動點(diǎn)問題中的最值、最短路徑問題

1、專題01動點(diǎn)問題中的最值、最短路徑問題動點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)階段的難點(diǎn)，它貫穿于整個初中數(shù)學(xué)，自數(shù)軸起始，至幾何圖形的存在性、幾何圖形的長度及面積的最值，函數(shù)的綜合類題目，無不包含其中其中尤以幾何圖形的長度及面積的最值、最短路徑問題的求解最為繁瑣且靈活多變，而其中又有一些技巧性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想（轉(zhuǎn)化思想），本專題以幾個基本的知識點(diǎn)為經(jīng)，以歷年來中考真題為緯，由淺入深探討此類題目的求解技巧及方法 .一、基礎(chǔ)知識點(diǎn)綜述1 .兩點(diǎn)之間，線段最短;2 .垂線段最短；3 .若A、B是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點(diǎn)，P是某直線上一動點(diǎn)，當(dāng)P、A B在一條直線上時，PA PB最大，最大值為線段 AB的長（如下圖所示）4

2、.最短路徑模型（1）單動點(diǎn)模型作圖方法：作已知點(diǎn)關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)，連接成線段與動點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位 置.如下圖所示，P是x軸上一動點(diǎn)，求 PA+PB的最小值的作圖AP'（2）雙動點(diǎn)模型P 是 / AOB一點(diǎn),M N分別是邊OA OB上動點(diǎn)，求作 PMNO長最小值.作圖方法：作已知點(diǎn)P關(guān)于動點(diǎn)所在直線OAOB的對稱點(diǎn)P'、P'',連接P'P''與動點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)M N即為所求5.二次函數(shù)的最大（?。┲?ax h k,當(dāng)a>0時，y有最小值k；當(dāng)a<0時，y有最大值k.二、主要思想方法（詳見精品例題解析）利用

3、勾股定理、三角函數(shù)、相似性質(zhì)等轉(zhuǎn)化為以上基本圖形解答三、精品例題解析例1. （2019 涼山州）如圖，正方形 ABCW, AB=12, AE=3,點(diǎn)P在BC上運(yùn)動（不與 B、C重合），過點(diǎn)P作PQL EP,交CD于點(diǎn)Q則CQW最大值為例2.（2019 涼山州）如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（8,0 ）, （0,8 ）.點(diǎn)G F分別是直線x=5和x軸上的動點(diǎn)，CF=10,點(diǎn)D是線段CF的中點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)E,當(dāng) ABE面積取最小值時，tan/ BAD：()x= - 58A 177_174 C.9例3.(2019 南充)如圖，矩形硬紙片ABCD勺頂點(diǎn)A在y軸的正半軸及原點(diǎn)上滑動，頂點(diǎn)B在x

4、軸的正半軸及原點(diǎn)上滑動，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),AB=24,BC=5,給出結(jié)論：點(diǎn) A從點(diǎn)O出發(fā)，到點(diǎn)B運(yùn)動至點(diǎn)O為止，點(diǎn) E經(jīng)過的路徑長為12n；' OAB的面積的最大值為144;當(dāng) OD最大時，點(diǎn) D的坐標(biāo)為25 26 125 2626 ,26其中正確的結(jié)論是（填寫序號）例4.(2019 天津)已知拋物線yx2bx c (b、c為常數(shù)，b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)M(m)0)是x軸正半軸上的動點(diǎn)，若點(diǎn) Q (b l,yQ)在拋物線上，當(dāng) J2AM 2QM的最小值為 空返 時，求b24的值.例5. (2019 舟山)如圖，一副含 30°和45°角的三角板 ABC

5、和EDF拼合在個平面上，邊 AC與EF重合，AC 12cm.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動時，點(diǎn)F同時從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑 動.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動到點(diǎn)C時，點(diǎn)D運(yùn)動的路徑長為 cm ；連接BD,則 ABD的面積最 大值為2cm .例6. （2019 巴中）如圖，在菱形 ABCD連接BD AC交于點(diǎn)Q過點(diǎn)O作OHL BC于點(diǎn)H,以O(shè)為圓心，OH半徑的半圓交 AC于點(diǎn)M（1）求證：DC是圓O的切線；（2）若AG4MC且AC=8,求圖中陰影部分面積；（3）在（2）的前提下，P是線段BD上的一動點(diǎn)，當(dāng) PD為何值時，PHPM的值最小，并求出最小值.專題01動點(diǎn)問題中的最值、最短路徑問題（解析）例1

6、. （2019 涼山州）如圖，正方形 ABCW, AB=12, AE=3,點(diǎn)P在BC上運(yùn)動（不與 B、C重合），過點(diǎn)P作PQL EP,交CD于點(diǎn)Q則CQW最大值為 【答案】4.【解析】解：: PCX EP,，/EP90 ,即/ EPB/QPC90 , 四邊形ABC比正方形， ./ B=ZC=90° , / EPB/BEP=90 , ./ BEP=/QPCBEW CPQ,BE BP一 , CP CQAB=12, AE=3,BE=9,設(shè) C&y, BP=x, CP=12-x, (0<x<12)9 x 12 x y4 ,CQ勺最大值為4.即 ylx99，當(dāng)x=6時，y有

7、最大值為4,即【點(diǎn)睛】此題為“一線三直角模型”,解題方法為相似三角形性質(zhì)求解，綜合利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解x=- 5tan /C. 4最值問題.例2.(2019 自貢)如圖，已知 A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(8,0), (0,8).點(diǎn)C、F分別是直線和x軸上的動點(diǎn)，CF=10,點(diǎn)D是線段CF的中點(diǎn)，連接 AD交y軸于點(diǎn)E,當(dāng) ABE面積取最小值時，BAD：()1_【解析】解：&abe=- BE OA 4BE,2當(dāng)BE取最小值時， ABE®積為最小值設(shè)x=- 5與x軸交于點(diǎn)G,連接DG因?yàn)镈為CF中點(diǎn)， CFG直角三角形, -1所以 DG CD 5, 2.D點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為以 G為圓心

8、，以5半徑的圓上，如圖所示Ox= - 5由圖可知：當(dāng) AD與圓G相切時，BE的長度最小，如下圖,yx=- 5過點(diǎn)E作EHLAB于H,. O(=5, OA=8, DG5,在RtAADG,由勾股定理得： AD=12, AO& ADGAO ADOE DG.10求得：0日一，3由 OB=OA=8,得：BE=14 , B B=45 , AB=8點(diǎn) 327、217 2 EH=BH= BE , AH=AB BH=,2337.2EH 于 7 . tan / BAB -3 AH 17 217,3故答案為B【點(diǎn)睛】此題解題的關(guān)鍵是找到 ABEB積最小時即是 AD與D的遠(yuǎn)動軌跡圓相切的時刻.進(jìn)而構(gòu)造以 /B

9、AD為內(nèi)角的直角三角形，利用勾股定理求出邊長，代入三角函數(shù)定義求解例3. （2019 南充）如圖，矩形硬紙片ABCD勺頂點(diǎn)A在y軸的正半軸及原點(diǎn)上滑動，頂點(diǎn) B在x軸的正半軸及原點(diǎn)上滑動，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB=24,BC=5,給出結(jié)論：點(diǎn) A從點(diǎn)O出發(fā)，到點(diǎn)B運(yùn)動至點(diǎn)O為止，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長為12n；OAB的面積的最大值為144;當(dāng)OD最大時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為25 26 125 26、人（,-一），其中正確的結(jié)論是（填寫序號）.26261【解析】解：根據(jù)題意可知：O曰一AB=12,2即E的軌跡為以O(shè)為圓心以12為半徑的四分之一圓（第一象限的部分），根據(jù)弧長公式，得點(diǎn) E的路徑長為：-90-12=

10、6式，故錯誤；180因?yàn)锳B=24,當(dāng)斜邊AB上的高取最大值時， OAB勺面積取最大值，點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上（圓心為 E）,當(dāng)OELAB時，余邊 AB上的高最大,，-,一，1八 一所以 OAB勺面積取最大彳1為： -24 1 2=144,故正確；連接OE DE得：05OEOE當(dāng)O E、D三點(diǎn)共線時取等號，即OD勺最大值為25,如圖，過點(diǎn) D作DF，y軸于F,過點(diǎn)E作EGL y軸于G可得：EG把12DF OD25r -12即：EG DF, 25AF AD 5EG AE 12'一55DF，即：AF EG12設(shè)Df=x,在RtADF中，由勾股定理得:25,解得：x=25叵,26在RtAO

11、DF,由勾股定理得： OF：125廟 ,26即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（25 26 125.262626例4.（2019 天津）已知拋物線是x軸正半軸上的動點(diǎn).若點(diǎn)Q （ b綜上所述，答案為：.2. .,.，一y x bx c (b、c 為常數(shù)，b>0)經(jīng)過點(diǎn) A(1,0),點(diǎn) M(mi0)133 2 一 ，、.一,yQ）在拋物線上，當(dāng) V2AM 2QM的最小值為-時，求b24的值.【答案】見解析【解析】解：: y x2 bx c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),2，1+t+c=0,即 y x bx b 12.y x bxc上,一，1點(diǎn)Q ( b ，yQ )在拋物線 2b 3 yQ2 4,即Q b 2, b 3

12、. b>0,Q點(diǎn)在第四象限,. 2am 2QM 2 AM2QM所以只要構(gòu)造出AM QM即可得到2J2AM 2QM的最小值取N (1,0 ),連接AN過M作MG_ AN于G連接QM如圖所示, AGM等腰直角三角形,GMAM ,即當(dāng)G M Q三點(diǎn)共線時，GMMQX最小值，即J2AM 2QM取最小值,此時 MQH;等腰直角三角形,£am 二Jm 122QM 2QM=2 停 m 1 -2 - 3. QHMH3.b4解得:聯(lián)立得:b=4.即當(dāng)，2AM2QM的最小值為江時，b=4.4【點(diǎn)睛】此題需要利用等腰直角三角形將J2AM 2QM轉(zhuǎn)化為2 Y2AM QM ,進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)2之間線段最短及

13、等腰三角形性質(zhì)求解例5. （2019 舟山）如圖，一副含 30°和45°角的三角板 ABC和EDF拼合在個平面上，邊 AC與EF重合，AC 12cm.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動時，點(diǎn) F同時從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動到點(diǎn)C時，點(diǎn)D運(yùn)動的路徑長為cm ;連接BD,則 ABD的面積最大值為2cm【答案】24-12、5; 36、2 24.3 12、6【解析】解：如圖1所示，當(dāng)E運(yùn)動至E' , F滑動到F'時,過D'dD' G± AC于G D' Hl± BC交BC延長線于點(diǎn) H,可得/ E'

14、 D' G=/F' D' H, D' E' =D' F',RtAE' D 8RtAF D' H,. Q G=G H,.D在/ ACH勺角平分線上，即C, D, D'三點(diǎn)共線.通過分析可知，當(dāng) D' E' LAC時，DD的長度最大，隨后返回初始 D點(diǎn)，如圖2所示，D點(diǎn)的運(yùn)動路 徑為 A D - D,行走路線長度為 2DD ;圖2BAG30 , AC=12, DE=CDBG4%/3, CaDE=6在，由圖知：四邊形 E' CF D'為正方形，CD =EF=12,.DD =CD -CB12

15、-6J2,D點(diǎn)運(yùn)動路程為 2DD =24-12”；如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動至D'SAABCS正方形 E'CF'D'SAAE'D'1 2 1=4 .3 8,36,22 2時， ABD的面積最大，最大面積為：SA BD'F '6、2 12 6.21 6 2 4.3 6.22=36 ,2 24 . 3 12 .6【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確利用全等、角平分線判定得到D點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是關(guān)鍵，利用三角函數(shù)及勾股定理求解，計算較為繁瑣，尤其是利用割補(bǔ)法求解三角形的面積時對學(xué)生計算能力要求較高，此題難度較大，新穎不 失難度.例6. (2019 巴中)如圖，在菱形 ABCM,連接BD AC交于點(diǎn) O,過點(diǎn)O作OHL BC于點(diǎn)H,以O(shè)為圓心, OH為半徑的半圓交AC于點(diǎn)M(1)求證：DC是圓O的切線;(2)若AO4MC且AC=8,求圖中陰影部分面積;(3)在(2)的前提下，P是線段BD上的一動點(diǎn)，當(dāng) PD為何值時，PHPM的值最小，并求出最小值C【答案】見解析.【解析】(1)證明：過點(diǎn)O作ONL CDT N,AC是菱形ABCD勺對角線，. AC平分/ BCD. OHL BC ONL CD. OHON又OHK/圓O的半徑，.ON圓O的半徑，即CD是圓O的切線.(2)由題意知：OC=2MC4, M0OM2,即 OH2,在 RtAOHO, O(=2OH