11 整除： 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù) 字所組成的數(shù)之差能被 11 整除。 奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差 能被 11 整除。 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能 被 11 整除。7. 能被 13 整除： 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù) 字所組成的數(shù)之差能被 13 整除。 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的 9 倍后能被 13 整除。三、整除的性質(zhì)：

19、1. 如果 a、b 能被 c 整除，那么（a+b）與（a-b ） 也能被 c 整除。2. 如果 a 能被 b 整除，c 是整數(shù)，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3. 如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4. 如果 a 能被 b、 c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍數(shù)整除。余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對(duì)任意自然數(shù) a、b、q、r ，如果使 得 a÷b=q r ，且 0<r<b, 那么 r 叫做 a 除以 b 的余數(shù)， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。 余數(shù)的性質(zhì)： 余數(shù)小于除數(shù)。 若 a、b除以 c 的余數(shù)相同，

20、則 c|a-b 或 c|b-a 。 a與 b 的和除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c 的余 數(shù)加上 b 除以 c 的余數(shù)的和除以 c 的余數(shù)。 a與 b 的積除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c 的余 數(shù)與 b 除以 c 的余數(shù)的積除以 c 的余數(shù)。 19余數(shù)、同余與周期一、同余的定義： 若兩個(gè)整數(shù) a、b 除以 m的余數(shù)相同，則稱(chēng) a、 b 對(duì)于模 m同余。已知三個(gè)整數(shù) a、b、m，如果 m|a-b ，就稱(chēng) a、 b 對(duì)于模 m同余，記作 ab(mod m)，讀作 a 同余于 b模 m。二、同余的性質(zhì)：自身性： aa(mod m)；對(duì)稱(chēng)性：若 ab(mod m)，則 ba(mod m)； 傳遞

21、性：若 ab(mod m)，bc(mod m)，則 a c(mod m) 和差性：若 ab(mod m)，cd(mod m)，則 a+cb+d(mod m)， a- cb-d(mod m)； 相乘性：若 a b(mod m)，cd(mod m)， 則 a×c b ×d(mod m)；乘方性：若 ab(mod m)，則 anbn(mod m)； 同倍性 :若 a b(mod m)，整數(shù) c，則 a×c b×c(mod m×c)；三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：若 A=a×b，則 MA=M×a b=( Ma)b若 B=c+d則 MB=M

22、c+d=M×cMd四、被 3、9、11除后的余數(shù)特征：一個(gè)自然數(shù) M，n表示 M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的 和，則 Mn(mod 9) 或(mod 3)； 一個(gè)自然數(shù) M，X表示 M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字 的和，Y 表示 M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則 MY-X 或 M11- （X-Y）（mod 11） ；五、費(fèi)爾馬小定理：如果 p 是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a 是自然數(shù)，且 a 不能被 p 整除，則 ap- 11（mod p）。20分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 基本概念與性質(zhì)： 分?jǐn)?shù)：把單位“ 1”平均分成幾份， 表示這樣的 一份或幾份的數(shù)。 分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除 以相同的數(shù)（ 0 除外），分

23、數(shù)的大小不變。 分?jǐn)?shù)單位：把單位“ 1”平均分成幾份， 表示這 樣一份的數(shù)。 百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。 常用方法： 逆向思維方法：從題目提供條件的反方向 （或 結(jié)果）進(jìn)行思考。對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所 占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。 轉(zhuǎn)化思維方法：把一類(lèi)應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類(lèi) 應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn) 換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般 指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的 分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。 假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題 目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況 成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整， 求出

24、最后結(jié)果。 量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總 有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而 這個(gè)量是始終固定不變的。 有以下三種情況：A、 分量發(fā)生變化，總量不變。 B、總量發(fā)生變化， 但其中有的分量不變。 C、總量和分量都發(fā)生變 化，但分量之間的差量不變化。 替換思維方法：用一種量代替另一種量，從 而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。 同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化 的規(guī)律進(jìn)行處理。 濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生 變化的狀況。21分?jǐn)?shù)大小的比較基本方法： 通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù) 同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。 通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù) 同分

25、母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。 基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都 和它進(jìn)行比較。 分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差 一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。 倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變 化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以 用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。 （具體運(yùn) 用見(jiàn)同倍率變化規(guī)律） 轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求 出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。 倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果 得數(shù)和 1 進(jìn)行比較。 大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)， 得出的數(shù)和 0 比較。 倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定 原數(shù)的大小。 基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)

26、 與基準(zhǔn)數(shù)比較。22分?jǐn)?shù)拆分一、 將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公 式： =+ ；=+（ d 為自然數(shù)）；23完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：1. 末位數(shù)字只能是： 0、1、4、5、6、9；反之 不成立。2. 除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3. 除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4. 約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成 立。6. 奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)； 偶數(shù)平方個(gè)位數(shù) 字是偶數(shù)。7. 兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方 數(shù)。平方差公式： X2-Y2=（X-Y）（X+Y） 完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式：（X-

27、Y）2=X2-2XY+Y2 24比和比例 比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的 數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。 比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。 比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相 同的數(shù)（零除外），比值不變。比例： 表 示兩個(gè) 比 相等的 式 子叫做 比 例。 a:b=c:d 或 比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積 （ 交叉 相乘） ，ad=bc。正比例：若 A 擴(kuò)大或縮小幾倍， B 也擴(kuò)大或縮 小幾倍（ AB的商不變時(shí)），則 A 與 B 成正比。 反比例：若 A 擴(kuò)大或縮小幾倍， B 也縮小或擴(kuò) 大幾倍（ AB的積不變時(shí)），則 A與 B成反比。 比例尺：圖上距離與

28、實(shí)際距離的比叫做比例尺。 按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份， 叫按比例分配。25綜合行程 基本概念：行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研 究的是物體速度、 時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系 . 基本公式：路程 =速度×時(shí)間；路程÷時(shí)間 =速 度；路程÷速度 =時(shí)間 關(guān)鍵問(wèn)題：確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置和方向。 相遇問(wèn)題： 速度和×相遇時(shí)間 =相遇路程（請(qǐng)寫(xiě) 出其他公式） 追及問(wèn)題：追及時(shí)間路程差÷速度差（寫(xiě)出 其他公式）流水問(wèn)題：順?biāo)谐?=（船速 +水速）×順?biāo)畷r(shí) 間逆水行程 =（船速 - 水速）×逆水時(shí)間順?biāo)俣?=船速 +水速逆水速

29、度 =船速 - 水速靜水速度 =（順?biāo)俣?+逆水速度）÷2 水 速=（順?biāo)俣?- 逆水速度）÷2 流水問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參 照以上公式。過(guò)橋問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參 照以上公式。主要方法：畫(huà)線(xiàn)段圖法 基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程） 、 時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間） 、速度（速度和、 速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。26工程問(wèn)題基本公式：工作總量 =工作效率×工作時(shí)間工作效率 =工作總量÷工作時(shí)間 工作時(shí)間 =工作總量÷工作效率基本思路：假設(shè)工作總量為“ 1”（和總工作量無(wú)關(guān)） ； 假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們 完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)） ，利用上 述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率 及工作時(shí)間 . 關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率 間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。 經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)評(píng)：合久必分，分久必合。 27邏輯推理 基本方法簡(jiǎn)介： 條件分析假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種 成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題 設(shè)條件矛盾的情況，說(shuō)明該假設(shè)情況是不成立 的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假 設(shè) a 是偶數(shù)成立，在判斷過(guò)程中出現(xiàn)了矛盾， 那么 a 一定是奇數(shù)。 條件分析列