曲線積分與曲面積分期末復(fù)習(xí)題高等數(shù)學(xué)下冊(cè)

1、、選擇題第十章 曲線積分與曲面積分答案1.曲線積分l f(x) ex sin ydx f (x)cos ydy與路徑無關(guān)，其中f (x)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f (0)0,則 f(x) B2.3.4.5.6.7.8.9.A.2(exxe)B.1/ x2(exe )C.-(ex e 2閉曲線閉曲線A.2C 為 4x22 B.為YOZ平面上設(shè) C : x2A. 2B.設(shè)為球面A. 41的正向，則ydxxdy廠B.B.1的正向，則？Cydx xdy4x2D.(x2)dsC._ / 2?(xC14 y2)dsD.C.1 ,則曲面積分C.設(shè) L 是從 O(0,0)到 B(1,1)A.設(shè)i=I=DA.D.L

2、 yds如果簡(jiǎn)單閉曲線A.其中B.dS1 、x2 y2=2的值為B zD.的直線段，則曲線積分C.22D.yds C.22L是拋物線5.512C.2 .x2上點(diǎn)(0,05.5 1 D6.所圍區(qū)域的面積為，那么ydy；B.與點(diǎn)(1,1)之間的一段弧，55 1121 xdx2 lC.1.a ydx xdy;D.1.-：xdy ydx。10.設(shè) S: x2 y* 2 z2R2(z 0) , S1為S在第一卦限中部分，則有A.xds 4 xdsB.SSiC.zds 4 zdsD.SS1yds 4 ydsSS1xyzds 4 xyzdsSS1二、填空題1.設(shè) L 是以(0, 0), (1,0), (1,

3、 1), (0, 1)2- L ydx (ey x)dy -2為頂點(diǎn)的正方形邊界正向一周，則曲線積分為球面x2 y2 z2 a2的外側(cè)，則 (ysz)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy3.ydx xdy22x22 " xdy ydx n y2 1 x y4.曲線積分？(x2y2)ds,其中C是圓心在原點(diǎn)，半徑為a的圓周，則積分值為2 a35 .設(shè)2為上半球面 z J4 x y- z 0 ,則曲面積分 x? y z ds = 32兀6 .設(shè)曲線C為圓周x2y2 1,則曲線積分 ？ x2 y2 3x ds 2.7 .設(shè)C是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)為頂點(diǎn)的三

4、角形邊界，則曲線積分 (x y)ds 1 + J2c8 . 設(shè) 為上半球面z J4xy2 ,則曲面積分,ds =的值為 -222Q1- x y z 39 .光滑曲面z=f (x, y)在xoy平面上的投影區(qū)域?yàn)?D,則曲面z=f (x, y)的面積是S . 1 ( z)2 ( z)2d d x y三、計(jì)算題1.enxds,其中L為圓周x2L2y 1,直線y x及x軸在第一象限所圍圖形的邊界。解：記線段OA方程yx,0 x2x cos,圓弧AB方程,02y sin線段OB方程y 0,0則原式=e"x y ds +OA2一_ds +e，y ds = 2 e" &dx +

5、0OB4 ed01exdx0= 2(e 1)2.xxydxLyxy ln(x 亞)dy ,其中 L 為曲線 y sin x,0與直線段 y 0,0 x所圍閉區(qū)域D的正向邊界。解：利用格林公式,yxy ln(x , x2),則故原式=(Dp、，)dxdyyy2dxdysin x 2dx y dy003.sin xdx 03-y2dx x2dy,其中LL為圓周R2的上半部分,L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針。x解：L的參數(shù)方程為yR cost,t從0變化到Rsint故原式=q R2sin21( Rsin t)R2 cos2 t(Rcost)dt=R3 0 (1 cos21)( sin t) (1 sin2t)co

6、s tdt4R34.求拋物面22、z x y被平面z1所割下的有界部分的面積。解：曲面的方程為z x2y2,( x, y) D,這里D為在XOY平面的投影區(qū)域(x, y) x2y21。故所求面積=/22 ,1 Zx Zy dxdy,22、. .4(x y )dxdy21 25,5 1.dJi 4r rdr #0065、計(jì)算(ex sin y my)dx (ex cosy m)dy ,其中 L 為圓(x a)2 y2 a2(a 0)的上L半圓周，方向?yàn)閺狞c(diǎn) A(2a,0)沿L到原點(diǎn)Q解：添加從原點(diǎn)到點(diǎn)A的直線段后，閉曲線所圍區(qū)域記為D,利用格林公式P (ex sin y my), Q ex co

7、sy m ,P excosy m,工yxxe cos y(ex sin yLmy)dx (excosy m)dy + (exsin y my)dx (excosy m)dyOAm dxdyD而OAx _(e sin ymy)dx，x2 .2a一(e cosy m)dy = o 0dx 0 0,于無便有2(eLxm amy)dx (e cosy m)dy =-6.(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz,其中 L 為球面 x2y2z21 在第L卦限部分的邊界，當(dāng)從球面外看時(shí)為順時(shí)針。解：曲線由三段圓弧組成，設(shè)在 YOZ平面內(nèi)的圓弧 AB的參數(shù)方程x 0y cost , t從一變化到0。2

8、 z sin t于是(y2 z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2)dz = sin2t( sint) cot(cost)dt =)AB23由對(duì)稱性即得222222222222(y z )dx (z x )dy (x y )dz 3 (y z )dx (z x )dy (x y )dz 4LAB#7. (x 1)dydz (y 1)dzdx (z 1)dxdy,其中 為平面 x y z 1,x 0, y 0,z 0所圍立體的表面的外側(cè)。解：記1為該表面在XO竹面內(nèi)的部分，2為該表面在YOZ平面內(nèi)的部分，3為該表面在XOZ平面內(nèi)的部分,4為該表面在平面x y z 1內(nèi)的部分。i的方程為z

9、0,0 y 1 x,0 x 1,根據(jù)定向，我們有(x 1)dydz (y 1)dzdx (z1同理， (x 1)dydz (y 1)dzdx 2(x 1)dydz (y 1)dzdx 34的方程為z 1 x y,0 y 1(z 1)dxdy (2 x40 x 10 y 1 x由對(duì)稱性可得(x 1)dydz (y 1441)dxdy = (z 1)dxdy = dxdy10 x 10 y 1 x1(z 1)dxdy-1(z 1)dxdy-x,0 x 1,故、一 2y) dxdy -5-2)dzdx 一，3故 (x1)dydz(y1)dzdx (z 1)dxdy 24，11#ex y)dxdy,其

10、中于是所求積分為2131228 .計(jì)算曲面積分：(x y z) dydz 2 y sin(z x) dzdx (3zS為曲面x y z 1的外側(cè)。解：利用高斯公式，所求積分等于(1lu Iv w 1八J 12 3)dxdydz = 60% =89 .計(jì)算I= xydydz yzdzdx xzdxdy,其中 S 為 x+y+z=1, x=0, y=0, z=0 所圍立 s體的表面外側(cè)解：設(shè)V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所圍的立體由Gass公式得：I= (x y z)dxdydz V=0dx 0 xdy 0 x y(x y z)dz=1#810.計(jì)算I=32.2x dx 3zy

11、dy xydz,其中 是從點(diǎn) A(3, 2, 1) 到點(diǎn) B(0, 0, 0)的直線段AB解：直線段AB的方程是- y3 2x=3t, y=2t, z=t, t所以：z ；化為參數(shù)方程得:從1變到0,32 .2.x dx 3zy dy x ydz0321 (3t)3 3 3t(2t)2 2(3t)2 2tdt0 3=87 t3dt187411.計(jì)算曲線積分I= (exsin AMO 'y 2y)dxx(e cosy2)dy,其中AMO是由點(diǎn)A(a,0)至點(diǎn)O(0, 0) 的上半圓周x22y ax解：在x軸上連接點(diǎn) O(0, 0), A(a, 0)將AMO擴(kuò)充成封閉的半圓形 AMOA在線

12、段 0Ah ,OA(exsiny 2y)dx,x(e cos y2)dyAMO AMO OAAMOA又由Green公式得：AMOA(exsiny2y)dxx(e cosy2)dy2 xa22dxdy4ax12.計(jì)算曲線積分口Lz3dx x3dy線沿著曲線的正向看是逆時(shí)針方向解：將L寫成參數(shù)方程：x=cost, y=sint, z=2 t: 0于是： l z3dx x3dy y3dz = 2另證：由斯托克斯公式得y3dz其中8sin tdtL 是 z=2 (x22240 cos4 tdty2)與 z=3 x2 y2的交Lz3dx x3dy y3dz 二(3y20)dydz(3z20)dxdz:z

13、 2,x2 y2 1 上側(cè)，則:? z3dx x3dy y3dz 3x2 y22 .x dxdy 31cos2 dr13.設(shè)曲面S為平面x+y+z=1在第一卦限部分,2(3x2 0)dxdy計(jì)算曲面s的面積I解：S在xoy平面的投影區(qū)域?yàn)椋篋xy (x, y) 0 y 1 x,0 x 11dS= <r3dxdy = 0dxSD xyx1. 3V3dy = 0 43(1 x)dx 14.計(jì)算曲線積分(x y)dx (xL22x yydy其中L是沿著圓（x 1）2 （y1)2 1從點(diǎn)A(0,1)到點(diǎn) B(2, 1)的上半單位圓弧解：設(shè) P(x, y)Q(x,y)x y"-22x y

14、當(dāng) x2 y2 0時(shí)， y2 y(x22x 2xy2、2y )故:所求曲線積分在不包圍原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)則:(x y)dx (x y)dy _ (x y)dx (x y)dyAB15.關(guān)。解:20(、，1, L ， C-)dx = ln5-arctan2 12確定的值，使曲線積分 x2C4xy dx 6x 1y2 2y dy在XoY平面上與路徑無當(dāng)起點(diǎn)為 0,0 ,終點(diǎn)為 3,1時(shí)，求此曲線積分的值。由已知，P2x 4xy ,Q 6x1 2y 2y ；由條件得3,3,10,04xy3 dx2 26x y2y dy 1x 322 3y 2x y3,10,02616.設(shè)曲面S為球面x24被平面

15、z=1截出的頂部，計(jì)算-dS z解：S的方程為：z寸4S在xoy平面的投影區(qū)域?yàn)?Dxy(x, y)y2 32d 4 x2 xydxdy = y.32r2 dr = 4 ln 2 r17.計(jì)算 I= yzdydzxzdzdx (x yz)dxdy ,其中 是 x2y2(z a)2a2 ,0 z a,取下側(cè)解：作輔助曲面 1： z=a , (x2 y2 a2)取上側(cè)設(shè) 為x2 y2 (z a)2 a2, z a所圍閉區(qū)域222Dxy為平面區(qū)域x y a)yzdydz1xzdxdz (x y z)dxdydxdydz(xDxy、一 23y a) dxdy = a3a dxdyDxy(x y)dxd

16、y 0)Dxyacost,取順時(shí)針方向,x18. . L為上半橢圓圓周Lydxydzdx所圍的整個(gè)曲面的外側(cè)。解：bsintLydxxdy.xdy0bsint (0ab dtaba sin t)acost (bcost)dt(z22z)dxdy,其中 為錐面zy2 與 z 1由高斯公式，可得(1 1 2z2)dv20 .計(jì)算曲線積分?L(yex)dx(3x2 x ey)dy ,其中L是橢圓-2a2 y b21的正向。解：令 P y ex, Q 3xey,則設(shè)L所圍成的閉區(qū)域?yàn)?D ,則其面積ab。從而由格林公式可得I ?(y ex)dx (3x ey)dy2dxdy 2 dxdy 2 ab.D

17、21 .設(shè)為柱面x2 z2 a20的兩個(gè)卦限內(nèi)被平面 y 0及y h所截卜部分的外側(cè)，試計(jì)算Ixyzdxdy。解：將分成1與2,其中221： z<ax（取上側(cè)），2： z <a2 x2 （取下側(cè)），i與2在xoy面上的投影為Dxy: 0 x a,022.dSDyz23.解:xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy12xy a2 x2dxdyDxy2 xy . a2 x2 dxdy Dxy13, 2a h .3xy(Dxy計(jì)算曲面積分I z2dS,其中 是柱面x設(shè)1為在第一卦限的部分曲面。2 x dydz z2dydz4 y2:0 y 2,02z2dS 4計(jì)算曲面積分z2dSI

18、 (za2 x2)dxdy.h -122dx 0 x a x2y24介于0,4-xy ,一yyozydyz 6的部分。2z24-2 dydzDyz .4 yc 1.8. dy04 y2 y6z2dz02882 x)dydz0及z 2之間部分的下側(cè)。利用高斯公式，取 1 : z 2且x2圍的閉域?yàn)?，21對(duì)應(yīng)的Dxy為：x1zdxdy,其中是旋轉(zhuǎn)拋物面 z -（22、.x y )介于2y 4。取上側(cè)， 與1構(gòu)成封閉的外側(cè)曲面，所222(z x)dydz zdxdy (z x)dydz zdxdy (z x)dydz zdxdy1 1(1 1)dv 2dxdy12 dv 2dxdyDxy2222d

19、dr 2rdz 2212900Jr880.#24.計(jì)算曲線積分I y x dx-y x dy ,其中C是自點(diǎn)A 2,1沿曲線 C x ycosx到點(diǎn)B2,1的曲線段。解：P 口,Q G x y x yP x2 2xy y2 yx2 y2 2y2 0取小圓周C :x2 y2充分小，取逆時(shí)針方向,則由Green公式可得：,1,、,I?(y x)dx C(yx)dy2 1 x ,；dx2 1 x22 2arctan 225.用高斯公式計(jì)算22A x y dxdy y z xdydz,其中：枉面x y 1及平面z 0,z 3圍成封閉曲面的外側(cè)。解：P y z x,Q 0,R x yy z,原式= y

20、z dvr sin z rdrd dz2sin09d = 92213d rdr rsin z dz00026 .計(jì)算曲面積分Ix 8z 1 dydz 4yzdzdx y 2z2 dxdy ,其中是曲面z 1 x2 y2被平面z 3所截下的部分，取下但U。22 q解：補(bǔ)1: x y 2,取上側(cè)，I3dv dz dxd1Dz 33-o o1 (z 1)dz 2 ，其中 D(z):x y z 1(y 18)dxdy 18 dxdy 36 , I 381DxyDxy27.計(jì)算曲線積分o (x3 xy)dx (x2 y2)dy,其中L是區(qū)域0< x< 1,0<y< 1的邊界正向。

21、解：利用Green公式1 21而 z dxdy ，故 I 121322(x xy)dx (x y )dy= xdxdy xdy dx 一D0 0228、計(jì)算曲面積分22 ,x dydz y dxdzz2dxdy ,其中匯為平面方程x+y+z=1在第一卦限的上側(cè)。解：x2dydz y2dxdz2z dxdy =222x y (1 x y) dxdy或由對(duì)稱性：x2dydzy2dzdxz2dxdy,或.1 3dS dxdy dydzdzdx可知。29.計(jì)管 L xcos ydxysin xdy其中L是由點(diǎn)A (0, 0)至IJB (兀，的直線段。解:AB勺方程y 2xx 0,dy 2dxxcosy

22、dx ysinxdy xcos2x 4xsinx dx 4030、設(shè)f(x)可微，f (0) 1且曲線積分 )2f(x) e2xydx f (x)dy與路徑無關(guān)。求f (x)。解：上 2f x e2x,4因該項(xiàng)積分與路徑無關(guān)，所以Q,有2fxe2x f x。令 yx得微分方程y 2y e2x,解得ye2x x c ,（2分）代入條件f(0)1 得 C=1從而有ye2x31、計(jì)算對(duì)面積的曲面積分y2z2ds,: z kY，其中 1解:Zx匕，曲面在XOY平面上的投影為32、側(cè)。解:四、原式=Z2ZyDxy計(jì)算曲面積分4sin22x補(bǔ)充曲面1 : z2x z dydz3dxdydz綜合題y2 42y2 y、2dxdy =、- 2 0 d12r5sin2 dr1 P%"z dydz1且取上側(cè)，又zdxdydxdy =1、證明在整個(gè) XOY平面上，（exsin求這樣的一個(gè)函數(shù)并計(jì)算（ex sin y的任意一條道路。2 212zdxdy, 其中2 是 曲面2x1的部分的下Q R 3,由高斯公式z dydzzdxdyrdr 3dz0 r2y