冪級數(shù)求和函數(shù)方法概括與總結(jié)材料

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案常見哥級數(shù)求和函數(shù)方法綜述引言級數(shù)是高等數(shù)學(xué)體系的重要組成部分，它是在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗推動下逐步形成 和發(fā)展起來的。中國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽早在公元 263年創(chuàng)立了 “割圓術(shù)”，其要旨是 用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，從而求得圓的面積。這種“割圓術(shù)”就已經(jīng)建立了級 數(shù)的思想方法，即無限多個數(shù)的累加問題。而將一個函數(shù)展開成無窮級數(shù)的概念最早來 自于14世紀(jì)印度的馬德哈瓦，他首先發(fā)展了幕級數(shù)的概念，對泰勒級數(shù)、麥克勞林級數(shù)、 無窮級數(shù)的有理數(shù)逼近等做了研究。同時，他也開始討論判斷無窮級數(shù)的斂散性方法。到了 19世紀(jì)，高斯、歐拉、柯西等各自給出了各種判別級數(shù)審斂法則，使級數(shù)理論全面 發(fā)

2、展起來。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在幕級數(shù)理論研究上可謂一枝獨秀，清代數(shù)學(xué)家董祐誠、坎各 達(dá)等運用具有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)特色的方法對三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)幕級數(shù)展開問題進(jìn) 行了深入的研究。而今，級數(shù)的理論已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)豐富和完整，在工程實踐中有著廣 泛的應(yīng)用，級數(shù)可以用來表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)、也是進(jìn)行數(shù)值計算的一種工具。它在自然科學(xué)、工程技術(shù)和數(shù)學(xué)本身方面都有廣泛的作用。幕級數(shù)是一類最簡單的函數(shù)項級數(shù)， 在幕級數(shù)理論中，對給定幕級數(shù)分析其收斂性， 求收斂幕級數(shù)的和函數(shù)是重要內(nèi)容之一。但很多人往往對這一內(nèi)容感到困難。產(chǎn)生這一 問題的一個重要原因是教材對這一問題討論較少，僅有的一兩個例題使得我們對幕級數(shù) 求和中

3、的諸多類型問題感到無從下手。事實上，求幕級數(shù)和函數(shù)的方法與技巧是多種多 樣的，一般要綜合運用求導(dǎo)、拼湊、分解等來求解，因此它是一個難度較大、技巧較高 的有趣的數(shù)學(xué)問題。一、哥級數(shù)的基本概念(一)、幕級數(shù)的定義11、設(shè)Un(x)(n 1,2,3 L )是定義在數(shù)集E上的一個函數(shù)列，則稱Ui(x) u 2 (x) L u n (x) L , x E為定義在E上的函數(shù)項級數(shù)，簡記為Un(x) 0n 12、具有下列形式的函數(shù)項級數(shù)a(xx)n0)a(xxo)a2(xx0)2L a(xxo)nLn 0稱為在點X0處的幕級數(shù)。X,即上述形式化為特別地，在an(x %)n中，令x X0n 0n 2 nanX

4、ao aiX a?xLanXLn 0稱為在0點的幕級數(shù)。(二)、幕級數(shù)的和函數(shù)2若對幕級數(shù)中的每一個 X都有a &x &X2 ax3 L s(x),則稱s(x)為幕級數(shù)的 和函數(shù)。幕級數(shù)的部分和記為6(x) a。 aiX23a2xa3xLnanX文檔大全且部分和Sn(x)有如下性質(zhì)lnim Sn(x) s(x)二、哥級數(shù)求和函數(shù)的幾種方法以下所要介紹的幾種方法旨在分析不同類型的幕級數(shù)該如何進(jìn)行求和，并且?guī)椭蠹艺莆战忸}技巧。(一)、定義法3對于幕級數(shù)anXn ,若前n項和函數(shù)列Sn(X)有極限，即nim Sn(x)存在，則n 0此事級數(shù)收斂，且anXnlim Sn(x)。n 0n例1：求幕級數(shù)

5、a xn的和函數(shù)，其中a 0 , |x 1。n 0解：當(dāng)X 1時ns(x) lim sn(x) lim(a ax L axn)lima一aannn1 x1 x(二)、分項組合法比如可以將已知級數(shù)的通我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)有些幕級數(shù)具有某些明顯的特征,項拆項組合，再計算所拆得各項的和函數(shù)，從而求得該級數(shù)的和函數(shù)3nn例2:求s(x) -x 的和函數(shù)。n 0 ( n 1)!解:易知該級數(shù)的收斂域為(，) 當(dāng) x 0時，s(x) 0當(dāng)x 。時/ x (n 1)n(n 1) n 1 1 n s(x) -x2 n 2(n 1)!x 2 x x n 2 n! x n 2 (n 1)!2 n 2(n 2)!x

6、 211e x(x2 1 ) x 2 x x0所以s(x)e x(x21) x 2x x(三)、逐項求導(dǎo)與逐項積分法若幕級數(shù)的通項系數(shù)是自然數(shù)或相鄰的自然數(shù)相乘的形式，可考慮用“先積分，再求導(dǎo)”的做法；若幕級數(shù)的通項系數(shù)是自然數(shù)的倒數(shù)或相鄰的自然數(shù)乘積的倒數(shù)，可考 慮用“先求導(dǎo)，再積分”的做法。定理4：設(shè)幕級數(shù)anxn在(R,R)內(nèi)的和函數(shù)為s(x),則s (x)( anxn)n 0/ n(anx )n 0n 1na n xn 1n 0求導(dǎo)后的幕級數(shù)與原幕級數(shù)有相同的收斂半徑R 。2、5(刈在(R,R)內(nèi)可以積分，且有逐項積分公式：；s(t)dt 0x( antn)dtan ；tndtan-x

7、n 5以)在(R,R)內(nèi)每一點都是可導(dǎo)的，且有逐項求導(dǎo)公式:n 0n 0n 0 n 1其中*是(RR)內(nèi)任意一點，積分后的幕級數(shù)與原幕級數(shù)有相同的收斂半徑 Ro在函數(shù)項級數(shù)一致收斂的前提下，對其進(jìn)行逐項微分或積分。通過逐項求導(dǎo)或逐項 積分將給定的幕級數(shù)化為已知和函數(shù)的級數(shù)形式，從而得到新級數(shù)的和函數(shù)；將得到的 和函數(shù)做與之前相反的分析運算，便得到所求幕級數(shù)的和函數(shù)。例3：求幕級數(shù)n(n 1)(n 2)xn的和函數(shù)s(x)。n 1解：易知該級數(shù)的收斂域為(1, 1),在任意區(qū)間上可以逐項積分s(x) x n(n 1)(n 2)xn 1n 1S1 (x)n (n 1)( n 2) x所以3s3(x

8、) s4(x)上)3x2 2x3(1 x)2s2(x)s3(x)6x 6x2 2x3(1 x)3s1(x)s2(x)6(1x)4S2(x)；G(t)dt (n 1)(n 2)xnn 1x- n 1S3(x)0 s2(t)dt(n 2)xn 1從而可得所求和函數(shù)s(x)xs1 (x)6x(1 x)4(1x1)(1)nx例4:求幕級數(shù)n 1n(2n1)的和函數(shù)s(x)0解：易知收斂區(qū)間為1,10時,s(x)y(x)x /、2 s(x)n 2n 1(1) x12n(2n 1)得出綜上所述y (x)y (x)y (x)y (x)s(x)(1)nx2n2nn 2n 11) x一t-7dt1 t221n(

9、11 - x -x1n(1s(x)x1 x21221n(1 x)t2)dt2x ) arctan x八，“2、 2arctanx2 ln(1 x )2arctan x（四）、代數(shù)方程法此種方法目的在于建立以所求幕級數(shù)的和為變量的代數(shù)方程，并解之，從而得到原 幕級數(shù)的和函數(shù)。例 5：設(shè)有等差數(shù)列：a,a b,a 2b,a 3b,L ,a (n 1)b,L23n1. 一 等比數(shù)列：c,cx,cx ,cx ,L ,cx ,L則各項為等差數(shù)列、等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積所構(gòu)成的級數(shù)為23n 1ac (a b)cx (a 2b)cx (a 3b)cx ,L ,a (n 1)bcx ,L求其和函數(shù)s(x)，其中

10、a,b,c為常數(shù)。解：易知此級數(shù)的收斂域為(1, 1)xs(x) n J a (n 1)bcxn23(1 x)s(x) ac bcx bcx bcx L L所以s(x)acacbcxbcx(1 x)2例6:求幕級數(shù)Hm(n)xn的和函數(shù)，其中n 07Hm(n)為n的m次多項式解：記Sm(x)Hm(n)xnn 0則(1 x).(x)Hm(0) Hm(n 1)n 0Hm(0) x Hm1(n)xnn 0其中Hmn)為n的m 1次多項式再使用一次以上的運算方法可得xSm(x)Hm(n)xn1n 0Hm(n)xn1n 1一x(1 x)Sm(x) xHm(0) x Hm 1(n)xn 0-得(1 x)2

11、Sm(x) Hm(0)(1 x) x Hm1(n)xnHm1(n)xn1n 0n 0Hm(0)(1 x)乂凡式。)Hm1(n 1) Hm1(n)xn1n 0Hm(0)(1 x) xHm1(0) x Hm2(n)xn n 0其中Hm2(n)為n的m 2次多項式反復(fù)使用以上的方法可以得到(1 x)ms.(x)(1 x)m1Hm(0) (1 x)m2xHm1(0) (1 x)m 3xHm 2(0)L L (1 x)xm2H2(0) xm1Hi(0)xnn 1這樣就可以求得Sm(x)。(五)、微分方程法在幕級數(shù)中，有一類含有階乘運算的幕級數(shù)，這種幕級數(shù)的和函數(shù)的求法，在現(xiàn)行 高等數(shù)學(xué)教材中涉及的不多，

12、因此成為很多同學(xué)學(xué)習(xí)的一個盲點。此方法將通過實例介 紹這類幕級數(shù)和函數(shù)的求法，把幕級數(shù)求和問題劃歸為求解微分方程的問題，也就是把 幕級數(shù)的和函數(shù)微分后，再與原來幕級數(shù)作某種運算，得到一個含有幕級數(shù)和函數(shù)以及 和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函數(shù)。例7:求幕級數(shù)f(n)xn在下列情況下的和函數(shù)s(x)：n 0 n !f(n) (n 1)d ,即公差為d的等差數(shù)列，其中d為常數(shù);f(n) qn,即公比為q的等比數(shù)列，其中q為常數(shù)。解：易知該級數(shù)的收斂域為(，)s(x)(n 1)d n xn 0 n !s (x)(n 1) d n i n 1 (n 1)!s(x) s(x)d

13、xd2 d3 一x x L L2!3!dex這是一個滿足初始條件s(0)的一階常系數(shù)的線性微分方程，解此微分方程得s(x) dex(1x)易知該級數(shù)的收斂域為(nqn 1s (x) xn 1(n 1)!2 2s (x) s(x) (q 1) (q 1)qx (q 1)q x L(qqx1) e這是一個滿足初始條件s(0) 1的一階常系數(shù)的線性微分方程，解此微分方程得s(x)eqx(六)、柯西方法5如果級數(shù)n 0an都絕對收斂，作這兩個級數(shù)的乘積Cnaobn咐 1 LCn也絕對收斂,0且必有Cnn 0an0bn o 0例8:求幕級數(shù)的和函數(shù)s(x)11(123-)x n1。解：令an0,1 ,2

14、, L則 n 0an(x 1)為絕對收斂級數(shù)再令 bn 0ln(1 x)的泰勒級數(shù):ln(1x)23，八x x(0 x23此級數(shù)在(1,1)內(nèi)是絕對收斂的。),從而 cnn(1 - n所以s(x)o)(121、n-)x nn 0Cnan n 0bnln( 11x) x(七)、差分算子求和法此方法適用于通項系數(shù)是以n為自變量的有限次多項式的幕級數(shù)求和問題。若f(x)為任意實函數(shù)，為差分算子，則定義函數(shù)f(x)的一階差分為f(x) f (x 1) f(x)n 階差分為nf (x)( n 1f(x), n 2,3, L定理6：設(shè)p(x)為m次多項式，則當(dāng)|xmxks(x) kp(0) TTk 0(1

15、 x)n 一，1時 p(n)x 收斂，而且其和函數(shù)n 07定理證明：當(dāng)xn . .1時，幕級數(shù)n0p(n)x收斂，現(xiàn)在定義單位算子I及位移算子E分別為 If (x) f (x)Ef (x) f (x 1)則 f(x) Ef(x) If (x) 即 E由于 p(n)Enp(0) ( I)np(0)n n(n 1)L (n k 1)k 0k!kp(0)m n(n 1)L (n k 1)k 0k!kp(0)/、,、n m n(n 1)L (n k 1) k 小、所以 s(x) p(n)xp(0)xn 0n 0 k 0k!p(0)xnm n(n 1)L (n k 1)k 0n 0k!3k1 2L k

16、k!2 3L (k 1) L kk(1mp(0)vk dx kk 0 k! dxmkp(0)vk dk 1x k ()k 0 k! dx 1 xkm p(0)j k!xk 1k 0 k! (1 x)k 1kp(0)k 1(1 x)2n n 1 n例9:求幕級數(shù)一-一x的和函數(shù)s(x)n 1 n2 n解：令&(x) (n n 1)x貝(J S1(x)xs(x)n 12p(n) n n 1故 p(n) 2n 22p(n) 2所以由定理得S1 (x)p(0)1 xx p(0)(1 x)2x2 2 P(0)(1 x)321)1 2x 2x21 x (1 x)2(1 x)3八 1. 1 2x 2x2 1

17、 s x x 1 x (1 x)2 (1 x)3則s(x) 1n六匕r(x 1)三、哥級數(shù)求和函數(shù)各種方法特點分析與評價以上介紹了七種求幕級數(shù)和函數(shù)的方法，這也只是若干種求幕級數(shù)和函數(shù)方法中一 部分，其他更多的方法還有待探索發(fā)現(xiàn)，在此不再進(jìn)一步探究。下面就以上七種方法再 做一點討論：(一)定義法的特點：此方法是根據(jù)求幕級數(shù)部分和函數(shù)列的極限得出的，所以它 自然適用于一切形式的幕級數(shù)求和。但是問題在于，對于一些通項比較復(fù)雜的幕級數(shù)，(1)nn3 n事級數(shù)部分和數(shù)列的極限很難求出，則此方法就會失效。例如幕級數(shù)n, 仆x 的n 0 (n 1)!部分和數(shù)列是否收斂就難以判斷，假如要用定義法進(jìn)行求和，那

18、么就會相當(dāng)困難而得不 出結(jié)果。（二）分項組合法特點：要運用這一方法我們首先要對所求幕級數(shù)的各項進(jìn)行細(xì)心 的觀察。當(dāng)逐項觀察時發(fā)現(xiàn)不了什么規(guī)律，這時可以隔一項甚至兩項、三項再次觀察， 也可以把通項稍作變形再觀察。如果發(fā)現(xiàn)了一題中存在不止一種規(guī)律，那么就把符合同 一種規(guī)律的各項組合在一起進(jìn)行分別計算，最終再聯(lián)列得出所求級數(shù)的和函數(shù)。這種方 法在對通項進(jìn)行拆項上技巧性很強，一般可以利用已知和函數(shù)的幕級數(shù)來進(jìn)行。（三）逐項求導(dǎo)與逐項積分法，這一方法使用起來比較簡單。遇到一個級數(shù)，第一 步將其通項單獨拿出來分析。如果開始比較復(fù)雜無從下手，可以試著進(jìn)行逐次求導(dǎo)、逐 次積分、先求導(dǎo)再積分、先積分再求導(dǎo)，經(jīng)過

19、幾次運算以后可以變成比較簡單、容易求 和的級數(shù)的話，那么先求出新級數(shù)的和，接著再做與之前所做的相反的運算就可以得出 原來的級數(shù)的和函數(shù)。這種方法運用時要熟記常見函數(shù)的麥克勞林展開式，此時的展開 式就是常見幕級數(shù)的和函數(shù)公式，這種求幕級數(shù)和函數(shù)的方法還可以用來求一些簡單的 數(shù)項級數(shù)的和。（四）代數(shù)方程法，看到所求幕級數(shù)時，要仔細(xì)觀察相鄰兩項之間是否存在有明顯 的關(guān)系，比如：前后兩項之間只相差一個倍數(shù)，前一項乘以自變量、自變量的倍數(shù)或自 變量的事得到后一項。一旦發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律時我們就可以果斷的運用代數(shù)方程法求此事級 數(shù)的和函數(shù)，這樣可以節(jié)約大量計算時間、帶來很大的方便、提高效率。同樣對于微分 方程法

20、，所求幕級數(shù)的一般項中通常含有階乘因子，使用之前先對原來的和函數(shù)做一定 的變形，求其一階導(dǎo)數(shù)、必要時還要求其二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)，將所得結(jié)果與原來和函 數(shù)聯(lián)列。如果容易得到一個微分方程，那么就可以轉(zhuǎn)化為求解此微分方程的初值問題解： 容易求出初值解，則此解為要求的幕級數(shù)的和函數(shù)； 若不易求初值解，此法就不再適用，（五）柯西方法、差分算子求和法，這兩種方法的適用條件比較明顯。只要所求級 數(shù)的通項可以表示為另外兩個級數(shù)前 n項相應(yīng)乘積之和，且這兩個級數(shù)的和函數(shù)容易求 得，那么就可以使用柯西方法將已求得的兩個和函數(shù)相乘而得到所求幕級數(shù)的和函數(shù)。如果遇到通項系數(shù)是以n為自變量的有限次多項式的幕級數(shù)，那么就

21、可以嘗試使用差分 算子求和法對其進(jìn)行求解。上面是對七種求和函數(shù)的方法分別介紹的，但不是說對于任何一題只要使用其中的 一種方法就可以得出結(jié)果，有時候會碰到稍微復(fù)雜的題目，這時可能使用以上任何一種 方法都不能得出結(jié)果，而是要綜合使用其中的兩種、三種甚至四種方法才可以順利解答。實用標(biāo)準(zhǔn)文案例10:求幕級數(shù)和函數(shù)S(x) x 2x23 x3!645 x nn 1x 5x L x (n 1)x6!n 2L 苴中(n 2)! 八十n 1,4,7,10解：令s（x）S(x)S2(x) S3(x)其中S(x)4nx x L x L ,n 1,4,7L所以(1S2(x)3- xS2(x)x3)S2(x)S2(x

22、)S3(x)S3(x),、S3(x)以上二式相加得2x2 5x5 L2x5 5x8 Ln 3 nxx2 3x2 3x5 LL ,n 2,5,8,LL ,n2,5,8L(13 x3!2 x2!3xnL ,n 2,5,8L3x23v2 x )6!5!4 x x - 4!S3(x)這是一個滿足初始條件S3(x)n x . L ,n n!3,6,9,Ln 1x(n 1)!n 2x(n 2)!L ,nL ,nS3(x) S3(x)3,6,9,L3,6,9,Ln 1 n!xnx一 ex 1S3（0） 0,S3（0） 0的二階常系數(shù)的線性微分方程，解此微分方程得2e；coS 也 x 1e、13232 x x 從而 S(x)= 73 x x3x2