課題《導數(shù)的幾何義》

1、導數(shù)的幾何意義【教學目標】知識與技能目標：本節(jié)的中心任務是研究導數(shù)的幾何意義及其應用，概念的形成分為三個層次：(1) 通過復習舊知“求導數(shù)的兩個步驟”以及“平均變化率與割線斜率的關(guān)系”，解決了平均變化率的幾何意義后，明確探究導數(shù)的幾何意義可以依據(jù)導數(shù)概念的形成尋求解決問題的途徑。(2) 借助兩個類比的動畫，從圓中割線和切線的變化聯(lián)系，推廣到一般曲線中用割線逼近的方法直觀定義切線。(3) 依據(jù)割線與切線的變化聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合探究函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義，使學生認識到導數(shù)就是函數(shù)的圖象在處的切線的斜率。即：曲線在處切線的斜率在此基礎(chǔ)上，通過例題和練習使學生學會利用導數(shù)的幾何意義解釋實際生活問題，加深

2、對導數(shù)內(nèi)涵的理解。在學習過程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的數(shù)學思想方法。過程與方法目標：(1) 學生通過觀察感知、動手探究，培養(yǎng)學生的動手和感知發(fā)現(xiàn)的能力。 (2) 學生通過對圓的切線和割線聯(lián)系的認識，再類比探索一般曲線的情況，完善對切線的認知，感受逼近的思想，體會相切是種局部性質(zhì)的本質(zhì)，有助于數(shù)學思維能力的提高。(3) 結(jié)合分層的探究問題和分層練習，期望各種層次的學生都可以憑借自己的能力盡力走在教師的前面，獨立解決問題和發(fā)現(xiàn)新知、應用新知。情感、態(tài)度、價值觀：(1) 通過在探究過程中滲透逼近和以直代曲思想，使學生了解近似與精確間的辨證關(guān)系；通過有限來認識無限，體驗數(shù)學中轉(zhuǎn)化思想的意

3、義和價值；(2) 在教學中向他們提供充分的從事數(shù)學活動的機會，如：探究活動，讓學生自主探究新知，例題則采用練在講之前，講在關(guān)鍵處。在活動中激發(fā)學生的學習潛能，促進他們真正理解和掌握基本的數(shù)學知識技能、數(shù)學思想方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗，提高綜合能力，學會學習，進一步在意志力、自信心、理性精神等情感與態(tài)度方面得到良好的發(fā)展?！窘虒W重點與難點】重點：理解和掌握切線的新定義、導數(shù)的幾何意義及應用于解決實際問題，體會數(shù)形結(jié)合、以直代曲的思想方法。難點：發(fā)現(xiàn)、理解及應用導數(shù)的幾何意義?！窘虒W方法】新課程標準的理念是“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基

4、本的數(shù)學知識和技能，數(shù)學思想和方法”。考慮授課對象是高二年級文科生，數(shù)學的知識基礎(chǔ)和數(shù)學思維能力的層次差異較大，所以本節(jié)課設計為分層探究、自主實踐的活動課。分層教學體現(xiàn)在學生自選分層問題進行探索新知、嘗試知識應用以及課上的分層訓練，目的是使學生在原有的認知基礎(chǔ)上都得到盡可能多的提高，以改善優(yōu)生吃不飽，后進生不消化的問題，從實處構(gòu)建高效課堂。學生的課堂練習可以展現(xiàn)學生的思維，暴露學習中的不足。故在課堂爭取更多的時間供學生進行定時不定量的分層訓練，訓練系統(tǒng)分三部分，即A、B、C三部分。教師指導學生根據(jù)個人知識掌握的程度，自由選擇一組題目進行練習。每組題目都有基礎(chǔ)題型以檢測本節(jié)課的學習任務的完成情況

5、，期望不同的學生在原有的基礎(chǔ)上都能得到自身最大的發(fā)展。巧用信息技術(shù)，展示兩個類比的動畫，增強直觀性，期望不同層次的學生，在探索的過程中都有感知和發(fā)現(xiàn)，同時增加課堂容量。【學法指導】通過設計環(huán)環(huán)相扣的思考問題，引導學生主動地參與探究活動，體驗學習的樂趣，教師在這個過程中不打斷學生的思路，學生可以根據(jù)學案超前完成活動，期望有能力的學生走在老師的前面，同時，學生也可以根據(jù)需要尋求老師和同學的幫助，以更好地在課堂上完成學習任務。使學生充分經(jīng)歷“探索感知討論歸納發(fā)現(xiàn)新知應用新知解釋現(xiàn)象”這一完整的探究活動，以獲得理智和情感體驗，讓學生感受到數(shù)學知識的產(chǎn)生是水到渠成的。學生自主探索、動手實踐、合作交流的學

6、習方式，體現(xiàn)在整個教學過程中?！窘虒W手段】(1) 借助多媒體輔助教學，強化直觀感知。(2) 提供學案“學生活動”，突破理解難點。平均變化率瞬時變化率導 數(shù)割線的斜率切線的斜率割 線切 線逼 近導數(shù)的幾何意義函數(shù)的增減性應 用數(shù)形結(jié)合類 比【數(shù)學知識線索】數(shù)：形：【教學流程】復習舊知，自然引出研究問題題動畫類比、知識遷移，獲得切線新定義數(shù)形結(jié)合，學生探索獲得導數(shù)的幾何意義通過例題和練習，鞏固知識，加深對導數(shù)的認識【教學過程】（后附：學案“學生活動” ）教 學 過 程 設 計 意 圖一、創(chuàng)設情境、導入新課1.回顧舊知、引出研究的問題：前面我們學習了函數(shù)在處的導數(shù)就是函數(shù)在該點處的瞬時變化率。那么：

7、問：(1) 求導數(shù)的步驟有哪幾步?生：第一步：求平均變化率；第二步：求瞬時變化率.（即，平均變化率趨近于的確定常數(shù)就是該點導數(shù)） (2)觀察函數(shù)的圖象，平均變化率 在圖形中表示什么？生：平均變化率表示的是割線的斜率.師：這就是平均變化率()的幾何意義，那么瞬時變化率()在圖中又表示什么呢？今天我們就來探究導數(shù)的幾何意義。老師引導學生回憶聯(lián)系本節(jié)課的舊知識，下面探究導數(shù)的幾何意義也是依據(jù)導數(shù)概念的形成，尋求解決問題的途徑。教師板書，便于學生數(shù)形結(jié)合探究導數(shù)的幾何意義。突破平均變化率的幾何意義，后面在表示割線斜率時能直接聯(lián)系此知識。同時引出本節(jié)課的研究問題導數(shù)幾何意義是什么？（復習引入 用時約3分

8、鐘）二、引導探究、獲得新知1.動畫類比，得到切線的新定義要研究導數(shù)的幾何意義，結(jié)合導數(shù)的概念，即要探究，割線的變化趨勢，看下面的動畫。多媒體顯示【動畫1】：圓上點A處的切線AT和割線AB，演示點B從右邊沿著圓逼近點A ,然后再從左邊沿著圓逼近點A ，即，割線AB的變化趨勢。 教師引導學生觀察割線與切線是否有某種內(nèi)在聯(lián)系呢？生：先感知后發(fā)現(xiàn)，當，隨著點B沿著圓逼近點A，割線AB無限趨近于點A處的切線。 把割線逼近切線的結(jié)論從圓推廣到一般曲線，可得：多媒體顯示【動畫2】：動態(tài)演示教材上點沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨勢圖。師：類比【動畫1】，當點沿著曲線趨近于點時，即，研究割線的變化趨勢。學生觀

9、察【動畫2】，類比得出一般曲線的切線定義：當點沿著曲線逼近點時，即，割線趨近于確定的位置，這個確定位置上的直線PT稱為點P處的切線。突破研究的難點：，割線點P處的切線那么：，割線的斜率？與導數(shù)又有何關(guān)系呢？學生自選A或B組題目進行下面的探究活動。2.數(shù)形結(jié)合，探究導數(shù)的幾何意義結(jié)合【動畫2】的變化過程，學生思考下面的問題，探究導數(shù)的幾何意義。分層自選(A)、(B)中的一組?！咎骄恳?A)】1.已知曲線上兩點：(1)根據(jù)切線定義可知：，割線趨近于切線PT 。那么割線的斜率與切線PT的斜率又有何關(guān)系？生： (2)對比“時，平均變化率趨近的確定常數(shù)就是瞬時變化率”，又割線的斜率對應平均變化率，那么切

10、線的斜率對應什么？生：切線的斜率對應該點處的瞬時變化率，即該點處的導數(shù)。 2.結(jié)合上面的研究過程，你能指出導數(shù)的幾何意義嗎？ 生：函數(shù)在處的導數(shù)就是曲線在該點處的切線斜率，即：【探究一(B)】1.已知曲線上兩點，求：(1)結(jié)合兩點坐標，割線的斜率可表示為什么？生：(2)結(jié)合，割線切線PT，則切線PT的斜率可表示為什么？ 生： 2.你能發(fā)現(xiàn)導數(shù)的幾何意義嗎？生：函數(shù)在處的導數(shù)就是曲線在該點處的切線斜率，即：3.在上面的研究過程中，某點處的割線斜率與切線斜率與某點附近的平均變化率和瞬時變化率有何聯(lián)系？生： 平均變化率瞬時變化率 割線的斜率切線的斜率以求導數(shù)的兩個步驟為依據(jù)，從平均變化率的幾何意義入

11、手探索導數(shù)的幾何意義，抓住的聯(lián)系，在圖形上從割線入手來研究問題。帶著問題觀察動畫，借助熟悉的圓中的某點處的割線和切線，學生更易感知當，割線的變化趨勢。用逼近的方法體會割線逼近切線，消除學生對極限的神秘感。肯定學生的研究結(jié)果，并引導學生把這種由割線逼近的方法得到切線推廣到一般曲線，并由此得出割線的變化趨勢，為研究幾何意義做好鋪墊。類比兩個動畫，探索一般曲線中的切線定義，讓不同程度的學生都能借助直觀的圖象感知和發(fā)現(xiàn)，得出：，割線逼近該點處的切（直觀獲得切線的定義，至此用時約8分鐘）通過兩個思考問題：（1）先解決割線斜率與切線斜率的關(guān)系，（2）再對照平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系，自然得出切線的斜率對

12、應該點處的瞬時變化率即導數(shù)。（A）組題要求學生結(jié)合圖形直觀感知，找到聯(lián)系得出導數(shù)的幾何意義。增加了鋪墊問題為學生引導思路。便于學生較好地完成探索活動，主動獲得知識。優(yōu)生可以選擇(B)組題，感知聯(lián)系，運用數(shù)形結(jié)合的方法研究數(shù)值表示。從直觀感知到數(shù)式研究相對照，有利于大多數(shù)學生主動建構(gòu)知識，進而得出導數(shù)的幾何意義。要求學生善于歸納和總結(jié)并深入體會知識間的聯(lián)系。 三、探索小結(jié)、重點講評1.獲得導數(shù)的幾何意義學生快速探究活動后，展示研究成果，教師重點講評：割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點P時，無限趨近于切線PT的斜率，即 切線PT的斜率即為函數(shù)在處的導數(shù)。導數(shù)的幾何意義：師：由導數(shù)的幾何意義，我們

13、可以解決哪些問題？生：已知某點處的導數(shù)或者切線的斜率可以求另外一個量。問：切線中，如果，則切線有怎樣的變化趨勢？如果呢？反之，由切線的變化趨勢，能否確定斜率的情況？生：，則切線呈上升趨勢；，則切線呈下降趨勢。由切線的變化趨勢可以得出切線的斜率情況，也即該點處的導數(shù)情況。2.了解以直代曲思想把點P附近函數(shù)的圖象放大，引導學生理解以直代曲思想是指某點附近一個很小的研究區(qū)域內(nèi)，曲線與切線的變化趨勢基本一致，故可由曲線上某點處的切線近似代替這一點附近的曲線。師：在某點附近一個很小的研究區(qū)域內(nèi)，曲線與切線的變化趨勢有何關(guān)系？如果切線的斜率為正，則該點附近曲線的增減情況怎樣？生：點P附近，曲線和該點處的切

14、線的增減變化情況一致。如果切線的斜率為正，則該點附近曲線呈上升趨勢。借助實物投影儀，展示學習成果，學生經(jīng)歷了完整的探究過程后，教師的講評就可以有針對性和詳略，學生也可以結(jié)合自己探究的體會更好地建構(gòu)知識。突破導數(shù)的幾何意義這個學習重點。復習一次函數(shù)的增減性，為后面利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性埋下伏筆。通過將曲線一點處的局部“放大、放大、再放大”的直觀方法，形象而逼真地再現(xiàn)“以直代曲”思想。滲透用導數(shù)的幾何意義研究函數(shù)的增減性至此突破學習重點和難點，用時約15分鐘四、知識應用、鞏固理解1.導數(shù)幾何意義的應用例題：如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖象。 (1) (2)【探究二(A)】1用圖形

15、體現(xiàn)，的幾何意義。2導數(shù)值的正負，反應該點附近的曲線有何變化趨勢？3請描述、比較曲線在附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？分析：附近：瞬時，增減：變化率，即研究函數(shù)在該點處的瞬時變化率，也就是導數(shù)?？山柚芯€的變化趨勢得到導數(shù)的情況。生：作出曲線在這些點處的切線，在處切線平行于軸，即，說明在時刻附近變化率為0，函數(shù)幾乎沒有增減；在作出切線，切線呈下降趨勢，即，函數(shù)在點附近單調(diào)遞減。曲線在附近比在附近下降得更快，則是因為?！咎骄慷?B)】【探究二(B)】1.運用導數(shù)的幾何意義，描述在附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？2. 如何用導數(shù)研究函數(shù)的增減？小結(jié)：附近：瞬時，增減：變

16、化率，即研究函數(shù)在該點處的瞬時變化率，也就是導數(shù)。導數(shù)的正負即對應函數(shù)的增減。作出該點處的切線，可由切線的升降趨勢，得切線斜率的正負即導數(shù)的正負，就可以判斷函數(shù)的增減性，體會導數(shù)是研究函數(shù)增減、變化快慢的有效工具。同時，結(jié)合以直代曲的思想，在某點附近的切線的變化情況與曲線的變化情況一樣，也可以判斷函數(shù)的增減性。都反應了導數(shù)是研究函數(shù)增減、變化快慢的有效工具。例題變式1：函數(shù)上有一點，求該點處的導數(shù)，并由此解釋函數(shù)的增減情況。函數(shù)在定義域上任意點處的瞬時變化率都是3，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。(此時任意點處的切線就是直線本身，斜率就是變化率)例題變式2：下圖是函數(shù)的圖象，請回答下面的問題：【探究三

17、(A)】1.請指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用導數(shù)的幾何意義說明。生：單調(diào)區(qū)間有：作出區(qū)間內(nèi)一系列的曲線的切線，發(fā)現(xiàn)切線呈現(xiàn)一致的上升或下降的趨勢，即切線的斜率一致為正或負，所以導數(shù)值在單調(diào)區(qū)間內(nèi)恒正或恒負，對應函數(shù)單調(diào)遞增或遞減。【探究三(B)】1.請指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用導數(shù)的幾何意義說明。答案同上2.根據(jù)上題的結(jié)論，研究某點處的導數(shù)值、切線的斜率和函數(shù)的單調(diào)性之間有何關(guān)系？ 生：從數(shù)的角度：導數(shù)正負對應函數(shù)的增減， 從形的角度反映為切線斜率的正負對應函數(shù)的增減。 函數(shù)的增減導數(shù)的正負 切線的斜率的正負 小結(jié)：導數(shù)反映了函數(shù)的變化率，從圖形上來看，表現(xiàn)為切線的斜率，如果導數(shù)為正，則切線的斜率為正

18、，切線呈上升趨勢，曲線在該點附近也是上升趨勢，函數(shù)單調(diào)增；如果導數(shù)為負，則切線的斜率為負，切線呈現(xiàn)為下降趨勢，曲線在該點附近也是下降趨勢，函數(shù)單調(diào)減。見學案“學生活動”優(yōu)生可在完成【探索一】后提前進行知識的應用。要求學生動腦(審題),動手(畫切線)，動口(討論)，體會利用導數(shù)的幾何意義及運用導數(shù)來研究函數(shù)在某點附近的單調(diào)性，滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，運用以直代曲的思想方法。問題1由具體的導數(shù)入手，熟悉導數(shù)的幾何意義，幫助學生感知導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系。 問題2引導學生感知導數(shù)反映變化率的本質(zhì)。問題3運用導數(shù)的幾何意義，借由切線的變化趨勢，得出切線的斜率即該點處的導數(shù)的情況，進而判斷函數(shù)的

19、單調(diào)性。給出曲線上各點的切線的變化圖，體會導數(shù)就是反映函數(shù)變化率的，借助曲線可以得出切線斜率的情況即該點處導數(shù)的情況。體會導數(shù)在研究函數(shù)增減和變化快慢的應用。 引導優(yōu)生進一步體會導數(shù)用來刻畫變化情況的應用和拓展研究導數(shù)與函數(shù)增減的關(guān)系。變式題復習了導數(shù)的求法，加深學生對導數(shù)研究函數(shù)增減情況應用的認識，也是例題結(jié)論的進一步驗證。結(jié)合導數(shù)的幾何意義說明單調(diào)性，學生進一步感知導數(shù)在研究函數(shù)變化情況中的應用。進一步體會用導數(shù)的幾何意義解決問題，通過老師的小結(jié)，加深對導數(shù)本質(zhì)的理解。（至此時間約30分鐘）五、分層練習、提升能力（定時不定量的練習，期望學生熟能生巧）訓練系統(tǒng)分三部分，即A、B、C三部分。教

20、師指導學生根據(jù)個人知識掌握的程度，自由選擇一組題目進行練習。每組題目都有基礎(chǔ)題型以檢測本節(jié)課的學習任務的完成情況。第一部分(A)都是典型基礎(chǔ)題，它包含選擇題、解答題，題目編排由淺入深，增加了鋪墊的設問，為基礎(chǔ)較薄弱的學生引導思路。這部分題目的完成與否，標志著這節(jié)課新知識是否基本掌握。第二部分(B)是基礎(chǔ)題與綜合題相結(jié)合，學生在掌握新知識應用及規(guī)范表達的基礎(chǔ)上初步接觸變式訓練和綜合訓練。這組題的完成標志著學生已達到良好的學習水平。第三部分(C)包含有綜合、發(fā)展題，除了能綜合運用知識外，還強調(diào)解題的靈活性和數(shù)學思維的敏捷性。這組題的完成標志著學生已達到優(yōu)秀或冒尖程度。課上選擇不同學生的分層練習，用

21、實物投影儀展示答案。針對典型題，講思路，講方法，學生可以課后再補充過程。拓展思維的不講，學生自主鉆研。次日，把學生的練習卷收集上來及時進行統(tǒng)計分析、錄入學生檔案。教師分析學生的完成情況，易錯點和難點，為今后的教學積累第一手的素材，及時調(diào)控教學，做到有的放矢。這些材料還可以在階段性的評價中作為學生自評的依據(jù)之一。每一周左右，學生可以自選最佳習作存入學生成長記錄中，作為自評的依據(jù)。練習題見附注1長期的學生自選和老師指導相結(jié)合，學生可以選擇適合自己發(fā)展的題組進行訓練，以得到更好地發(fā)展。分層是不固定的，學生跟據(jù)自己的學習情況選擇相應的練習。C組題對應檢測本節(jié)課的學習重點：了解和掌握導數(shù)的幾何意義，可以運用導數(shù)的幾何意義簡單判斷函數(shù)的增減性。優(yōu)生可以選擇題目進行訓練，提倡跳躍式選題訓練和抓住關(guān)鍵部分進行局部訓練，使優(yōu)生可以避免重復、無效的練習。 (至此時間約43分鐘)六、歸納總結(jié)、深化認識這節(jié)