將軍飲馬問(wèn)題

1、肇莆第一講將軍飲馬問(wèn)題蟆m學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥筮一、主要內(nèi)容(1)將軍飲馬問(wèn)題的概念。(2)(3)蒂將軍飲馬問(wèn)題在坐標(biāo)系、一次函數(shù)、三角形、正方形中的應(yīng)用。(4)(5)蟆將軍飲馬問(wèn)題與勾股定理。艘二、本章重點(diǎn) 掌握將軍飲馬問(wèn)題的概念和解題思路，能解決將軍飲馬問(wèn)題和一次函 數(shù)、坐標(biāo)系、幾何圖形和勾股定理等的綜合習(xí)題。蔻工課前預(yù)習(xí)蔽軸對(duì)稱的性質(zhì)與作法；一次函數(shù)的性質(zhì)；勾股定理的性質(zhì)；三角形、矩形、正方形的 性質(zhì)；三角形的三邊關(guān)系、平移的性質(zhì)。吸夬精講、信將軍飲馬問(wèn)題的概念和基本思路膈起源：古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，有位將 軍不遠(yuǎn)千里專程前來(lái)向海倫求教一個(gè)百思不得其解

2、的問(wèn)題：蟻如圖，有一位將軍從位于 A點(diǎn)的軍營(yíng)，返回位于 B點(diǎn)的家中，途中需要到達(dá)一條小 河MN邊，讓馬去河里喝水。那么，該如何選擇路徑，才能使將軍回家的過(guò)程中，走 過(guò)的路程最短？覆精通數(shù)理的海倫稍加思索，便作了完善的回答。這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被人們稱作“將軍飲馬”問(wèn)題。期初一看，這個(gè)問(wèn)題好像沒(méi)有什么思路，那我們先把問(wèn)題的概念轉(zhuǎn)換一下。這個(gè)問(wèn)題中A點(diǎn)和B點(diǎn)在河MN勺同一側(cè)，那么，如果 A點(diǎn)和B點(diǎn)在河MN的不同側(cè)呢?肆這時(shí)我們好像有一點(diǎn)眉目了，我們要利用的定理就是：兩點(diǎn)之間直線最短，先找線路再找點(diǎn)。腿那我們?cè)倩氐阶铋_(kāi)始時(shí)的問(wèn)題，是不是有了啟發(fā)呢？腿思路：為了找線路，可以利用軸對(duì)稱的原理，先做對(duì)稱，再轉(zhuǎn)化成

3、三角形的三 邊關(guān)系。肇例1,如圖，一匹馬從 S點(diǎn)出發(fā)，先去河 OP邊喝水，再去草地 OQ吃草，然后再回到S點(diǎn)。該如何選擇線路，使得經(jīng)過(guò)的總路程最短?芍OQx著草地OM羈例1圖例2圖三、四、袈將軍飲馬與坐標(biāo)系螃例2,已知A(2,3)、B(3,2)可是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AN+NM+BM 的最小值，并求出此時(shí)M N的坐標(biāo)。筮思路：作對(duì)稱序兩段折線一作一次對(duì)稱一轉(zhuǎn)化折線it三段折線一作兩次對(duì)稱一轉(zhuǎn)化折線菜連線段一最小值聿例 3,已知 A(-3,4)、B(-2,-5) 、M(0,m)、N(0,m+1),求 BM+MN+AN最小值，并求此 時(shí)對(duì)應(yīng)的m的值。賺運(yùn)用平移的性質(zhì)荽例4,已

4、知A(4,1)、B(-3,-2)，試在x軸上找一點(diǎn) C,是|AC-BC|最大，求出點(diǎn) C的坐 標(biāo)和這個(gè)最大值。裂構(gòu)造三角形，運(yùn)用三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系五、六、膈將軍飲馬問(wèn)題解題思路的歸納范學(xué)習(xí)了幾個(gè)常見(jiàn)的例子，我們?cè)賮?lái)整理一下思路?？剖紫让靼讕讉€(gè)概念， 動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)一般就是題目中的所求點(diǎn)，即那個(gè)不定的點(diǎn)。定點(diǎn)即為題目中固定的點(diǎn)。對(duì)稱的點(diǎn)，作圖所得的點(diǎn)，需要連線的點(diǎn)。薄1.怎么對(duì)稱，作誰(shuí)的對(duì)稱？袂簡(jiǎn)單說(shuō)所有題目需要作對(duì)稱的點(diǎn)，都是題目的定點(diǎn)?；蛘哒f(shuō) 只有定點(diǎn)才可以去作 對(duì)稱的。(不確定的點(diǎn)作對(duì)稱式?jīng)]有意義的)那么作誰(shuí)的對(duì)稱點(diǎn)？ 首先要明確關(guān)于對(duì) 稱的對(duì)象肯定是一條線，而不是一個(gè)點(diǎn)。 那么是

5、哪一條線? 一般而言都是動(dòng)點(diǎn)所在直線。方2.對(duì)稱完以后和誰(shuí)連接?羋一句話：和另外一個(gè)頂點(diǎn)相連。絕對(duì)不能和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)相連。明確一個(gè)概念：定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也是一個(gè)定點(diǎn)。肅3.所求點(diǎn)怎么確定?蟻首先一定要明白， 所求點(diǎn)最后反應(yīng)在圖上一定是個(gè)交點(diǎn)。實(shí)際就是我們 所畫(huà)直線和已知直線的交點(diǎn)。展4.將軍飲馬一定是求最短距離嗎？去肯定不是。或者說(shuō)求最短距離是將軍飲馬中的最簡(jiǎn)單一類題目。根據(jù)將軍飲馬的 基本模型可以拓展出很多題型。根本原因是因?yàn)樵谧鬏S對(duì)稱過(guò)程中不但是作了點(diǎn)的對(duì) 稱，還作了邊長(zhǎng)和角度的對(duì)稱！或者說(shuō)邊長(zhǎng)和角度的對(duì)稱才是最關(guān)鍵 。七、八、嵋將軍飲馬與勾股定理妨例5,如圖，將軍的軍營(yíng)在 A處，與河岸白距離 O

6、A=4km將軍的家在B處。且QA=7kmQB=8km他下班回家的路上先把馬牽到小河邊去飲水，然后再回到家中，求他下班回 家要走的最短路程。盆O小河藏A?B薄QB仞5圖例6圖OAAQ腿例6,如圖，/ POQ=20 , A為OQ±的點(diǎn)，B為OP上的點(diǎn)，且 OA=1, OB=2 在OB上取點(diǎn)Ai,在OQ上取點(diǎn)外,求AA+AA+AB的最小值。肄例7, /AOB=45 , P是/AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=1Q Q R分別是 OA OB上的動(dòng)點(diǎn)， 求 PQRW長(zhǎng)的最小值。九、十、節(jié)三角形、正方形中的將軍飲馬蝕例8,如圖，在等邊 ABC中，AB=6, AD± BQ E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上

7、的 一點(diǎn)，且 AE=2,求EM+EC勺最小值。薇例8圖例9圖期例9,如圖，在銳角 ABC中，AB=42, / BAC= 45° , / BAC的平分線交 BC于 點(diǎn)D, M N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則 BM+M的最小值是 。輯例10,如圖，正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為8, M在DC上，且DMh 2, N是AC上的一動(dòng) 點(diǎn)，DN+ MN的最小值為。蜜例10圖例11圖踴例11,在邊長(zhǎng)為2 cm的正方形ABC邛，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線 AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接 PR PQ則 PBQW長(zhǎng)的最小值為 cm艘例12, 一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn) A (2, 0) , B

8、(0, 4).肅(1)求該函數(shù)的解析式；神(2) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) OA AB的中點(diǎn)分別為 C D, P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求 PO PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).瞧y+祎例13,如圖，在坐標(biāo)系 xOy中，有一條河，螂河岸分別為x軸和直線MN直線MN y軸的 P衿交點(diǎn)為A(0,2) , P、Q兩地位于河的兩岸，且« P(0,5) > Q(5,-1)。現(xiàn)在需要在河上架一座橋，充(橋必須垂直于河岸),來(lái)溝通P、Q兩地，求MABN 奠橋的端點(diǎn)R C的坐標(biāo)，使得從 P地到Q地的量路程最短。OCx墨總結(jié)：將軍飲馬問(wèn)題=軸對(duì)稱問(wèn)題=最短距離問(wèn)題(軸對(duì)稱是工具，最短距離是 題眼)。薄所

9、謂軸對(duì)稱是工具，即這類問(wèn)題最常用的做法就是作軸對(duì)稱。而最短距離是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“線段a+b的最小值”這樣的條件或者問(wèn)題。一旦出現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問(wèn)題，然后利用軸對(duì)稱解題。芨能將實(shí)際問(wèn)題中的“地點(diǎn)”、“河”、“草地”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”、“線”，把最短路徑問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的線段和最小問(wèn)題，能利用軸對(duì)稱將處在直線同側(cè)的兩點(diǎn)，變?yōu)閮牲c(diǎn)處在直線的異側(cè)，能利用平移將兩條線段拼接在一起，從而轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題，能通過(guò)邏輯推理證明所求距離最短，在探索問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱、平移的作用，體會(huì)感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想蔻課后鞏固習(xí)題第1,已知A(-1,4) ,

10、B(1,1)，在x軸上找一點(diǎn) C,使AC+BCt小。則C點(diǎn)的坐標(biāo)是 , AC+BC勺最小值是。腿2,已知 A(-1,3) , B(-3,1) , M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng) AN+NM+MB 最小時(shí)，M的坐標(biāo)是 , N的坐標(biāo)是 。蠅3,已知 A(-4,4) , B(-1,-3) , M(0,m), N(0,m+1),當(dāng) BM+MN+AN小時(shí)，點(diǎn) M的坐標(biāo) 是,最小值是。滕4,已知A(-4,5) , B(2,-2),在x軸上找一點(diǎn) C,則當(dāng)|AC-BC|最大時(shí)，點(diǎn) C的坐標(biāo)是, 最大值是。膂5,如圖，點(diǎn) A,B位于直線l的同側(cè)，到直線l的距離AC=1Q BD=3Q且CD=3Q在 直

11、線l上找到一點(diǎn) M是AM+B艱短，則最短距離是 。芳BA祎M蜜AP袁直緝4放CDONB交題5圖題6圖蒞6,如圖，/ AOB=45，點(diǎn)P在/AO郎，且OP=3點(diǎn)M,N分別為射線 OA OB上的動(dòng) 點(diǎn)，則 PMN勺周長(zhǎng)的最小值為 。幕7,如圖，/ AOB=40，點(diǎn) P, Q都在/ AOB內(nèi)，/ AOPh BOQ=10 ,且 OP=OQ=6作 點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Pi,作點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)Q,則PiQ=。蠅 OBOB嵋題7圖題8圖褻8,如圖，/ AOB=60，點(diǎn) P, Q都在/ AOB內(nèi)，/ AOP士 BOQ=15 ,且 OP=8 OQ=6 在射線 OA OB上分別存在點(diǎn) M N,是PM+MN+NQ值最小，則最小值是 。螃9,如圖， ABC中,AB=2, / BAC=30 ,若在 AG AB上各取一點(diǎn) M N,使 BM+MN1值最小，則這個(gè)最小值是多少?芾題9圖例10圖崛10,如圖所示，正方形 ABCM面積為12, ABE是等邊三角形，點(diǎn) E在正方形ABCD 內(nèi)，在對(duì)角線 AC上有一點(diǎn)P,使PD+ PE的和最小，則這個(gè)最小值為 。輻11,如圖，若四邊形 ABCD菱形，AB=10cm /ABC=45 , E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PC+PE勺最小值.神12,如圖，在銳角 ABC中，AB=4, / BAC=45 , / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D。M N 分別