傅里葉變換及應(yīng)用

1、傅里葉變換在MATLZB里的應(yīng)用摘要：在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，傅里葉變換是一種非常重要的變換，且在數(shù)字信號(hào)處理中有 著廣泛的應(yīng)用。本文首先介紹了傅里葉變換的基本概念、性質(zhì)及發(fā)展情況；其次，詳細(xì) 介紹了分離變數(shù)法及積分變換法在解數(shù)學(xué)物理方程中的應(yīng)用。俾立葉變換將原來(lái)難以處 理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)，再利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換 成時(shí)域信號(hào)。應(yīng)用MATLAB實(shí)現(xiàn)信號(hào)的譜分析和對(duì)信號(hào)消噪。關(guān)鍵詞：傅里葉變換；MATLAB軟件；信號(hào)消噪Abstract： In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very impor

2、tant ,And has been widely used in digital signal paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ；Secondly, introduces in detai 1 the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical transformati

3、on makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising.Key word： Fourier tran

4、sformation, software of mat lab ,signal denoising1、傅里葉變換的提出及發(fā)展在自然科學(xué)和工程技術(shù)中為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的運(yùn)算，人們常常采用 所謂變換的方法來(lái)達(dá)到目的”例如在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)量的乘積和商可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換化 為較簡(jiǎn)單的加法和減法運(yùn)算。在工程數(shù)學(xué)里積分變換能夠?qū)⒎治鲞\(yùn)算（如微分，積分） 轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，正是積分變換這一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成為 重要方法之一。1804年，法國(guó)科學(xué)家俾里葉由于當(dāng)時(shí)工業(yè)上處理金屬的需要，開(kāi)始從事熱流動(dòng)的 研究”他在題為熱的解析理論一文中，發(fā)展了熱流動(dòng)方程，并且指出如何求解”在求 解

5、過(guò)程中，他提出了任意周期函數(shù)都可以用三角級(jí)數(shù)來(lái)表示的想法。他的這種思想，雖 然缺乏嚴(yán)格的論證，但對(duì)近代數(shù)學(xué)以及物理、工程技術(shù)卻都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，成為傅 里葉變換的起源。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿(mǎn)足一定條件 的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線(xiàn)性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具 有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。俾里葉變換通過(guò)對(duì)函數(shù)的分析來(lái)達(dá)到對(duì)復(fù)雜函數(shù)的深入理解和研究。最初，傅立葉 分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主 義的特征?！叭我狻钡暮瘮?shù)通過(guò)一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線(xiàn)性組合

6、的形式, 而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類(lèi)。利用這一點(diǎn)，傅里葉變換可通 過(guò)對(duì)相對(duì)簡(jiǎn)單的事物的研究來(lái)了解復(fù)雜事物，而且現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅里葉變換具有非常好 的性質(zhì)：（1）傅里葉變換是線(xiàn)性算子，若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù)+它還是酉算子；（2）傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類(lèi)似；（3）正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線(xiàn)性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化 為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解"在線(xiàn)性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì)，從而 系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲?。唬?）著名的卷積定理指出.傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，

7、從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；（5）離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出（其算法稱(chēng)為快速博 里葉變換算法）。（6）正是由于上述的良好性質(zhì)，傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、 概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。2、傅里葉變換的基本概念由傅里葉級(jí)數(shù)知，一個(gè)周期函數(shù)可以展開(kāi)成為傅里葉級(jí)數(shù)，而一個(gè)非周期函數(shù)可以 看成某個(gè)周期函數(shù)其周期趨向于無(wú)窮大轉(zhuǎn)化而來(lái)。根據(jù)這個(gè)思路，我們可以得到傅里葉 積分公式及傅里葉積分公式成立的充分條件一一傅里葉積分定理。傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式，工二、定理設(shè)方是以（°丁8）為周期的實(shí)函數(shù)，且在I 2'21上滿(mǎn)足狄利

8、 克雷條件，即力'（'）在一個(gè)周期上滿(mǎn)足：（1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)；（2） 只有有限個(gè)極值點(diǎn).則在連續(xù)點(diǎn)處，有/ (，)= V + £(% cos如 + a sin not) Z H-l%=(止其中1 51 -% =3J"(/)COS” 加 ( = 12 )勿=方(小山ncotdt(n = 1,2.)TiQu +。） + 方 Co 。）在間斷點(diǎn)。處，（1）式右端級(jí)數(shù)收斂于2x+cos。=又2，.于是xnidX , 一加 川)吟+ Z a:'incx T“<ur e -e2ir 二& r _ J 一血,_ 4產(chǎn) ib八令。.了，

9、 一寸、, “一1,23，則,/ i(0t t ilex , inCX , , ( To .T2" .,-i”3t ,= (?()+1% +c2e + + ce + )+ (je +c2e+ c_e +-J（2）式稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式，具有明顯的物理意義.容易證明或可以合寫(xiě)成一個(gè)式子，即%="艮左。卜-加"力（ =°，±1，±2，-）一傅里葉積分任何一個(gè)非周期函數(shù)/（'）,都可看成是由某個(gè)周期函數(shù)分（'）當(dāng)T-+8時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的.即膽加)=/0 由公式(2)、(3)得可知加)二嗯J £值分(“皿"

10、;“/ w=-x 7Lm J924 7 _ 2"(t) = i -令q =門(mén),叫=q _則 丁或 Aq于是冽=配=£，左（次/ w=-x 7 一=肥。譴歸卜也令場(chǎng)（4 ）=；匹人rdte!（""' 乙兀 5故加二股曲39注意到當(dāng)叫一°'即7 -S時(shí),勿 3) T 取0) = (J。(+從而按照積分的定義，（4）可以寫(xiě)為:)=匚。®"或者%)=匚匚/(3"/十/3公式(5)稱(chēng)為函數(shù)/(')的傅氏積分公式.定理 若/(7)在(-8. +8)上滿(mǎn)足條件：(1) /("在任一有限區(qū)間上滿(mǎn)足

11、狄氏條件；(2) /(I)在無(wú)限區(qū)間(-8, +8)上絕對(duì)可積，即LJ/")W收斂，則(5)在/的連續(xù)點(diǎn)成里；而在/的間斷點(diǎn)。處 /U+oH/Vo)應(yīng)以2來(lái)代替.上述定理稱(chēng)為傅氏積分定理.可以證明，當(dāng)/(”滿(mǎn)足傅氏積分定理?xiàng)l件時(shí)，公式(5)可以寫(xiě)為三角形式，即1.8/(“莓(/屐續(xù)點(diǎn)處，-£ 憶/(De。，研-=心 +。)+ /(一。),其它2(6)周期傅里葉變換描述周期現(xiàn)象的最簡(jiǎn)單的周期函數(shù)是物理學(xué)上所說(shuō)的諧波函數(shù)，它由正弦或余弦函 數(shù)來(lái)表示y(t) = Acos(w» + a)()而所有函數(shù)都可以看做是不同頻率的正弦或余弦函數(shù)的登加。下面介紹周期函數(shù)的 傅里葉

12、變換。將一個(gè)周期為T(mén)的函數(shù)分解為Fourier級(jí)數(shù)，其三角形式展開(kāi)為：8/«) = 00cosncot + bn sin ncot)()n-l離散傅里葉變換但我們?cè)跀?shù)字資料處理中經(jīng)常的不是一個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)離散的序列。與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析類(lèi)似，對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行離散Fourier變換，一般可概括為時(shí)域采樣， 時(shí)域截?cái)啵l域采樣三個(gè)步.驟，最終導(dǎo)出離散傅立葉變換對(duì)為：18x（）= ZX W'ojz ,NT（）“0它通過(guò)連續(xù)傅立葉變換，將N個(gè)時(shí)域采樣點(diǎn)與N個(gè)頻域采樣點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)。3、傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對(duì)在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣 得到一系

13、列點(diǎn)的集合,我們習(xí)慣用一個(gè)二維短陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f（x,y） 來(lái)表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就 由梯度來(lái)表示，這樣我們可以通過(guò)觀(guān)察圖像得知物體在三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為什么 要提梯度因?yàn)閷?shí)際上對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖， 當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也 是沒(méi)有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差 異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分 指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。一般來(lái)講，梯度大則該點(diǎn)的

14、亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。 這樣通過(guò)觀(guān)察俾立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量 分布，如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異 都不大，梯度相對(duì)較小），反之，如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳 的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對(duì)頻諳移頻到原點(diǎn)以后，可以看出圖像的頻 率分布是以原點(diǎn)為圓心，對(duì)稱(chēng)分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率 分布以外，還有一個(gè)好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號(hào)，比如正弦干擾，一 副帶有正弦干擾，移頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點(diǎn)為中 心，對(duì)稱(chēng)分布的亮點(diǎn)集合，這個(gè)集

15、合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時(shí)可以很直觀(guān)的通過(guò)在該 位置放置帶阻濾波器消除干擾。沖激信號(hào)沖激函數(shù)是最基本的函數(shù)，其傅里葉變換是系統(tǒng)函數(shù)，只要知道系統(tǒng)函數(shù)，那么通過(guò)這個(gè)系統(tǒng)的輸出函數(shù)并可以確定。在Matlab中產(chǎn)生沖激函數(shù)和其傅里葉變換的程序如下:M=10；T=10；N=2*M；dt=T/N；n=O：N-l；t=n*dt；w=zeros(size(t)；w(100：105)=100；subplot(211)；plot(t,w,'b','LineWidth',；title('沖激函數(shù)')；xlabel(f t/s>')； ylabel(*

16、y/mf)；Subplot(212)；W=fft(w)；W=fftshift(W)；plot(trabs(W),rbr 11LineWidth1,；title('沖激函數(shù)的傅里葉變換')；xlabel(rw>')； ylabel('y/m');其時(shí)域圖像和頻域圖像如圖1所示圖1沖激函數(shù)的時(shí)域和頻譜圖像分析：從圖中可以看出，沖激信號(hào)的頻率為0處的分量最大，然后向兩端快速衰減，表明 脈沖信號(hào)中實(shí)際占主導(dǎo)地位的其實(shí)是直流分量。余弦信號(hào)我們已經(jīng)知道，任何信號(hào)都可以分解成為不同頻率的正或余弦信號(hào)的疊加，那么現(xiàn) 在研究余弦信號(hào)的時(shí)域和頻域特性。用Matlab可

17、以產(chǎn)生余弦信號(hào)并分析其頻譜的特性。Mat lab 程序:M=10；N=2MM；t=linspace(-10,10,N)；xcos=cos(3*t)；subplot(211)plot(t,xcos)；title('余弦信號(hào)的時(shí)域圖像)；xlabeK* t/sr); ylabel (r y/mf)subplot(212)plot(t,abs(fftshift(fft(xcos);title('余弦信號(hào)的頻域圖像')xlabe1(1w/(rad/s)f) ； ylabel(ry/m1)余弦信號(hào)的時(shí)域圖像與頻域圖像如圖2所示圖2余弦函數(shù)的時(shí)域和頻譜頻率突變信號(hào)頻率突變信號(hào)在現(xiàn)實(shí)

18、生活總很常見(jiàn)，下面用Mat lab來(lái)產(chǎn)生頻率突變信號(hào)和分析其 傅里葉變換。Mat lab 程序:M 二8；N二2 飛；t=linspace(-10,10,N)；sl=find(t<. 0)；x(sl)=cos(2*pi*6*t(si)；s2=find(t>= 0)；x (s2)=cos(2*pi*3*t(s2)；subplot(211)；plot(tfx)；title('頻率突變信號(hào)')；sxlabel(r t/s1)；ylabel(r y/m1)subplot(212)；X= fft(x)；X=fftshift(X)；plot(trabs(X)；title(

19、9;頻率突變信號(hào)的傅里葉變換圖像')；xlabel(r f/hz*);ylabel(f y/m1)其圖像如圖3所示圖3頻率突變信號(hào)的時(shí)域和頻譜圖象分析：頻率突變信號(hào)的頻率在3和5的位置對(duì)應(yīng)的幅值特別高。因此標(biāo)記出這兩 個(gè)頻譜峰值對(duì)應(yīng)的頻率分量，正好可以驗(yàn)證信號(hào)的頻率成份。高斯信號(hào)在信號(hào)中，常會(huì)伴隨著噪聲，而高斯噪聲是常見(jiàn)的噪聲，研究它的特性對(duì)于消除 噪聲有很大的意義。Mat lab程序如下：M=10；N=2，；t=linspace(-10,10,N)；a=l/4；g=exp(-a*t. 2);subplot(211)plot(t,g)title('高斯信號(hào)的時(shí)域圖像')

20、；xlabel(* t/sr)；ylabel(* y/m*)；subplot(212)G=fft (g)；G=fftshift(G)；plot (ttabs(G)；title('高斯信號(hào)的頻域圖像') xlabel(* f/Hz*)；ylabel(* y/mf)；高斯信號(hào)的時(shí)域和頻域圖像如圖4所示圖4高斯信號(hào)的時(shí)域和頻域圖像圖像分析：這是一個(gè)正態(tài)分布函數(shù)，具有單峰性，歸一性。其傅立葉變換函數(shù)的圖象中，只有 頻率為0的地方有極大的峰值，說(shuō)明小概率時(shí)間發(fā)生的機(jī)會(huì)是極小的，越向原點(diǎn)，時(shí)間 發(fā)生的可能性越大。隨機(jī)序列研究隨機(jī)序列也有很大的意義，在數(shù)字信號(hào)的傳輸過(guò)程中，往往會(huì)產(chǎn)生噪聲，而

21、噪 聲并是隨機(jī)序列，研究其特性對(duì)消除噪聲有很大的意義利用MATLAB很容易產(chǎn)生兩類(lèi)隨機(jī)信號(hào)：Rand(LN)在區(qū)間0,1上產(chǎn)生N點(diǎn)均勻分布的隨機(jī)序列Randn(l,N)產(chǎn)生均值為0,方差為1的高斯隨機(jī)序列，也就是白噪聲序列例如下圖表示點(diǎn)數(shù)為32點(diǎn)的均勻分布的隨機(jī)序列與高斯隨機(jī)序列，其Matlab仿真 結(jié)果如圖下所示，其中圖和圖分別表示序列一和序列二的時(shí)域和頻域圖像。用Matlab產(chǎn)生的隨即序列和其傅里葉變換的程序如下圖所示clear all；N=32；x rand=rand(l,N)；x randn=randn(1,N)；xn=0：N-l；figure(l)subplot (2,1,1); stem(xn, x rand); title('系列 1 的時(shí)域圖像')subplot (2.1,2)； stem(xntabs(fftshift (fft (x rand) ； title('系列 1 的頻域 圖像')figure (2)subplot (2,1,1); stem(xn, xrandn) ； titled 系列 2 的時(shí)域圖像')subplot (2.1,2)； stem(xntabs(fftshift (fft (x randn) ； tit