第二章_行列式

1、高等代數2行列式第二章 行列式n 學時：18學時。n 教學手段：p 課堂講授與學生自學提出問題進行討論相結合，教師輔導答疑，學生演練習題。n 基本內容和教學目的：p 基本內容：置換概念，行列式的定義、性質及其計算。p 教學目的：p 1準確理解和掌握行列式的定義和性質，p 2能較為熟練地進行行列式的計算。n 本章的重點和難點：p 重點 行列式的計算p 難點 行列式概念,行列式的展開定理及用定義證明行列式性質高等代數2行列式2.1 引言引言高等代數2行列式2.1 2.1 引言引言 解方程是代數中一個基本問題，在中學我們學過一元、二元、三元以至四元一次線性方程組。在解線性方程組時，我們曾用代入消元法

2、和加減消元法來解線性方程組。例如，對二元一次方程組111222(1)(2)a xb yca xb yc（2.1.1）利用加減消元法，由21(1)(2)bb和 1221aa得 1 22 12 11 21 22 11 22 1a ba bxb cbca ba bya ca c高等代數2行列式若 1 22 10aba b，則有2 11 21 22 11 22 11 22 1b cbcxaba ba ca cyaba b我們用記號1122abDab表示1 22 1aba b112 11 222xcbDb cbccb， 111 22 122yacDa ca cac+高等代數2行列式若 0D ，則xyDx

3、DDyD是方程組（2.1.1）的公式解。對三元一次線性方程組11 1122133121 1222233231 13223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb（2.1.2）若 1112132122233132331122331321321223311322311123321221330aaaDaaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a a+高等代數2行列式則 123123xxxDxDDxDDxD是方程組（2.1.2）的公式解。這里123,xxxDDD是分別用123,b b b代替D中第1 列，第2列，第3列所得的行列式。 由此，我們引入了二

4、階行列式和三階行列式的定義，同時給出了二元一次和三元一次線性方程組的公式解。我們自然要問，對于n元一次線性方程組11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb（2.1.3）高等代數2行列式是否也有類似于（2.1.1)、（2.1.2）的公式解？ 這首先就必須解決：能否把二階、三階行列式推廣到n階行列式？要解決這個問題，必須回答以下一系列問題：l這個n階行列式如何定義？ln階行列式中一共包含有多少項？l每一項由哪些元素組成？l哪些項前面帶正號？l哪些項前面帶負號？ 有了n階行列式的定義后，我們才能研究方程組（2.1.3

5、）有沒有類似于二元、三元方程組的公式解。高等代數2行列式2.2 排列排列高等代數2行列式一、排列與對換n排列的定義：由n個數碼1，2，n組成的一個無重復的有序數組稱為這n個數碼的一個排列，簡稱為n元排列。例如，312是一個3元排列，2341是一個4元排列，45321是一個5元排列，等等。3元排列共有多少種不同的排列？123 132 213 231 312 321n元排列共有多少種不同的排列？在n元排列中，只有123n這個排列是按自然順序排列，其他排列或多或少破壞自然排列。高等代數2行列式n反序的定義：在一個n元排列中，如果有一個較大的數碼排在一個較小的數碼前面，則稱這兩個數碼在這個排列中構成一

6、個反序，一個n元排列中所有反序的總和稱為這個排列的反序數，記為1 2nj jj或 1 2nj jj。 例如：3212 13 32413 14 453214329 一般地，1 2121nnj jjmmm這是計算一個n元排列的反序數的一般方法，特別在證明題中有用。高等代數2行列式n對換的定義：在一個n元排列12nj jj中，如果交換某兩個數碼的位置而別的數碼不動，則稱對這個排列施行了一個對換。如果交換的兩個數碼是i和 j，就把這個對換記為, i j例如1,5341625345621 問題1：任意兩個n元排列是否可經一系列對換而互變？引理1： 任意一個n元排列12nj jj 可經一系列對換變?yōu)樽匀慌?/p>

7、列12n。證明（用歸納法）：1、當n=2時，結論顯然成立。2、假設結論對n-1元排列成立，（1） 則對任一個n元排列12nj jj， 高等代數2行列式假如njn，則由歸納假設知1 21nj jj可經一系列對換變?yōu)?2（n-1）。于是經同樣一系列的對換，121nj jjn變?yōu)?2(n-1)n；（2）假如njn，設11kjnkn，于是經一次對換,knjj，得,11knjjknnjjjjjn 由（1）知，經一系列對換可把1njjn變?yōu)?2n。因而1knjjj可經一系列變換變?yōu)?12n。(證畢) 由于對換是可逆的，因此有推論1： 自然排列12n可經一系列的對換變到任意一個n元排列： 。12nj jj

8、由引理1和推論1，我們圓滿地解決上面提出的 問題1，這就是：高等代數2行列式定理2.2.1：任意兩個n元排列可經一系列對換互化。問題2：排列的反序數可以是n n-10,1,2，反序數 究竟有何作用？二、排列的奇偶性。n排列的奇偶性：如果一個n元排列的反序數是一個奇數，則稱該排列為奇排列，反序數是偶數的排列稱為偶排列。例如：321 ,45321是奇排列，而3241是偶排列。問題3：對n元排列施行一次對換，對排列的奇偶性有沒有影響？高等代數2行列式例如，3213， 1230。 定理2.2.2：每一個對換均改變排列的奇偶性。證明：（先特殊后一般） 1、先考慮特殊情況，即對換的兩個數在n元排列中是相鄰

9、的。設排列（1）：jk化為排列（2）：kj，在排列（1）中，若 , j k 與其他數構成反序，則在排列（2）中仍然構成反序；若 , j k與其他數不構成反序的，則在排列（2）中也不構成反序。不同的是, j k的順序發(fā)生變化，若在（1）中, j k構成一個反序，則在（2）中經對換(j,k)高等代數2行列式, k j不構成反序，或在（1）中, j k不構成一個反序，則在（2）中, k j構成一個反序。無論是減少還是增加一個反序，排列反序數的奇偶性均發(fā)生變化，因此定理成立。2、再考慮一般情況，設排列為（3）：1 2sjiii k經 , j k對換后化為排列（4）：1 2skiii j這樣一個對換可以

10、經由一系列相鄰數碼的對換來實現。從（3）出發(fā)，依次把k與 si對換，與1si對換，與j對換。經過S+1次相鄰數碼的對換，排列（3）化為排列（5）：1 2skjiii ；再把j依次與12, ,si ii對換，則經S次相鄰數碼的對換，排列（5）就化為排列（4）。故經2S+1相鄰數碼的對換，高等代數2行列式就把排列（3）化為排列（4）。由第一步知每一次相鄰位置的對換均改變排列的奇偶性，因此，奇數次的對換的最終結果仍然改變排列的奇偶性。問題4： 在全體n元排列中，究竟是奇排列多還是偶排列多？定理2.2.3：當2n時，在n!個n元排列中，奇、偶排列各占一半，即各有!2n個。證明：由于2n，故由定理2.2

11、.2知，在n元排列中總有奇排列和偶排列，設在n!個n元排列中，有S個奇排列和T個偶排列。把S個奇排列中的每一個排列的任兩個數碼對換，高等代數2行列式這S個奇排列就都變成偶排列，但總共只有T個偶排列，故ST。同理對T個偶排列中每一個進行對換，得 TS。因此ST，又!STn， !2nST高等代數2行列式2.3 n2.3 n階行列式的定義階行列式的定義高等代數2行列式問題：如何定義n階行列式？、二階與三階行列式的構造1 2121 21112112212211221221j jjjj jaaa aa aa aaa特點：（1）二階行列式是一個含有2!項的代數和；（2）每一項都是兩個元素的乘積，這兩個元素

12、既位于不同的行，又位于不同的列，并且展開式恰好是由所有這些可能的乘積組成；（3）任意項中每個元素都帶有兩個下標，第一個下標表示元素所在行的位置，第二個下標表示該元素所在列的位置。當把高等代數2行列式每一項乘積的元素按行指標排成自然順序后，每一項乘積的符號由這一項元素的列指標所成的排列的奇偶性決定，奇排列取負號，偶排列取正號。對三階行列式也有相同的特點1 2 31231 2 31112132122233132331122331223311321 321322311221 331123321231j j jjjjj j jaaaaaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a

13、aa aa高等代數2行列式特點：（1）共有3！項的代數和；（2）每一項是三個元素的乘積，這三個元素既位于不同的行又位于不同的列，展開式恰由所有這些可能的乘積組成；（3）當把每一項乘積的元素按行下標排成自然順序后，每一項的符號由這一項元素的列指標所成的排列的奇偶性決定。二、n階行列式的定義1、111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa為一個n階行列式，它等于所有高等代數2行列式取自不同行不同列的n個元素乘積1212njjnja aa的代數和，這里12,njjj是 1,2,n的一個排列。 每一項 1212njjnja aa中把行下標按自然順序排列后，其符號由列下標排列12nj jj的

14、奇偶性決定。當12nj jj偶排列時取正號，當是12nj jj是奇排列時取負號，即 1 2121 2121nnnj jjjjnjj jjDa aa根據定義可知：ln階行列式共由n!項組成；l要計算n階行列式，首先作出所有可能的位于不同行不同列元素構成的乘積；l把構成這些乘積的元素的行下標排成自然順高等代數2行列式 序，其符號由列下標所成排列的奇偶性決定；n階行列式的定義是二、三階行列式的推廣。2、例子例2.3.1：計算行列式0001002003004000D 432114233241124a a a a 高等代數2行列式例2.3.2：計算行列式00000000abcdDefgh1 2 3 41

15、2341 2 3 412341j j j jjjjjj j j ja aaadegacfhadehbbcfg例2.3.3：用行列式定義計算112122112000nnnnaaaDaaa1122nna aa高等代數2行列式111212222000nnnnaaaaaDa1122nna aa例2.3.4：設111213142122232413132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa問：132142,a a a12243241,a a a a14213243,a a a a23124134,a a a a是不是四階行列式1D的項？如果是，應取何符號？14213243,a a a

16、 a是，取符號：-123124134,a a a a是，取符號：-1高等代數2行列式例2.3.5：設2abcdghpqDstuvwxyz問：（1）dhsy與ptaz是否為2D的項？應取何符號？（2）2D含有t的項有多少？ （6項）注： 在一個行列式中，通常所寫的元素本身不一定有下標，即使有下標，其下標也不一定與這個元素本身所在的行與列的位置完全一致。因此要確定一項的符號，必須按照各元素在行列式中實際所在的行與列的序數計算。在一般情況下，把n階行列式中第i行與第j列交叉位置上的元素記為ija在行列式D中，從左上角到右下角這條對角線稱為主對角線高等代數2行列式定理2.3.1 在n階行列式D中，項1

17、 12 2n ni ji ji jaaa所帶的符號是1 21 21nni iij jj證明：1、交換項1 1s st tn ni ji ji ji jaaaa(1) 中任兩個元素s si ja與 t ti ja的位置，不改變11()()stnstniiiijjjj 把（1）中s si ja與 t ti ja對換后得1 1t ts sn ni ji ji ji jaaaa(2)由于對換改變排列的奇偶性,故1()stniiii 與 1()tsniiii 1()stnjjjj與 1()tsnjjjj的奇偶性互化，2、逐次交換（1）中的元素的次序，可以把（1）化為故 (3)1()stniiii 1()

18、stnjjjj+ 與 有相同的奇偶性1()tsniiii 1()tsnjjjj+ 的奇偶性。高等代數2行列式1212nkknka aa（4）而（4）的行下標與列下標所成排列和1 21 212nnnk kkk kk的奇偶性與（3）相同，于是111211stnstnniiiijjjjk kk 因此項1 12 2n ni ji ji jaaa所帶的符號是1 21 21nni iij jj注：本定理說明在確定行列式中某項應取的符號時，可以同時考慮該項行排列與列排列的反序數之和，而不一定要把行下標排成自然順序。例2.3.6：試確定四階行列式中項31241243a a a a的符號，寫出四階行列式中包含2

19、4a且取正號的所有項。解 所帶符號是:3214142311 11243243a a a a取正號的項包括， 12243341,a a a a13243142a a a a高等代數2行列式幾種特殊的行列式：對角形行列式上三角行列式下三角行列式高等代數2行列式2.4 2.4 行列式的基本性質行列式的基本性質高等代數2行列式 直接用定義計算行列式是很麻煩的事，本節(jié)要導出行列式運算的一些性質，利用這些性質，將使行列式的計算大為簡化。轉置行列式：把n階行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa的第i行變?yōu)榈趇列（i=1，2，n）所得的行列式112111222212nnnnnnaaaa

20、aaaaa稱為D的轉置行列式，用D表示。高等代數2行列式性質1：行列式D與它的轉置行列式相等。（轉置變換）證：考察D的任意項1212njjnja aa（1）它是取自D的不同行不同列的n個元素的乘積，因而也是取自D的第12,njjj行，1，2，n列的n個元素的乘積，因而也是D中的一項:1212njjj na aa（2）。（1）項所帶的符號是1 2121nnj jj , (2)項所帶的符號也是1121njjn。因而D中的任一項均為D中的項而且所帶的符號也相同。同理可知D中的任一項也是D中的項且所帶的符號相同。因此D=.D性質1表明，在行列式中，行與列的地位是相同的。凡是對行成立的性質，對列也同樣成

21、立。高等代數2行列式性質2 ： 把行列式D中某一行（列）的所有元素同乘以常數k，相當于用數k乘這個行列式，即111211212niiinnnnnaaakakakakDaaa（倍法變換）證明：111211212niiinnnnnaaakakakaaaa112121ninjjjjijnja akaa高等代數2行列式112121ninjjjjijnjka aaa111211212niiinnnnnaaak aaaaaa推論1：一個行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提到行列式的符號外面。推論2：如果行列式中某一行（列）所有元素都為零，則這個行列式等于零。在性質2中，取k=0，即知結論成立。性質3

22、：交換行列式D中的某兩行（列），行列式變號。（換法變換）高等代數2行列式即設11121121212,niiinjjjnnnnnaaaaaaDaaaaaa111211211212njjjniiinnnnnaaaaaaDaaaaaa則有：1DD 證：取D中任一項：11ijnkikjknkaaaa（1）它所帶的符號是：11ijnkkkk ， 顯然11jinkjkiknkaaaa也是1D中的一項，高等代數2行列式它所帶符號為：11jinkkkk 。由于對換改變排列的奇偶性，故D中的任一項與1D中對應項剛好相差一個符號，1DD 故推論3： 如果行列式中有兩行（列）的元素對應相同，則這個行列式等于零。（交

23、換這兩行（列）即知DD ） 推論4： 如果行列式中有兩行（列）的元素對應成比例，則這個行列式等于零。（利用性質2和推論3）性質4：如果行列式中某一行（列）中的所有元素都可表成兩項之和，則該行列式可拆成兩個行列式之和，即（拆法變換）高等代數2行列式11121112212niiiiininnnnnaaaDabababaaa111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaabbbaaaaaa證明：1 2111niinj jjjijijnjDaaba1 21 2111111nnininj jjj jjjijnjjijnjaaaaba高等代數2行列式1112111

24、12112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaabbbaaaaaa性質5： 把行列式中某一行（列）的所有元素同乘上一個數k再加到另一行（列）的對應元素上，所得行列式與原行列式相等。（消法變換）即 11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa1112111221212nijijinjnjjjnnnnnaaaakaakaakaaaaaaa高等代數2行列式利用性質4和推論4即知。例2.4.1 計算行列式1113222333axbxcxDaxbxcxaxbxcx1323axbacaDaxbacaaxbaca解:0高等代數2行列式411340113

25、12023041D解:11340113033203511113401130001100220113401130022000011 22 例2.4.2 計算行列式41134011312023041D高等代數2行列式定理2.4.1： 任一個n階行列式都可以利用性質5中的行或列變換化為一個與其相等的上（下）三角行列式。證明：設111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa1、先設D中第一列元素不全為零，若1110,0,iaa則把第i行所有元素同乘1加到第一行上，則1110,iaa 故不妨設110,a把第一行依次乘以111121111,na aa a后分別加到第2行，第n行，則1112122

26、2200nnnnnaaabbDbb（1）高等代數2行列式若D中第一列元素全為零，則D已經是（1）的形式?，F對（1）中第二列的222,nbb進行考慮，同上類似，先設它們不全為零，不妨設220b， 則利用上面相似的方法，可得111213122232333300000nnnnnnaaaabbbDcccc仿此不斷進行下去，就可把D化為上三角行列式。例2.4.3 計算n階行列式nabbbbabbDbbabbbba 高等代數2行列式解 法一：nabbbbabbDbbabbbba 1111anbanbanbanbbabbbbabbbba1111babanbbbbbba 高等代數2行列式11nanbab法二：

27、nabbbbabbDbbabbbba 000000abbbbaabbaabbaab11000(1)()000000nanbbbbabanbababab高等代數2行列式在一個n階行列式nD中，若有,ijjiaa,1,2,i jn， 則稱nD為n階對稱行列式；若有,ijjiaa ,1,2,i jn則稱nD為反對稱行列式。例2.4.4 奇數階的反對稱行列式等于0。證明：設nD為奇數階的反對稱行列式。由于,ijjiaa 得 0,iia 1,2,in于是1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa 1213112232132331230000nnnnnnaaaaa

28、aaaaaaa轉置高等代數2行列式1213112232213233112300100nnnnnnnaaaaaaaaaaaa性質推論nnD 為奇數0nD例2.4.5(思考題) 計算n階行列式0111101111011110nD 高等代數2行列式2.5 2.5 行列式依行（列）展開行列式依行（列）展開高等代數2行列式 上一節(jié)我們利用行列式的性質把一個行列式化為上三角或下三角行列式，然后根據定義算出行列式的值，或者把一個行列式化成其中含有盡量多個零的行列式，然后算出行列式的值。本節(jié)我們沿著另一條思路來計算行列式的值，即通過把高階行列式轉化為低階行列式來計算行列式的值。例如11121321222331

29、3233311223132232112313213311221221aaaaaaaaaaa aa aaa aa aaa aa a121311131112313233222321232122aaaaaaaaaaaaaaa高等代數2行列式222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa112233112332122133122331132132132231a a aa a aa a aa a aa a aa a a 如果我們能把n階行列式轉化為n-1階行列式，把n-1階行列式轉化為n-2階，而行列式的階數越小越容易計算，我們就可以化繁為簡，化難為易，從而盡

30、快算出行列式的值。為了這個目的，我們需引進如下概念：一、余子式和代數行列式定義1（余子式）： 在一個n階行列式nD中，劃去元素ija所在的行和列，余下的元素構成一個n-1階子式，稱為元素 ija的余子式，記為ijM高等代數2行列式定義2（代數余子式）：ija的余子式ijM附以符號1ij后，稱為元素ija的代數余子式，記為ijA。 1ijijijAM 例2.5.1. 在行列式abcdghpqDstuvwxyz中，求元素p和s的余子式和代數余子式。二、行列式依行（列）展開 先考慮比較特殊的情況，即一個n階行列式中某一行（列）除一個元素外，其余元素都為零的情況，這時有以下引理。高等代數2行列式引理：

31、 如果行列式111111jniijinnnjnnaaaaaaDaaa中，第i行（或第j列）中元素除了ija外其余都是零，則 .ijijDa A證明：1、D中第一行元素除11a外其余皆為零，這時22211121222112112001nnnjjnjnjjjnnnnaaaaDa aaaaa高等代數2行列式2221121nnnjjjnjjjaaa22232323331123nnnnnnaaaaaaaaaa1 111111aM1111a A2、假設D中第i行除ija外其余皆為零，這時111111111110000jjjnijnnjnjnjnnaaaaaaDaaaaa高等代數2行列式此時11111111

32、11,jjnijnnjnjnnaaaaMaaaa1ijijijAM 把D中的第i行依次與第i-1行，第i-2行，第1行對換，再把第j列依次與第j-1列，第j-2列，第1列對換，這樣共經過（i-1）+（j-1）次行與列的對換，則D轉化為1D1100ijjijijijnjaaDa MMa注意到行列式中任兩行（列）的對換改變行列式的符號，故 11111ijijijijijijDDa Ma A 高等代數2行列式3、行列式依行（列）展開定理2.5.1 行列式nD等于它的任意一行（列）中所有元素與其代數余子式乘積的和，即有1122,niiiiininDa Aa Aa A1,in 或 1122,njjjjn

33、jnjDa Aa Aa A1.jn證：111211212nniiinnnnnaaaDaaaaaa11121121200000niiinnnnnaaaaaaaaa高等代數2行列式11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1122.iiiiinina Aa Aa A定理2.5.2. 行列式11121121212niiinnjjjnnnnnaaaaaaDaaaaaa中，某一行（列）中元素與另一行（列）中對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即有高等代數2行列式11220,ijijinjna Aa Aa A.

34、ij11220,ststnsnta Aa Aa A.st考察行列式111211212120niiinniiinnnnnaaaaaaDaaaaaa然后按第j行展開即知。例2.5.2. 計算行列式43102106210113201D高等代數2行列式解：43102106210113201D1 24 21623021111121162301111 7043021112704301111 7432123174 17 12212 14 19423高等代數2行列式例2.5.3 計算行列式41111123413610141020D 解：411110123013601410D 12313614101230130

35、141 計算行列式的一個基本方法是：先利用行列式的性質把某行（列）化成有盡可能多的零，然后把行列式按這行（列）展開，這樣計算要簡單。如果不分青紅皂白把行列式降階，由于要計算的行列式個數成倍增多，則計算量未必減少。高等代數2行列式例2.5.4 計算范德蒙行列式121222212111111211111nnnnnnnnnnnaaaaDaaaaaaaa解：121222112211)1212121122111111000nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaDaa aaa aaaaaaaaaaaaan依次從第n-1行起到第一行，每行乘以(-a加到下一行=高等代數2行列式1211122

36、11122211221122211221111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1221111222212211222212211111111nnnnnninninnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa 111nniniaaD 121211nnnininiiaaaa D 高等代數2行列式123111211nniiiiaaaaaa 1jiij naa 這種計算行列式的方法稱為遞推法證明范德蒙行列式1njiij nDaa 也可用歸納法證之高等代數2行列式2.6 2.6 行列式的計算行列式的計算高等代數2行列式l

37、對一般的數字行列式，如果它的元素之間沒有特定的規(guī)律，其計算方法是： 1）利用行列式性質把它化為上三角或下三角行列式，則行列式的值等于其主對角線上元素的連乘積； 2）選定某一行（列），利用行列式性質把其中元素盡可能多的化為0；然后按這一行（列）展開，如此繼續(xù)下去可得結果。l 如果行列式的元素之間有某種規(guī)律，特別是含字母或式子的行列式，則需根據不同情況采用不同方法加以計算，這方面的計算頗有技巧性，下面介紹一些典型方法。高等代數2行列式一、各行（列）倍數總加法例2.6.1：計算nxaaaaxaaDaaax 解：2n-1n-1n-1n-1nnxaxaxaxaaxaaDaaax從第 行起到第 行每行乘以

38、1加到第1行11111axaaxnaaaax高等代數2行列式11110001000000anxaxnaxaxa用乘第一行分別加到第二行第三行，第 行11nxnaxa練習1 計算2111121111211112nD 高等代數2行列式二、逐行（列）倍數依次相加法例2.6.2 計算1221100001000001nnnnxxDxaaaaxa （依次把第n列，第n-1列，第2列乘x加到第n-1列， 2，1列）三、遞推法例2.6.3 計算范德蒙行列式121222212111111211111nnnnnnnnnnnaaaaDaaaaaaaa高等代數2行列式解：121222112211(-a )n12121

39、21122111111000nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaDaa aaa aaaaaaaaaaaaa依次從第n-1行起到第一行，每行乘以加到下一行=121112211122211221122211221111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 高等代數2行列式1221111222212211222212211111111nnnnnninninnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa 111nniniaaD 121211nnnininiiaaaa D 123111211nniiiiaaaa

40、aa 1jiij naa 高等代數2行列式四、加邊法例2.6.4 計算123123123nnnnxaaaaaxaaaDaaaxa解：12312312312311000nnnnnnaaaaxaaaaDaxaaaaaaxa 1231211100010001000nnaaaaxxx 第 行乘以 -1分別加到第 行第3行，第n行高等代數2行列式1231012 311000000000000ninixnxnaaaaaxxxx 當分別用 乘第 ， ，列加到第1列11nniiaxx11nnniixxa當 0 x 時，110,nnnniiDxxa故 11nnnniiDxxa高等代數2行列式五、歸納法例2.6.

41、75 計算cos100012cos100012cos0000012cosnD 解：2cos112cosD高等代數2行列式22cos1cos23cos1012cos1012cosD201 2coscos12cos1012cos22cos1cos12cos34cos3coscos3我們猜測cosnDn高等代數2行列式證明：當n=2,3時，結論成立。假設結論對n-2階，n-3階行列式成立，即12cos1,cos2nnDnDn則對n階行列式11cos100012cos1002cos012cos0000012coscos100012cos1001012cos0000011nnn nD 高等代數2行列式1

42、22cosnnDD2coscos1cos2nncoscos2cos2nnncosn練習2計算00010001000001nababababDabab 高等代數2行列式2.7 Gramer2.7 Gramer法則法則高等代數2行列式 行列式理論在解一類特殊的線性方程組方面有重要應用，對于二元一次和三元一次方程組，當方程組的系數行列式不為0時，方程組有唯一的公式解。對于n元一次方程組，相應的結論也成立，這就是下面要介紹的Gramer法則。設n元一次線性方程組為11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb（1）, ,1

43、,2,ijia bF i jn稱 111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa為這個方程組的系數行列式。高等代數2行列式把D中的第j列換成常數列12,nb bb后所得行列式記為1111111121212212111jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaaDaabaa則 1122,1,2,jjjnnjDb Ab Ab Ajn 定理2.7.1 （Gramer法則）： 如果線性方程組（1）的系數行列式0D 有唯一解，其解為： ，則這個方程組1212,nnDDDxxxDDD（2）其中jD是把D中的第j列元素換成常數項12,nb bb所得的行列式，1,2,jn高等代數2行列式該定理

44、包括三個結論：l 方程組在0D 時有解； l 解是唯一的；l 解由公式（2）給出。這三個結論相互之間有聯系，因此證明的步驟是：1、把（2）代入方程組，驗證它是方程組（1）的解；2、假設方程組有解，則它的解必可由公式（2）給出。證：把方程組簡寫成1,1,2,nijjija xb in首先證明公式（2）確是方程組（1）的解。把,1,2,jjDxjnD代入第i個方程得：111nnjijijjjjDaa DDD高等代數2行列式112211nijjjnnjjab Ab Ab AD111122112112222211221inninninnnnnnab Ab Ab Aab Ab Ab ADab Ab Ab

45、 A11112121112211221iiinniiiiiininninininnnb a Aa Aa Ab a Aa Aa ADba Aa Aa A1ibDD,1,2,ib in因此,1,2,jjDxjnD確是方程組（1）的解。再證方程組（1）的解必由公式（2）給出。設1122,nnxk xkxk是方程組（1）的任一解，高等代數2行列式則有1,1,2,nijjija kb in（3）用D中第j列元素12,jjnjaaa的代數余子式12,jjnjAAA依次乘以（3）中每個方程得111,1,2,nnnijijjiijijiAa kb Ain把這n個方程相加得：111nnnijijjiijjiji

46、Aa kb AD而 1 122111nnnijijjijiiinnijiAa kAa ka ka k111 11221221 122221 122jnnjnnnjnnnnnAa ka ka kAa ka ka kAa ka ka k1111212111221122jjnnjjjjjjnjnjnnjnjnnnjka Aa Aa Aka Aa Aa Aka Aa Aa A高等代數2行列式例2.7.1 解線性方程組123412423412342583692254760 xxxxxxxxxxxxxx 解：由于方程組的系數行列式2151130602121476D,1,2,jk D jn,1,2,jjDk

47、jnD故 高等代數2行列式07513130602120771275132127712 353010772 3372621270方程組有唯一解。由于123481,108,27,27DDDD 方程組的解是12343,4,1,1xxxx 注意： 克萊姆法則只適用于方程個數與未知量個數相等，且系數行列式不等于零的線性方程組。如果方程個數與未知量個數不相等或雖相等，但系數行列式等于零，克萊姆法則失效。高等代數2行列式11 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x如果在線性方程組（1）中常數項全為零，即有（4）稱方程組（4）為齊次線

48、性方程組，這種方程組顯然有解：0,1,2,ixin稱其為零解。齊次線性方程組如果有其他的解，則稱為非零解。我們關心方程組（4）什么時候有非零解。定理2.7.2： 若齊次線性方程組（4）的系數行列式0D ， 則方程組（4）只有零解。證：由Gramer法則，方程組（4）只有唯一解：,iiDxD但由于0,1,2,iDin0,1,2,ixin高等代數2行列式推論：齊次線性方程組（4）有非零解的充要條件是其系數行列式等于零。例2.7.2 當取何值時，齊次線性方程組123123123000 xxxxxxxxx有非零解。解： 111111D201101111221102 212 當 1或 2 時，方程組有非

49、零解。高等代數2行列式2.8 Laplace2.8 Laplace展開定理展開定理高等代數2行列式 利用行列式的依行（列）展開可以把n階行列式化為n-1階行列式來處理，這在簡化計算以及證明中都有很好的應用。但有時我們希望根據行列式的構造把n階行列式一下降為n-k階行列式來處理，這是必須利用Laplace展開定理。為了說明這個方法，先把余子式和代數余子式的概念加以推廣。定義 （k階子式和它的余子式）： 在n階行列式D中，任意取定k行或k列（ 1kn），設為第12, ,ki ii行和第12,kjjj列。位于這些行列式交叉位置上的元素構成的k階子式記為N，則在D中劃去這k行k列后，余下的元素按照原來

50、相對位置所構成的n-k階子式NM，稱為子式N的余子式。定義 （代數余子式）：N的余子式M附以符號 1 21 21kki iij jj，即 1 21 21kki iij jjNNMA稱為N的代數余子式。高等代數2行列式注意：1、 當k=1時，上面定義的余子式和代數余子式就是2.5中關于一個元素的余子式和代數余子式。2、 M是N的余子式，N便是M的余子式，M、N互為余子式。例2.8.1 寫出行列式abcdghpqDstuvwxyz第三行所得的所有二階子式及它們的余子式和代數余式。 二階子式共有中取定第一行和246C 個。引理：n階行列式D的任一個子式N與它的代數余子式NA乘積中的每一項都是行列式D

51、的展開式中的一項，而且符號也一致。 證明：首先考慮N位于行列式D的左上方（即第1，2，k行和第1，2，k列）的情況。這時高等代數2行列式111211111211,11,21,1,11,12,1kknkkkkkkknkkkkkkknNnnnkn knnaaaaaNaaaaaDaaaaaMaaaaaD中k階子式N的余子式NM位于右下角，其代數余子式為NA 111kkNNNAMM N的每一項可寫作：1212kiikia aa，其中12, ,ki ii是1，2，k的一個排列。所以這一項前面所帶符號為：1 21ki ii， NM中每一項可寫為121,2,kknkikin iaaa其中12,kkniii是k+1,k+2,n的一個排列。這一項在M中所帶的符號是：高等代數2行列式121kkniii（或 121kknikikik）。這兩項的乘積是：1212121,2,kkkniikikikinia aa aaa所帶的符號是：1 2121kkkni iiiii由于,1,2,kjijnk都比k大，所以上述符號等于1 2121k kkni ii iii。因此這個乘積是行列式D中的一項而且符號相同。 現考慮N位于D的第12, ,ki ii行，第12,kjjj列。這里1212;kkiiijjj為了利用前面的結論，我們先把第1i行依次與111,2,1ii行對換，這樣經過11