導數的幾何意義教學設計

1、導數的幾何意義本節(jié)課教學指導思想與理論依據：微積分是人類思維的偉大成果之一，是人類經歷了2500多年震撼人心的智力奮斗的結果，它開創(chuàng)了向近代數學過渡的新時期.它為研究變量與函數提供了重要的方法和手段。導數的概念是微積分核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用。本節(jié)教材選自人教A版數學選修2-2第1章“導數及其應用”第一節(jié)1.1.3“導數的幾何意義”，是學生在學習了瞬時變化率就是導數之后的內容，通過這部分內容的學習，可以幫助學生更好的理解導數的概念及導數是研究函數的單調性、變化快慢和極值等性質最有效的工具，是本章的關鍵內容。新課程標準要求，微積分教學“返璞歸真”，把極限、連續(xù)、瞬時速度等

2、概念，建立在樸素理解的基礎上，直接由變化率問題得到導數的概念，進而研究導數的幾何意義（圖形上的直觀體現）及導數在研究函數性質中的應用。 本節(jié)內容按照先突破一般曲線的切線定義（割線無限逼近的確定位置上的直線就是該點處的切線）；再結合舊知識“平均變化率表示割線的斜率”，學生對照動畫探究“割線逼近切線割線的斜率逼近切線的斜率切線的斜率對應該點處的瞬時變化率即導數”的線索展開，從近似過渡到精確，通過圖形直觀逼近的方法消除學生對極限的神秘感，通過將曲線一點處的局部“放大、再放大”的直觀方法，形象而逼真地再現了“局部以直代曲”背后的深刻內涵和哲學原理。學情分析：學生已經通過實例經歷了由平均變化率到瞬時變化

3、率刻畫現實問題的過程，理解了瞬時變化率就是導數，體會了導數的思想和實際背景，已經具備一定的微分思想，但是對于導數在研究函數性質中有什么作用還不夠理解，多數同學對此有相當的興趣和積極性。學生在學習時可能會遇到以下困難，比如從割線到切線的過程中采用的逼近方法，理解導數就是曲線上某點的斜率等等。 教法分析：本節(jié)課采用教師引導與學生自主探究相結合，交流與練習相穿插的活動課形式，以學生為主體，教師創(chuàng)設和諧、愉悅的環(huán)境及輔以適當的引導。同時，利用多媒體形象動態(tài)的演示功能提高教學的直觀性和趣味性，以提高課堂效率。教學中注重數形結合，從形的角度對概念理解和運用。在這個過程中培養(yǎng)學生分析解決問題的能力，培養(yǎng)學生

4、討論交流的合作意識。 學法指導：借助多媒體技術，通過設計環(huán)環(huán)相扣的探究問題，創(chuàng)設豐富的教學情境，激發(fā)學生的學習動機，培養(yǎng)學習興趣，充分調動學生的學習積極性，倡導學生采用自主、合作、探究的方式學習。引導學生動手操作，指導學生討論交流從而發(fā)現規(guī)律，培養(yǎng)學生探究問題的習慣和意識以及勇于探索、勤于思考的精神，提高學生合作學習和數學交流的能力。使學生充分經歷“探索感知討論歸納發(fā)現新知應用新知解釋現象”這一完整的探究活動，以獲得理智和情感體驗，讓學生感受到數學知識的產生是水到渠成的。學生自主探索、動手實踐、合作交流的學習方式，體現在整個教學過程中。 教 案導數的幾何意義教學流程復習舊知，自然引出研究問題題

5、動畫類比、知識遷移，獲得切線新定義數形結合，學生探索獲得導數的幾何意義通過例題和練習，鞏固知識，加深對導數的認識姓 名年 齡職 稱學 科數學教材名稱選修2-2教材出版社人民教育出版社課 題導數的幾何意義年 級學 期第二學期教學目標1、知識與技能: 通過實驗探求和理解導數的幾何意義； 體會導數在刻畫函數性質中的作用；體會“以直代曲”的數學思想方法。2、過程與方法： 培養(yǎng)學生分析、抽象、概括等思維能力； 通過“以直代曲”思想的具體運用，使學生達到思維方式的遷移，從而達到培養(yǎng)學生的學習能力，思維能力，應用能力和創(chuàng)新能力的目的。3、情感態(tài)度與價值觀：滲透逼近和“

6、以直代曲”思想，激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生不斷發(fā)現、探索新知識的精神，引導學生從有限中認識無限，體會量變和質變的辯證關系，感受數學思想方法的魅力學生學數學，用數學的意識。教學重難點及關鍵教學重點：理解和掌握切線的新定義、導數的幾何意義及應用于解決實際問題，體會數“形結合、以直代曲”的思想方法。教學難點：1)發(fā)現和理解導數的幾何意義； 2)運用導數的幾何意義解釋函數變化的情況和解決實際問題。關鍵：師生一同探究和理解導數的幾何意義主要教學方法及學法教法：1、為了培養(yǎng)學生自主學習的能力以及使得不同層次的學生都能獲得相應的滿足.因此本節(jié)課采用探究性研究教學、互動式討論、反饋式評論和啟發(fā)式小結

7、；2、根據本節(jié)課的特點也為了給學生的數學探究與數學思維提供支持，同時也為了培養(yǎng)學生的動手操作能力，所以采用計算機輔助教學，以突出重點和突破難點；學法：自主、合作、探究教具通過多媒體（幾何畫板、幻燈片）直觀的呈現出函數的圖像，使學生對其有豐富的感性認識，增大教學容量與直觀性，有效提高教學效率和教學質量。教 學 過 程 預 設教學環(huán)節(jié)教 師 活 動（教學內容的呈現）學 生 活 動（學習活動的設計）設計意圖一、創(chuàng)設情境、導入新課1.回顧舊知、引出研究的問題：前面我們學習了函數在處的導數就是函數在該點處的瞬時變化率。那么：問：(1) 求導數的步驟有哪幾步? (2)觀察函數的圖象，平均變化率 在圖形中表

8、示什么？這就是平均變化率()的幾何意義，那么瞬時變化率()在圖中又表示什么呢？今天我們就來探究導數的幾何意義。 生：第一步：求平均變化率；第二步：求瞬時變化率.（即，平均變化率趨近于的確定常數就是該點導數）生：平均變化率表示的是割線的斜率.提出問題，老師引導學生回憶聯系本節(jié)課的舊知識，承上啟下，復習舊知，引入新課。教師板書，便于學生數形結合探究導數的幾何意義。突破平均變化率的幾何意義，后面在表示割線斜率時能直接聯系此知識。同時引出本節(jié)課的研究問題導數的幾何意義是什么？二、類比探討、獲得新知1.動畫類比，得到切線的新定義要研究導數的幾何意義，結合導數的概念，即要探究，割線的變化趨勢，看下面的動畫

9、。多媒體顯示【動畫1】：圓上點A處的切線AT和割線AB，演示點B從右邊沿著圓逼近點A ,然后再從左邊沿著圓逼近點A ，即，割線AB的變化趨勢。（教師引導學生觀察割線與切線是否有某種內在聯系呢？）把割線逼近切線的結論從圓推廣到一般曲線，可得：多媒體顯示【動畫2】：動態(tài)演示（或投影）教材上點（P7）沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨勢圖。圖3.1-2師：類比【動畫1】，當點沿著曲線趨近于點時，即，研究割線的變化趨勢。突破研究的難點：，割線點P處的切線，那么：，割線的斜率？與導數又有何關系呢？ 生：先感知后發(fā)現，當，隨著點B沿著圓逼近點A，割線AB無限趨近于點A處的切線。學生觀察【動畫2】，類比得出一

10、般曲線的切線定義：當點沿著曲線逼近點時，即，割線趨近于確定的位置，這個確定位置上的直線PT稱為點P處的切線。生：切線的斜率對應該點處的瞬時變化率，即該點處的導數。以求導數的兩個步驟為依據，從平均變化率的幾何意義入手探索導數的幾何意義，抓住的聯系，在圖形上從割線入手來研究問題。帶著問題觀察動畫，借助熟悉的圓中的某點處的割線和切線，學生更易感知當，割線的變化趨勢。用逼近的方法體會割線逼近切線，消除學生對極限的神秘感。肯定學生的研究結果，并引導學生把這種由割線逼近的方法得到切線推廣到一般曲線，并由此得出割線的變化趨勢，為研究幾何意義做好鋪墊2.數形結合，探究導數的幾何意義結合【動畫2】的變化過程，學

11、生思考下面的問題，探究導數的幾何意義。探究一1.已知曲線上兩點：(1)根據切線定義可知：，割線趨近于切線PT 。那么割線的斜率與切線PT的斜率又有何關系？ (2)對比“時，平均變化率趨近的確定常數就是瞬時變化率”，又割線的斜率對應平均變化率，那么切線的斜率對應什么？2.結合上面的研究過程，你能指出導數的幾何意義嗎？ PQoxyy=f(x)割線切線T 函數在處的導數就是曲線在該點處的切線斜率，即： 當 即生：切線的斜率對應該點處的瞬時變化率，即該點處的導數。生：函數在處的導數就是曲線在該點處的切線斜率，即：類比兩個動畫，探索一般曲線中的切線定義，讓不同程度的學生都能借助直觀的圖象感知和發(fā)現，得出

12、：，割線逼近該點處的切線通過兩個思考問題：（1）先解決割線斜率與切線斜率的關系，（2）再對照平均變化率與瞬時變化率的關系，得出切線的斜率即對應該點處的瞬時變化率即導數。探究一要求學生結合圖形直觀感知，找到聯系得出導數的幾何意義。三、探索小結、重點講評1.獲得導數的幾何意義活動后，展示學生探究成果，教師重點講評：割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點P時，無限趨近于切線PT的斜率，即 ，切線PT的斜率即為函數在處的導數。導數的幾何意義：切線的斜率。所以，函數在處的導數的幾何意義就是函數的圖像在處的切線AD的斜率。師：由導數的幾何意義，我們可以解決哪些問題？2.了解以直代曲思想把點P附近函數的圖象放

13、大，引導學生理解以直代曲思想是指某點附近一個很小的研究區(qū)域內，曲線與切線的變化趨勢基本一致，故可由曲線上某點處的切線近似代替這一點附近的曲線。師：在某點附近一個很小的研究區(qū)域內，曲線與切線的變化趨勢有何關系？如果切線的斜率為正，則該點附近曲線的增減情況怎樣？生：求切線方程。生：點P附近，曲線和該點處的切線的增減變化情況一致。如果切線的斜率為正，則該點附近曲線呈上升趨勢。借助實物投影儀，展示學習成果，學生經歷了完整的探究過程后，教師的講評就可以有針對性和詳略，學生也可以結合自己探究的體會更好地建構知識。突破導數的幾何意義這個學習重點通過將曲線一點處的局部“放大、放大、再放大”的直觀方法，形象而逼

14、真地再現“以直代曲”思想。滲透用導數的幾何意義研究函數的增減性四、知識應用、鞏固理解1.導數幾何意義的應用例1：如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數的圖象。探究二1用圖形來體現導數，的幾何意義，并用數學語言表述出來。2變式（如圖）：請描述、比較曲線在附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？分析：附近：瞬時、增減、變化率，即研究函數在該點處的瞬時變化率，也就是導數?？山柚芯€的變化趨勢得到導數的情況。生：作出曲線在這些點處的切線，在處切線平行于軸，即，說明在時刻附近變化率為0，函數幾乎沒有增減；在作出切線，切線呈下降趨勢，即，函數在點附近單調遞減。曲線在附近比在附近下降得更快，則是因

15、為。要求學生動腦(審題),動手(畫切線)，動口(討論)，體會利用導數的幾何意義及運用導數來研究函數在某點附近的單調性，滲透“數形結合”的思想方法，運用以直代曲的思想方法。問題1由具體的導數入手，熟悉導數的幾何意義，幫助學生感知導數與函數單調性之間的聯系。 問題2引導學生感知導數反映變化率的本質。運用導數的幾何意義，借由切線的變化趨勢，得出切線的斜率即該點處的導數的情況，進而判斷函數的單調性。小結：附近：瞬時，增減：變化率，即研究函數在該點處的瞬時變化率，也就是導數。導數的正負即對應函數的增減。作出該點處的切線，可由切線的升降趨勢，得切線斜率的正負即導數的正負，就可以判斷函數的增減性，體會導數是

16、研究函數增減、變化快慢的有效工具。同時，結合以直代曲的思想，在某點附近的切線的變化情況與曲線的變化情況一樣，也可以判斷函數的增減性。例題變式1：函數上有一點，求該點處的導數，并由此解釋函數的增減情況函數在定義域上任意點處的瞬時變化率都是3，函數在定義域內單調遞增。(此時任意點處的切線就是直線本身，斜率就是變化率)例題變式2：下圖是函數的圖象，請回答下面的問題：探究三1.請指出函數的單調區(qū)間，并用導數的幾何意義說明。生：單調區(qū)間有：作出區(qū)間內一系列的曲線的切線，發(fā)現切線呈現一致的上升或下降的趨勢，即切線的斜率一致為正或負，所以導數值在單調區(qū)間內恒正或恒負，對應函數單調遞增或遞減。引導優(yōu)生進一步體

17、會導數用來刻畫變化情況的應用和拓展研究導數與函數增減的關系。變式題復習了導數的求法，加深學生對導數研究函數增減情況應用的認識，也是例題結論的進一步驗證。結合導數的幾何意義說明單調性，學生進一步感知導數在研究函數變化情況中的應用2.根據上題的結論，研究某點處的導數值、切線的斜率和函數的單調性之間有何關系？例1 如圖表示人體血管中的藥物濃度（單位：）隨時間（單位：）變化的函數圖像，根據圖像，估計（min）時，血管中藥物濃度的瞬時變化率，把數據用表格的形式列出。(精確到0.1)0.20.40.60.8藥物濃度的瞬時變化率小結：導數反映了函數的變化率，從圖形上來看，表現為切線的斜率，如果導數為正，則切

18、線的斜率為正，切線呈上升趨勢，曲線在該點附近也是上升趨勢，函數單調增；如果導數為負，則切線的斜率為負，切線呈現為下降趨勢，曲線在該點附近也是下降趨勢，函數單調減。例3、求拋物線 過點（1，1）的切線方程。解：因為 所以拋物線 過點（1，1）的切線的斜率為2 由直線方程的點斜式，得切線方程為。練習:求雙曲線過點（2，）的切線方程。生：從數的角度：導數正負對應函數的增減， 從形的角度反映為切線斜率的正負對應函數的增減。 函數的增減導數的正負切線的斜率的正負學生動腦（審題），動手（畫切線），動口（說出如何估計切線斜率），進一步體會利用導數的幾何意義解釋實際問題，滲透“數形結合”、“以直代曲”的思想方

19、法。學生練習，歸納球切線方程的步驟進一步體會用導數的幾何意義解決問題，通過小結，加深對導數本質的理解。五五、練習鞏固、提升能力1、課堂導用P9實踐探究：第一部分實踐探究都是典型基礎題，它包含選擇題、解答題，題目編排由淺入深，增加了鋪墊的設問，為基礎較薄弱的學生引導思路。這部分題目的完成與否，標志著這節(jié)課新知識是否基本掌握。2、課堂導用P9達標測評：第二部分達標測評是基礎題與綜合題相結合，學生在掌握新知識應用及規(guī)范表達的基礎上初步接觸變式訓練和綜合訓練。這組題的完成標志著學生已達到良好的學習水平。學生根據自己的情況選作一部分或全部習題獨立完成練習學生自選和老師指導相結合，學生根據自己的學習情況可

20、以選擇適合自己發(fā)展的題進行訓練，以得到更好地發(fā)展。提倡跳躍式選題訓練和抓住關鍵部分進行局部訓練，使學生可以避免重復、無效的練習。通過練習及時發(fā)現學生的問題，及時糾正，能夠對學生情況給予及時評價。六六、歸納總結、深化認識這節(jié)課我們學習了哪些知識和方法？學生進行開放式小結：（回顧學習的兩個知識和數學思想方法）(1) 是確定的數（靜態(tài)），是的函數（動態(tài)）由（特殊一般） （靜態(tài)動態(tài)）(2)函數在處的導數的幾何意義就是函數的圖象在處的切線的斜率。(3)曲線切線方程的求法與步驟數學思想方法：體會“數形結合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法。體驗從靜態(tài)到動態(tài)的變化過程，領會從特殊到一般的辯證思想。啟發(fā)學生自主小結，知識性內容的小結，可把課堂所學知識盡快化為學生的素質；數學思想方法的小結，可使學生更清晰地梳理數學思想方法，并且逐漸養(yǎng)成科學的思維習慣。作作業(yè)與練習(1)閱讀作業(yè)：收集有關微積分創(chuàng)立的時代背景和有關人物的資料(2)書面作業(yè)： 1P1