高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用復(fù)習(xí)Word版

1、等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用高考要求 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是等差、等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的引申 應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解題，往往可以回避求其首項(xiàng)和公差或公比，使問題得到整體地解決，能夠在運(yùn)算時(shí)達(dá)到運(yùn)算靈活，方便快捷的目的，故一直受到重視 高考中也一直重點(diǎn)考查這部分內(nèi)容 重難點(diǎn)歸納 1 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題的既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)去應(yīng)用 2 在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形 3 “巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”

2、，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果 典型題例示范講解 例1已知函數(shù)f(x)= (x<2) (1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);(2)設(shè)a1=1, =f-1(an)(nN*),求an;(3)設(shè)Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對(duì)任意nN*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由 命題意圖 本題是一道與函數(shù)、數(shù)列有關(guān)的綜合性題目，著重考查學(xué)生的邏輯分析能力 知識(shí)依托 本題融合了反函數(shù)，數(shù)列遞推公式，等差數(shù)列基本問題、數(shù)列的和、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)于一爐，結(jié)構(gòu)巧妙，形式新穎，是一道精致

3、的綜合題 錯(cuò)解分析 本題首問考查反函數(shù)，反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，(2)問以數(shù)列為橋梁求an,不易突破 技巧與方法 (2)問由式子得=4,構(gòu)造等差數(shù)列,從而求得an,即“借雞生蛋”是求數(shù)列通項(xiàng)的常用技巧；(3)問運(yùn)用了函數(shù)的思想 解 (1)設(shè)y=,x<2,x=,即y=f-1(x)= (x>0)(2)，是公差為4的等差數(shù)列，a1=1, =+4(n1)=4n3,an>0,an= (3)bn=Sn+1Sn=an+12=,由bn<,得m>,設(shè)g(n)= ,g(n)= 在nN*上是減函數(shù)，g(n)的最大值是g (1)=5,m>5,存在最小正整數(shù)m=

4、6,使對(duì)任意nN*有bn<成立 例2設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問數(shù)列l(wèi)gan的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)命題意圖 本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的了解以及運(yùn)算、分析能力 知識(shí)依托 本題須利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式合理轉(zhuǎn)化條件，求出an;進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)明確數(shù)列l(wèi)gan為等差數(shù)列，分析該數(shù)列項(xiàng)的分布規(guī)律從而得解 錯(cuò)解分析 題設(shè)條件中既有和的關(guān)系，又有項(xiàng)的關(guān)系，條件的正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，計(jì)算易出錯(cuò)；而對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)也是易混淆的

5、地方 技巧與方法 突破本題的關(guān)鍵在于明確等比數(shù)列各項(xiàng)的對(duì)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，而等差數(shù)列中前n項(xiàng)和有最大值，一定是該數(shù)列中前面是正數(shù)，后面是負(fù)數(shù)，當(dāng)然各正數(shù)之和最大；另外，等差數(shù)列Sn是n的二次函數(shù)，也可由函數(shù)解析式求最值 解法一 設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,mN*,依題意有化簡(jiǎn)得 設(shè)數(shù)列l(wèi)gan前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1n·q1+2+(n1)=nlga1+n(n1)·lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()·n2+(2lg2+lg3)·n可見，當(dāng)n=時(shí)，Sn最大 而=5,故lgan的前5項(xiàng)和最大 解法二

6、接前，,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg,數(shù)列l(wèi)gan是以lg108為首項(xiàng)，以lg為公差的等差數(shù)列，令lgan0,得2lg2(n4)lg30,n=5 5 由于nN*,可見數(shù)列l(wèi)gan的前5項(xiàng)和最大 例3等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，求它的前3m項(xiàng)的和為_ 解法一 將Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得 解法二 由知，要求S3m只需求ma1+,將得ma1+ d=70,S3m=210 解法三 由等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式知，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，即Sn=An2+Bn(A、B是常數(shù)） 將Sm=30,S2m=100代入，得,S3m=A&

7、#183;(3m)2+B·3m=210解法四 S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+a3m=S2m+(a1+2md)+(am+2md)=S2m+(a1+am)+m·2md=S2m+Sm+2m2d 由解法一知d=,代入得S3m=210 解法五 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知 Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差數(shù)列，從而有 2(S2mSm)=Sm+(S3mS2m)S3m=3(S2mSm)=210解法六 Sn=na1+d,=a1+d點(diǎn)(n, )是直線y=+a1上的一串點(diǎn)，由三點(diǎn)(m,),(2m, ),(3m, )共線，易得S3m=3(S2mSm)=210 解法七 令m=1得S1=30，

8、S2=100，得a1=30,a1+a2=100,a1=30,a2=70a3=70+(7030)=110S3=a1+a2+a3=210答案 210 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,若，則Sn等于( )C 2D 22 已知a,b,a+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且0<logm(ab)<1,則m的取值范圍是_ 3 等差數(shù)列an共有2n+1項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319，偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則其中間項(xiàng)為_ 4 已知a、b、c成等比數(shù)列，如果a、x、b和b、y、c都成等差數(shù)列，則=_ 5 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S

9、13<0 (1)求公差d的取值范圍；(2)指出S1、S2、S12中哪一個(gè)值最大，并說明理由 6 已知數(shù)列an為等差數(shù)列，公差d0,由an中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列a,a,a,為等比數(shù)列，其中b1=1,b2=5,b3=17 (1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)記Tn=Cb1+Cb2+Cb3+Cbn,求 7 設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分別求出an及bn的前n項(xiàng)和S10及T10 8 an為等差數(shù)列，公差d0,an0,(nN*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(kN*)(1)求證 當(dāng)k取不同自然數(shù)時(shí)，此方程有公共根；(2)若方

10、程不同的根依次為x1,x2,xn,求證 數(shù)列為等差數(shù)列 參考答案:1 解析 利用等比數(shù)列和的性質(zhì) 依題意，而a1=1,故q1,根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知S5，S10S5，S15S10,也成等比數(shù)列，且它的公比為q5,q5=,即q= 答案 B2 解析 解出a、b,解對(duì)數(shù)不等式即可 答案 (,8)3 解析 利用S奇/S偶=得解 答案 第11項(xiàng)a11=29來源:高&考%資(源#網(wǎng) wxcKS5Uaaa4 解法一 賦值法 解法二 b=aq,c=aq2,x=(a+b)=a(1+q),y=(b+c)=aq(1+q), =2 答案 25 (1)解 依題意有 解之得公差d的取值范圍為d3 (2)解法一 由d0

11、可知a1>a2>a3>>a12>a13,因此，在S1，S2，S12中Sk為最大值的條件為 ak0且ak+10,即a3=12,，d0,2k3d3,4,得5 5k7 因?yàn)閗是正整數(shù)，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大 解法二 由d0得a1>a2>>a12>a13，若在1k12中有自然數(shù)k,使得ak0,且ak+10,則Sk是S1，S2，S12中的最大值 由等差數(shù)列性質(zhì)得，當(dāng)m、n、p、qN*,且m+n=p+q時(shí)，am+an=ap+aq 所以有2a7=a1+a13=S130,來源:高&考%資(源#網(wǎng) wxcKS5Uaaaa70,

12、a7+a6=a1+a12=S12>0,a6a7>0,故在S1，S2，S12中S6最大 解法三 依題意得 最小時(shí)，Sn最大；d3,6(5)6 5 從而，在正整數(shù)中，當(dāng)n=6時(shí)，n (5)2最小，所以S6最大 點(diǎn)評(píng) 該題的第(1)問通過建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易 第(2)問難度較高，為求Sn中的最大值Sk,1k12,思路之一是知道Sk為最大值的充要條件是ak0且ak+10，思路之三是可視Sn為n的二次函數(shù)，借助配方法可求解 它考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計(jì)算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點(diǎn) 而思路之二則是通過等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布

13、規(guī)律，找出“分水嶺”，從而得解 6 解 (1)由題意知a52=a1·a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d2,d0,a1=2d,數(shù)列的公比q=3,=a1·3n1又=a1+(bn1)d=由得a1·3n1=·a1 a1=2d0,bn=2·3n11 (2)Tn=Cb1+Cb2+Cbn=C (2·301)+C·(2·311)+C(2·3n11)=(C+C·32+C·3n)(C+C+C)=(1+3)n1(2n1)= ·4n2n+,7 解 an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a2+a4=2a3,b2·b4=b32,來源:高&考%資(源#網(wǎng) wxc已知a2+a4=b3,b2·b4=a3,b3=2a3,a3=b32,得b3=2b32,b30,b3=,a3=