中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)最短距離問題分析

1、B2012中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)最短距離問題分析最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是一類綜合性較強(qiáng)的問題，它貫穿初中數(shù)學(xué)的始終，是中考的熱點(diǎn)問題，它主要考察學(xué)生對(duì)平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容綜合運(yùn)用，無(wú)論是代數(shù)問題還 是幾何問題都有最值問題，在中考?jí)狠S題中出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結(jié)論(如 兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等)。利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。一、“最值”問題大都?xì)w于兩類基本模型：I、歸于函數(shù)模型：即利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的對(duì)稱性及增減性，確定某范圍 內(nèi)函數(shù)的最大或最小值n、歸于幾何模型，這類模型又分為兩種情況：(1) 歸于“兩點(diǎn)之間的連線

2、中，線段最短”。凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之和的最小值” 時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。(2) 歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之差的最大值”時(shí),大都應(yīng)用這一模型。幾何模型：條件：如圖， A、B是直線I同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問題：在直線I上確定一點(diǎn)P，使PA PB的值最小.方法：作點(diǎn) A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A，連結(jié)AB交I于點(diǎn)P , 則PA PB AB的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：(1) 如圖1,正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2, E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連結(jié) BD，由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱連結(jié)ED交AC于P，則PB PE的最小值是；(2) 如圖2, ©O的

3、半徑為2,點(diǎn)A、B、C在O0上, OA OB, AOC 60° P 是 OB 上一動(dòng)點(diǎn)， 求PA PC的最小值；(3)如圖 3, AOB 45° P 是 AOB 內(nèi)一點(diǎn)，PO 10,Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求 PQR周長(zhǎng)的最小值.解：(1) PB PE的最小值是DE .5(2) PA PC的最小值是2-.3(3) PQR周長(zhǎng)的最小值是1.2【典型例題分析】1如圖所示，正方形ABCD的面積為12, ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi), (在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)D A(-2 , 3)證明：i .當(dāng)點(diǎn)P是AB的延長(zhǎng)線與x軸交點(diǎn)時(shí)，PA-PB=AB ;ii 當(dāng)點(diǎn)P在x

4、軸上又異于AB的延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，在點(diǎn)P、A、B構(gòu)成的三角形中， PA-PB V AB. 綜合上述：PA-PB < AB.作直線AB交x軸于點(diǎn)P由可知：當(dāng)PA-PB最大時(shí)，點(diǎn)P是所求的點(diǎn)作AH丄0P于H/ B0 丄 0P / B0P= / AHP ,且/ BP0= / APHAHHP B0PAHP B00P32 0P由(1)可知：AH=3、0H=2、0B=2 即20P0P=4 , P(4, 0)3.如圖，在矩形0ABC中，已知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(4,0、C(0,2) , D為0A的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P是 AOC平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)0重合).(1 )試證明：無(wú)論點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到何處，PC

5、總造橋與PD相等;(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B的距離最小時(shí)，試確定過線的解析式;°、P、D三點(diǎn)的拋物P，使PD PE的和最小，則這個(gè)最小值為(3) 設(shè)點(diǎn)E是(2)中所確定拋物線的頂點(diǎn)， 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)， PDE的周長(zhǎng)最??？求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)和PDE的周長(zhǎng);(4)設(shè)點(diǎn)N是矩形°ABC的對(duì)稱中心，是否存在點(diǎn)P,使CPN 90接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1)v點(diǎn) D 是 OA的中點(diǎn)， OD 2 , OD OC .又 OP是 COD的角平分線， POC POD 45° POC POD , PC PD .(2)過點(diǎn)B作 AOC的平分線的垂線，垂足為 P，點(diǎn)P即為所求. 易知點(diǎn)

6、F的坐標(biāo)為(2, 2),故BF 2，作PM丄BF ,1 PBF是等腰直角三角形， PM -BF 1 ,?若存在，請(qǐng)直點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3, 3) .拋物線經(jīng)過原點(diǎn),設(shè)拋物線的解析式為y ax2 bx.2亠 9a 3b 3” f a 1有解得4a 2b 0b 2點(diǎn)的坐標(biāo)(0,2),設(shè)CE所在直線的解析式為kx b ,則有,解得 CE所在直線的解析式為 y3x 2 .點(diǎn)P滿足3x 2,解得x12 ,故點(diǎn)p的12又拋物線經(jīng)過點(diǎn) P(3,3)和點(diǎn)D(2,0),拋物線的解析式為 y x2 2x .(3) 由等腰直角三角形的對(duì)稱性知D點(diǎn)關(guān)于 AOC的平分線的對(duì)稱點(diǎn)即為 C點(diǎn).連接EC，它與 AOC的平分線的交

7、點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)(因?yàn)镻E PD EC，而兩點(diǎn)之間線段最短)，此時(shí) PED的周長(zhǎng)最小.拋物線y x2 2x的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)(1, 1), C坐標(biāo)為1,1 . PED的周長(zhǎng)即是CE DE,2 .2 2(4)存在點(diǎn)P,使 CPN 90° .其坐標(biāo)是 1,1或(2 ,2).2 24. 一次函數(shù)y kx b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn) A (2 , 0) , B (0 , 4)(1) 求該函數(shù)的解析式；(2) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) OA AB的中點(diǎn)分別為 C、D, P為OB上一動(dòng)點(diǎn)， 求PC+ PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).解：(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y= kx+ b并計(jì)算得k=- 2,

8、 b = 4.解析式為：y= 2x+ 4 ；(2)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為 C',連結(jié)PC'、DC :則PC = PC'.的坐標(biāo)為(0, 1).C,其中A 3,0(2)已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn) P,使得 PBC的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo). PC+ PD = PC'+ PD>CD，即 C'、P、D 共線時(shí)，PC+ PD 的最小值是 C'D.連結(jié) CD，在 Rt DCC 中, CD = CC2 CD2 = 2 2 ;易得點(diǎn) P(亦可作Rt AOB關(guān)于y軸對(duì)稱的厶)5. 已知：拋物線的對(duì)稱軸為與x軸交于 A, B兩點(diǎn)，與 y軸交于點(diǎn)C 02C 0

9、,. (1 )求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式.3(3)于占J 八、解：(1)此拋物線的解析式為(2)連結(jié)AC、BC 因?yàn)锽C的長(zhǎng)度 點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是疋，2 2x3所以 PBC周長(zhǎng)最小，就是使PC PB最小.BA點(diǎn)，AC與對(duì)稱軸x設(shè)直線AC的表達(dá)式為kx b3k b 0,2解得32此直線的表達(dá)式為1代入得y43 P點(diǎn)的坐標(biāo)為1,S存在最大值OC OA，即2(3)OD OE1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) P .理由： DE / PC,即 DE /m OE33 OE 3 m, AE 3, OE m2322若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)O點(diǎn)C重合).過點(diǎn)D作DE / PC交x軸E.連接PD、PE .設(shè)CD

10、的長(zhǎng)為m , PDE的面積為S .求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式.試說(shuō)明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.方法一：連結(jié) OP SS四邊形 pdoe oed poe podSoed1cc1c 3c1341 ,3 23m2 m-mm 122222321c 341=3 -m -2m 122323 04.當(dāng)m1時(shí),S最大方法一SSa oacSOEDs. AEPSA PCD1332 m =3 23m-m-m22423334246.如圖，拋物線2axbxc的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,433，交x軸于A B兩點(diǎn)，交y3 233“ 23 .3門3mmm 1-0 當(dāng)m 1時(shí)，S最大4244 .44

11、軸于點(diǎn)C(0，3)(1) 求拋物線的表達(dá)式.(2) 把厶ABC繞AB的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形 判斷四邊形ADBC勺形狀，并說(shuō)明理由.(3) 試問在線段 AC 上是否存在一點(diǎn) F,使得 FBD的周長(zhǎng)最小, 若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn) F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)由題意知ADBCa解得拋物線的解析式為(2)設(shè)點(diǎn)A(x1, 0),2x(x2, 0),則 3解得x11,x23|OB| I OA I = 1, I OB I = 3.又/ tan/ OCB = |OC 1/ OCB = 60°同理可求/OCA = 30°.ACB = 90°由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知

12、AC = BD , BC =AD四邊形 ADBC是平行四邊形又/ ACB = 90° 四邊形 ADBC是矩形(3)延長(zhǎng)BC至N,使CN CB .假設(shè)存在一點(diǎn)卩，使厶FBD的周長(zhǎng)最小.即FD FB DB最小./ DB 固定長(zhǎng).只要 FD+FB 最小.又 T CA 丄 BN / FD+FB = FD+FN .FC丄AC當(dāng)N、F、D在一條直線上時(shí)，F(xiàn)D+FB最小.又 C為BN的中點(diǎn)，2（即1F 為 AC 的中點(diǎn)).又T A (- 1 , 0), C ( 0,.3)點(diǎn)F的坐標(biāo)為F （2 ,2 )1存在這樣的點(diǎn)F（2 ,2），使得 FBD的周長(zhǎng)最小.7.如圖（1）,拋物線y3 2x18cx 3

13、和y軸的交點(diǎn)為 RM為OA的中點(diǎn)，右有一動(dòng)點(diǎn)55P，自M點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到 x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn) E），再沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線 對(duì)稱軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn) F ），最后又沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A，求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程最短的 點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng)。3解：如圖（1'），由題意可得 A（ 0，3），M （0,?），拋物線的對(duì)稱點(diǎn)3為x 3，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 M' （0,），點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x 3的對(duì)稱點(diǎn)為 A'（ 6，3）。連結(jié)M'A'。最短總路程的長(zhǎng)，A' M'在直線的方程為y3x 3 （過程略）。42根據(jù)軸對(duì)稱性及兩

14、點(diǎn)間線段最短可知，A' M'的長(zhǎng)就是所求點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)中設(shè)A' M'與x的交點(diǎn)為E,則E為在x軸上所求的點(diǎn)，A' M '與直線x 3的交點(diǎn)為所求的F點(diǎn)。3 可得E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）， F點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,）。415由勾股定理可求出 A' M '（過程略）2所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程（ME EF FA）最短時(shí)間為不管在什么背景下，有關(guān)線段之和最短問題，總是化歸到“兩點(diǎn)之間的 所有連線中，線段最短”，而轉(zhuǎn)化的方法大都是借助于“軸對(duì)稱點(diǎn)”8.恩施州自然風(fēng)光無(wú)限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（

15、B）位于筆直的滬渝高速公路 X同側(cè)，AB 50km, A、b到直線X 的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū) P，向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P）, P到A、B的距離之和Sl PA PB，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線X的對(duì)稱點(diǎn)是A，連接BA交直線X于點(diǎn)P），P到A、B的距離之和S2 PA PB（1 ）求Sl、S2，并比較它們的大小;（2）請(qǐng)你說(shuō)明S2 PA PB的值為最小;（3）擬建的恩施到張家界高速公路 丫與滬渝高速公路垂直,建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系,B到直線丫的距離為30km，請(qǐng)你在X

16、旁和丫旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最小.并求出這個(gè)最小值.解：圖10( 1)中過B作BC丄AP,垂足為C,則PC= 40,又AP = 丫0,二AC = 30在 Rt ABC 中，AB = 50 AC = 30/ BC = 40APB'- BP = , CP2 BC240.2 S1= 40 210圖10 （2）中，過 B作BC丄AA '垂足為 C，貝U A' C= 50,又 BC = 40由軸對(duì)稱知:A' BA' = . 40250210 一 41PA = PA' S2= BA' = 10、41 S1 >

17、 S2如 圖10 （2），在公路上任找一點(diǎn)M,連接MA,MB,MA'，由軸對(duì)稱知 MA = MA' MB+MA = MB+MA' > A'B S2= BA'為最?。?）過A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn) A',過B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B',連接A'B',交X軸于點(diǎn)P,交Y軸于點(diǎn)Q,則P,Q即為所求 過A'、 B'分別作X軸、Y軸的平行線交于點(diǎn) G,5050. 59.如圖，（1），在 ABC 中，AC BC 2， ACB90,P為BC邊上一定點(diǎn)，（不與點(diǎn)B，C重合），Q為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BP的長(zhǎng)為a（02），請(qǐng)寫出

18、CQ PQ最小值，并2 2 A'B' = 1005050. 5所求四邊形的周長(zhǎng)為P交AB于Q，都同樣可得CQPQ最小值。（1''' ），作點(diǎn)（1、）BP'解：如圖P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P',連結(jié)CP'交AB于點(diǎn)Q',易知PBQ'P'BQ',BP' BPa,P'BQ'PBQ' 45Rt CBP'說(shuō)明理由?！居^察與思考】 其實(shí)，本題和例 2中的（2）基本上是相同的，是“在直線AB上求一點(diǎn)Q，使它到AB同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn) C和P的距離之和最小”。因此，可由圖（1'）（連結(jié)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P'與C所成線段交AB于Q?；驁D（1、'