相似存在性問題

1、相似存在性問題解析(京片合古苗二色布箱似笙睡二苗開幺相初 一如二苗點(diǎn)似3、宗益龍 姑侖巴知冼田區(qū)土的分軍方法濟(jì)行公率A (*.存在 門)左解法(1)正俗如仞快土的冼;I圣相似三色瓶將應(yīng)由的性問 (4)定結(jié)果：將結(jié)果匯總。模型一：直角三角形相似問題例1：如圖，矩形OA8C在平面直角坐標(biāo)系中位置，A(6,0) , C(0,-3), 直線),=一心與8c邊相交于。點(diǎn).4(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；(2)若拋物線)，= a/-2x經(jīng)過點(diǎn)A,試確定此拋物線的表達(dá)式； 4(3)設(shè)(2)中的拋物線的對(duì)稱軸與直線。交于點(diǎn)"，點(diǎn)P為對(duì)稱 軸上一動(dòng)點(diǎn)，以尸、。、M為頂點(diǎn)的三角形與OC£相似，求符合條件

2、 的點(diǎn)P的坐標(biāo).分析：(1)定方向：OCD是兩條直角邊分別為3和4的直角三角形。 則為直角三角形的相似問題。(2)定分類：如上圖，APOM與RtAOCD已經(jīng)有一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角NPMO二 ZCODo所以POM只要還有一個(gè)直角就可以利用AA判定這兩個(gè)三角 形相似。所以分為兩種情況：Z0PM=90°和NP0M=90°(3)定解法：求P點(diǎn)坐標(biāo)，橫坐標(biāo)為3,只需要求縱坐標(biāo)尸出。由于 PR是RtZPOM斜邊的一部分。所以利用直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例建 立方程求解。(4)定結(jié)論：兩種情況匯總。解：(1)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,-3).(2)拋物線的表達(dá)式為,，=二2一級(jí) 84(3)情形一：當(dāng) NOPM

3、=90° 時(shí), 易證：Rt/POM RtACDO .二拋物線的對(duì)稱軸x = 3,/.點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0) .情形二：當(dāng)NP0M=90°時(shí),由), = _，可得：M(3,_2)449=3,0 =工則 OM =4OP： +RM2 = ?設(shè) 2 (3,0Q1 5則只M= + ; OM = : 0D=5, 0C=3, CD二4 44心只MOsRt/D0C;理竺="；解之： =4 -DO OC點(diǎn)八的坐標(biāo)為巴(3,4),心ARMOsRt/0DC;二竺="；解之： =»(舍去) -DO CD8綜上所述：4(3,0),6(3,4) 練習(xí)1:已知二次函數(shù)y =

4、"+bx+c(«0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(l,0), 8(2,0),C(0,-2),直線x = z ( m > 2 )與x軸交于點(diǎn)O .（1）求二次函數(shù)的解析式；（2 ）在直線工=（機(jī) 2 ）上有一點(diǎn)E （點(diǎn)七在第四象限），使得石、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以A、含，的代數(shù)式表示)；y_2才答案：(1) y = -x2 + 3x-(2) AO=1, CO = 2, BD ZkEDB s/xaoc ,AO COED BD1 _ 2ED m-2f加絲2,點(diǎn)七在第四象限，:.l。、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求上點(diǎn)坐標(biāo)（用2= m-2y山，2 jEDBsaOAAO CO 而一茄/ ED =

5、 2ni4,丁點(diǎn)石在第四象限，,E2(mA-2m).綜上所述：E m, y j» E,(m,4-2m) 2 )點(diǎn)睛：若去掉“點(diǎn)E在第四象限,這個(gè)條件，則還有兩種情況，它們 都位于X軸的上方?？梢岳脤?duì)稱性求解更為簡(jiǎn)潔。例2:如圖,拋物線經(jīng)過A(4,0), 8(1,0), C(0,-2)三點(diǎn).(1)求出拋物線的解析式；(2)。是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作月"_Lx軸，垂足為K是否存在P 點(diǎn)，使得以4 P,"為頂點(diǎn)的三角形與04C相似若存在，請(qǐng)求出符 合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；分析：(1)定方向：aOAC是兩條直角邊分別為2和4的直角三角形。則為直角三角形

6、的相似問題。(2)定分類：AOAC是一個(gè)直角三角形。只要夾直角的兩條對(duì)應(yīng)邊 成比例就可以利用SAS判定這兩個(gè)三角形相似。所以分為兩種情況： PM長(zhǎng)邊、AM短邊和PM短邊、AM長(zhǎng)邊。但是由于P點(diǎn)位置不確定， 所以P點(diǎn)又有三種情況，如下圖。所以共有6種情況。(3)定解法：求P點(diǎn)坐標(biāo)，由于PM和AM易于表示且是RtZPAM兩 條直角邊。所以利用兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例建立方程求解。(4)定結(jié)論：兩種情況匯總。解：(1) y = -l+-x-2 22(2)存在.設(shè)尸(團(tuán),一；加+&-2)情形一：當(dāng)? < 1時(shí),PM = nr - -m + 2； MA = 4-m ; AO-4; OC-2o

7、22若PMAs/iCOA鬻=黑；0（舍去）;%=4（舍去）;若PMAs/m）cAin3 = 4（舍去）；m4 = -3；則 P（-3-14）情形二：當(dāng)1 V 7 V 4時(shí),PM = " -/?2 + /77-2； MA = 4 - in ； A0=4; 22若PMAs/COAin. = 2：= 4（舍去）；14若PMAs/oCA； in3 = 4（舍去）； = 5（舍去卜OA CA貝4尸（2,1）情形三：當(dāng)機(jī)4時(shí)，PM = nr - -m + 2； MA = ？ -4 ; A0=4; 0C-2。22y則 P(5,-2)綜上所述：P(3,-14)、尸(2,1)、P(5,-2)練習(xí)2:如

8、圖，已知拋物線y = /-1與x軸交于A B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.過點(diǎn)A作APCB交拋物線于點(diǎn)P(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).(2)在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M,過M作MG_Lx軸于點(diǎn)G, 使以A、1M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與APCA相似.若存在，請(qǐng)求出M 出的坐株；否兒請(qǐng)說明理由.分析:答案：(1)%(一1,0)8(1,0)C(o,-1)(2)存在，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3),('二)，(4,15)模型二：等腰三角形相似問題例3:如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0, 2的)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo) 9為4,該圖象在X軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在拋物線上是

9、否存在點(diǎn)E,使4EAB與aABC相似如果存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.分析：(1)定方向：AABC是等腰三角形。則為等腰三角形的相似問 題。(2)定分類：AOAC是一個(gè)直角三角形。只要夾直角的兩條對(duì)應(yīng)邊 成比例就可以利用SAS判定這兩個(gè)三角形相似。所以分為兩種情況： PM長(zhǎng)邊、AM短邊和PM短邊、AM長(zhǎng)邊。但是由于P點(diǎn)位置不確定， 所以P點(diǎn)又有三種情況，如下圖。所以共有6種情況。(3)定解法：求P點(diǎn)坐標(biāo)，由于PM和AM易于表示且是RtZPAM兩 條直角邊。所以利用兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例建立方程求解。(4)定結(jié)論：兩種情況匯總。解：(1) y=>(x-4)2一招9(2)由(1

10、)得：A(1, 0), B(7, 0) , C(4, -73)易證：AC=BC,且NACB=120° 。情形一：AB為腰：以A為圓心，AB為半徑構(gòu)造BEAs/ABC,則 AE二AB二6, ZBAE=120°,在 RtZkAEG 中:AE=6, ZEAG=60°EG=3 V3, AG=3,此時(shí)點(diǎn) E(-2, 373),經(jīng)檢驗(yàn)：E(-2, 36)都在拋物線上A (10, 3經(jīng)檢驗(yàn):E(10, 36)都在拋物線上情形三：AB為底：當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，AQAB就是AACB,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4, -V3),綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(10, 3而或(-2, 3面或(4, 一如

11、).點(diǎn)睛：由于E的坐標(biāo)可能不在拋物線上，所以“經(jīng)檢驗(yàn)”必不可少。練習(xí)3：如圖，拋物線y = i/(x + l)(x-5)與x軸的交點(diǎn)為M、N.直線y = kx+b 與x軸交于P ( 2,0),與y軸交于C,若A、B兩點(diǎn)在直線產(chǎn)乙+上.且 A0=B0= V2 , A0±B0. D為線段MN的中點(diǎn)。0H為RtZiOPC斜邊上的高.(1)0H的長(zhǎng)度等于; k= , b=.(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得拋物線y = «t + l)a-5)上有一點(diǎn)F.滿足 以D、N、E為頂點(diǎn)的三角形與aAOB相似若不存在，說明理由；若存 在，求所有符合條件的拋物線的解析式.答案：0H=1,攵=亙，b = 2 33(2) AA0B為等腰直角三角形。情形一：DN為腰：以D為圓心，DN為半徑構(gòu)造等腰直角EDNs/iAOB, 點(diǎn) E(2, 3)則 y =_L(x+1)(工5)情形二：DN為底：以B為圓心，BA為半徑構(gòu)造等腰直角BEAs/CBA 點(diǎn)E,2則 ，=_：(x+l)Q_5)1v 9綜上所述，y = -_(x+ l)(x-5)或 y = -(x + l)(x-5)例1：拋物線y = 2(x-2)2+l的圖像如圖所示，直線X=3與拋物線相交于點(diǎn)B,過原點(diǎn)。與拋物線的頂點(diǎn)A的直線與x=3相交于