數(shù)學(xué)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方知識點(diǎn)講解答案

1、數(shù)學(xué)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方知識點(diǎn)講解答案數(shù)學(xué)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方知識點(diǎn)講解答案1 .拋物線定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線, 點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)不在定直線上。 它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當(dāng)e=l 時(shí)為拋物線，當(dāng)02 .拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，參數(shù)的幾何意義，是焦點(diǎn)到準(zhǔn) 線的距離，掌握不同形式方程的幾何性質(zhì)（如下表）：其中為拋物線上任一點(diǎn)。3 .對于拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，以簡化運(yùn)算。4 .拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，直 線與的斜率分別為，直線的傾斜角為，則有，。說明：1 .求拋物線方程時(shí)，若

2、由己知條件可知曲線是拋物線一般用待定 系數(shù)法;若由已知條件可知曲線的動點(diǎn)的規(guī)律一般用軌跡法。2 .凡涉及拋物線的弦長、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問題時(shí)要注意利用 韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算。3 .解決焦點(diǎn)弦問題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注 意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)?！窘忸}方法指導(dǎo)】例1.己知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，旦與圓相交 的公共弦長等于，求此拋物線的方程。解析：設(shè)所求拋物線的方程為或設(shè)交點(diǎn)(ylO)貝I, ，代入得點(diǎn)在上，在上或，J故所求拋物線方程為或。例2.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋 物線的準(zhǔn)線上，且軸，證明直線經(jīng)過原點(diǎn)。解析：證法一：由題意知

3、拋物線的焦點(diǎn)故可設(shè)過焦點(diǎn)的直線的方程為由，消去得設(shè)，則; 軸，且在準(zhǔn)線上點(diǎn)坐標(biāo)為于是直線的方程為要證明經(jīng)過原點(diǎn)，只需證明，即證注意到知上式成立，故直線經(jīng)過原點(diǎn)。證法二：同上得。又軸，且在準(zhǔn)線上，點(diǎn)坐標(biāo)為。于是, 知三點(diǎn)共線，從而直線經(jīng)過原點(diǎn)。證法三：如圖，設(shè)軸與拋物線準(zhǔn)線交于點(diǎn)，過作，是垂足則，連結(jié)交于點(diǎn)，則又根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，因此點(diǎn)是的中點(diǎn)，即與原點(diǎn)重合，直線經(jīng)過原點(diǎn)。評述：本題考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運(yùn)算 能力和邏輯推理能力。其中證法一和二為代數(shù)法，證法三為幾何法, 充分運(yùn)用了拋物線的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為巧妙?！究键c(diǎn)突破】【考點(diǎn)指要】拋物線部分是每年高考必考內(nèi)容，

4、考點(diǎn)中要求掌握拋物線的定義、 標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)，多出現(xiàn)在選擇題和填空題中，主要考查基 礎(chǔ)知識、基礎(chǔ)技能、基本方法，分值大約是5分?？疾橥ǔ７譃樗膫€(gè)層次：層次一：考查拋物線定義的應(yīng)用；層次二：考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法；層次三：考查拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用；層次四：考查拋物線與平面向量等知識的綜合問題。解決問題的基本方法和途徑：待定系數(shù)法、軌跡方程法、數(shù)形結(jié) 合法、分類討論法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法?！镜湫屠}分析】例3. (2006江西)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上 一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B.C. D.答案：B解析：解法一：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則解得或(舍)，代入拋物線可得點(diǎn)的坐標(biāo)為。解法二

5、：由題意設(shè)，貝IJ,即，求得，點(diǎn)的坐標(biāo)為。評述：本題考查了拋物線的動點(diǎn)與向量運(yùn)算問題。例4. (2006安徽)若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值 為()A. -2B. 2C. -4D. 4答案：D解析：橢圓的右焦點(diǎn)為，所以拋物線的焦點(diǎn)為，貝人評述：本題考查拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的基本量的關(guān)系?！具_(dá)標(biāo)測試】一.選擇題：1 .拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)的值是。A. B. C. D.2.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在軸上，又拋物線上的點(diǎn)，與 焦點(diǎn)的距離為4,則等于()A. 4B. 4 或-4C. -2D. -2 或 23.焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.或C. D.或4 .圓心

6、在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程 為()A. B.C. D.5 .正方體的棱長為1,點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面上的動點(diǎn)，且點(diǎn) 到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為1,則點(diǎn)的軌跡是()A.拋物線B.雙曲線C.直線D.以上都不對6 .己知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到此拋物線準(zhǔn)線的距離為，到直 線的距離為，則的最小值是()A. 5B. 4C. D.7.己知點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)的坐標(biāo)是， 則的最小值是。A. B. 4C. D. 58.過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值 是()A. 12B. -12C. 3D. -3二.填空題：9 .已知圓和拋物線的準(zhǔn)線

7、相切，則的值是 o10 .己知分別是拋物線上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)，則直線的方程為 o11 .過點(diǎn)(0, 1)的直線與交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則o12 .己知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，那么線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是 o三.解答題：13 .已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為軸，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn) 的距離是5,求拋物線的方程。14 .過點(diǎn)(4, 1)作拋物線的弦，恰被所平分，求所在直線方程。15 .設(shè)點(diǎn)F(l, 0), M點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且。當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；設(shè)是曲線上的三點(diǎn)，且成等差數(shù)列，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€與軸交于 E（3, 0）時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。【綜合測試】一.選擇

8、題：1. （2005上海）過拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于兩點(diǎn), 它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線（）A.有且僅有一條B.有且僅有兩條C.有無窮多條D.不存在2. （2005江蘇）拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)的縱坐標(biāo) 是（）A. B. C. D. 03. （2005遼寧）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為，若它的一 條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線的交點(diǎn)與原點(diǎn)的 距離是。A. B. C. D. 214. （2005全國I ）己知雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合， 則該雙曲線的離心率為0A. B. C. D.5. （2004全國）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若過點(diǎn)的直

9、線與拋 物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是0A. B. C. D.6. （2006山東）動點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，為原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)取得最小值, 則的最小值為（）A. B. C. D.7. （2004北京）在一只杯子的軸截面中，杯子內(nèi)壁的曲線滿足拋 物線方程，在杯內(nèi)放一個(gè)小球，要使球觸及杯子的底部，則該球的 表面積的取值范圍是（）A. B. C. D.8. （2005北京）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，直線與該拋物線相交于兩點(diǎn), 則點(diǎn)及點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和為（）A. 8B. 7C. 10D. 12二.填空題：9. （2004全國IV）設(shè)是曲線上的一個(gè)動點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn) 到軸的距離之和的最小值是。10. （2005北京）過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于軸的弦為，以為直徑的 圓為，則圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是，圓的面積是 o11. （2005遼寧）己知拋物線的一條弦，所在直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo) 為（0, 2）,則 o12. （2004黃岡）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，現(xiàn)將拋物線沿向量 進(jìn)行平移，且使得拋物線的焦點(diǎn)沿直線移到點(diǎn)處，則平移后所得拋 物線被軸截得的弦長 o三.解答題：13. （2004山東）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，直線過定點(diǎn)且與拋物 線交于兩點(diǎn)。若以弦為直徑的圓恒過原點(diǎn)，求的值；在的條件下，若，求動點(diǎn)的軌跡方程。14. （2005 四川）如圖，是拋物線的焦