全國二卷理科數(shù)學(xué)高考真題及答案

1、2017 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國2卷）、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A. 1 2i B . 1 2i2.設(shè)集合1,2,4 ,2 一一一 一x x 4x m 0 .若 IA.1, 3 B . 1,01,3 D . 1,57層塔共掛了3.我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座 倍，則塔的頂層共有燈（）“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的A. 1盞4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,幾何體由一平面將一圓柱截去一

2、部分后所得,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該 則該幾何體的體積為（）A. 9042. 36y滿足約束條件A.152x2x3y3y ；00,則z 2xy的最小值是（）6.安排3名志愿者完成 的安排方式共有（）4項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),A. 12 種每項(xiàng)工作由1人完成，則不同7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中 有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的 成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則（）/輸入a /S=0,K=1否S=S+a?<K&6是a= aK=K+ 1/輸出s/結(jié)束）A.乙

3、可以知道四人的成績可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績.乙、丁可以知道自己的成績8.執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的1 ,則輸出的S ()A. 2 B9.若雙曲線2C:xra(a 0,0)的一條漸近線被圓x 2y2 4所截得的弦長為2,則C的離心率為A. 232、, 3310.已知直三棱柱1C1 中,120°,2, CCC11,則異面直線1與C1所成角的余弦值為A/ A.2,15510511.若 x2是函數(shù)f(x)(x2 ax 1)ex1'的極值點(diǎn)，則f (x)的極小值為()A. 1B.2e 3C.5e 3D.112.已知ABC是邊長為2的等邊三角形,uuuP為平面A

4、BC內(nèi)一點(diǎn)，則PAuuu(PBuurPC)的最小值是()A. 2B.C.D.二、填空題：本題共 4小題，每小題5分,共20分。13.一批產(chǎn)品的二等品率為 0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件數(shù)，則2 一 314.函數(shù) f x sin x V3 cosx 一(x40,-)的最大值是.15.等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn, a3 3, S410 ,則一 k 1 Sk16. 已知F是拋物線C: y2 8x的焦點(diǎn)， 是C上一點(diǎn)，F(xiàn) 的延長線交y軸于點(diǎn) .若 為F的中點(diǎn)，則F .三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第 1721題為必做

5、題，每個試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分。B17. (12分) ABC的內(nèi)角A, B,C的對邊分別為a,b,c，已知sin(A C) 8sin2.2 求cosB (2)若a c 6 , ABC面積為2,求b.18. (12分)淡水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)其頻率分布直方圖如下：(1) 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg ”估計A的概率；(2) 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否

6、有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量v 50kg箱產(chǎn)量 50kg1日養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01 )P (K，Q0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)19. （12分）如圖，四棱錐 P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面 ABCD,1oAB BC -AD, BAD ABC 90,E 是 PD 的中點(diǎn). 2(1)證明：直線CE/平面PAB（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45° ,求二面角

7、M-AB-D的余弦值x220. （12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn) M在橢圓C： 一21上，過M做x軸的垂線，垂足為 N,點(diǎn)P滿uuulUluu足 NP 、2NM .(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；uuu uur(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且OP PQ 1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.21. (12 分)已知函數(shù) f(x) ax2 ax xlnx,且 f(x) 0.(1)求 a;(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn) x0，且e2 f(x0) 2 2.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一題計分。22 .選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10

8、分)在直角坐標(biāo)系 xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4 .(1) MK/曲線Ci上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OMlk,且滿足|OM | |OP| 16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方 程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2,),點(diǎn)B在曲線C2上，求 OAB面積的最大值. 323 .選彳4-5:不等式選講(10分)已知 a 0,b 0,a3 b3 2,證明：1) (a b)( a5b5)4 ；2) a b 2 2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(n)試題答案一、選擇題1 .D 2.C 3.B 4.B5.A6.D7 .D 8.B 9.A10.C11

9、.A12.B二、填空題13. 1.9614. 115.2n-16.6n 1三、解答題17.解:(1)由題設(shè)及 ABC 得sinB 8sin2,故 2sinB 41-cosB)上式兩邊平方，整理得17cos2B-32cosB+15=015斛得 cosB= 1 (舍去)，cosB=一17-acsin B 24一 ac17.15 18(2)由 cosB=得 sin B ,故 S ABC 17174又 S abc =2,貝I ac172由余弦定理及a c 6得,222b a c 2accosB(a+c)2 2ac(1 cosB)36 27(1 17)所以b=218.解：(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱

10、產(chǎn)量低于50kg ”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于由題意知PA PBC PBPC舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.040 0.034 0.024 0.014 0.012 5=0.62故P B的估計值為0.62新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為(0.068 0.046 0.010 0.008)5=0.66故P C的估計值為0.6650kg因此，事件A的概率估計值為0.62 0.66 0.4092(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量 50kg箱產(chǎn)量 50kg舊養(yǎng)殖法6238新/廣殖法3466K22200 62 66 34 3815.705100 100 96 104由于

11、 15.705 6.635故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為0.004 0.020 0.044 5 0.34 0.5,箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為0.004 0.020 0.044+0.0685 0.68 0.5故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為c 0.5-0.34 %c 、50+= 52.35(kg).0.06819.解:(1)取PA中點(diǎn)F ,連結(jié)EF , BF .1.一1因?yàn)?E 為 PD 的中點(diǎn)，所以 EF PAD , EF =AD ,由 BAD ABC 90 得 BC/AD ,又 BC -AD 22

12、所以EF ±BC .四邊形BCEF為平行四邊形， CE/ BF .又BF 平面PAB , CE 平面PAB ,故CE /平面PAB(2)由已知得BA AD ,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),uurAB的方向?yàn)閤軸正方向,uuuAB為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,0) , B(1, 0, 0) , C(1uurPC (1。- uuuM3) , AB (1,0,0)則uuuuBM (x 1,uuuuy, z), PM (x , y 1,因?yàn)锽M底面ABC所成的角為45°,而n (0,0, 1)是底面ABCD勺法向量，所以/uuuir0cos1' BM,n J sin

13、45z(x 1)22y2 z2 至即(x-1 ) 2 +y2 -z 2 =0uuuruur又M在棱PC上，設(shè)PM PC,則x ,y 1,z33x=1 +=x=1-三22由，得y=1(舍去)，y=1、.6J6z z 22所以M1-。,與,從而AM T-與設(shè) m = x。，y。，z。是平面ABM勺法向量，則2- J x02y06ZomgABX00所以可取m= (0,-褥，2).于是 cos m, nmgnm n105因此二面角M-AB-D的余弦值為叵520.解(1)設(shè) P (x,y) ,M (x0,y。),設(shè) N (x0,0 ),UULTNP xuuuurXo, y , NM 0, V。2Tyuu

14、ur -uuuur由 NPT2NM 得 x0=x, y°因?yàn)镸 (x0,y°)在C上，所以因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22(2)由題意知 F (-1,0 ).設(shè) Q (-3, t) ,P(m,n),則uurOQ3,tuur ,PFm,uuir uurn , OQgPF 3 3m tn ,uuuOPm, nuuu ,PQm,tuuu uuir 由 OPgPQ1 得-3 mtn1 ,又由(1)知 m2 +n2 =2,故3+3m-tn=0uuu uuur 所以O(shè)QgPF0,即uur OQuuurPF又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ所以過點(diǎn)P且垂直于OQW直線l過C的左焦點(diǎn)F.21.解

15、:(1)f x的定義域?yàn)?0, +x = ax等價于g因?yàn)間 1 =0,g x 0,故g' 1 =0,而g'g' 1 =a1,得 a1若a=1,則g'1一，x = 1 一 .當(dāng) 0VxV 1 時, x<0, g x單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時,g' x >0, g x單調(diào)遞增.所以x=1是g x的極小值點(diǎn),=0綜上，a=1(2)(1)知 fln x, f(x)2x 2 ln x2x2lnx,則h '( x)0,2 時,時,h ' x >0 ,所以 h x單調(diào)遞減'在：單調(diào)遞增2 >0, h所以0, 1有唯一零

16、點(diǎn)Xo ,2有唯一零點(diǎn)1 ,且當(dāng)x 0,x0 時,x0,1時,h x <0 ,當(dāng) x 1,+ 時,>0 .因?yàn)閒 ' x h x ,所以x=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)由 f ' x00得 In x0 ax0 1),故f x0 =x0(1x0),g1由 x00,1 得 f ' x0 一4因?yàn)閤=x。是f(x)在(0,1 )的最大值點(diǎn)，由 e 10,1 ,f ' e 10得12f x0 >f e e所以 e 2<f x0 <2-222.解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為 ，>0 , M的極坐標(biāo)為1，1>。，由題設(shè)知4OP = , OM =1 =cos由OM gOP = 16得C2的極坐標(biāo)方程 =4cos >022因此C2的直角坐標(biāo)方程為x 2 y 4 x 0