構造法求數(shù)列通項公式

1、精品文檔1歡迎下載構造法求數(shù)列通項公式求數(shù)列通項公式是高考考察的重點和熱點，本文將通過構造等比數(shù)列或等差數(shù)列求數(shù)列通項公式作以簡單介紹，供同學們學習時參考。一、構造等差數(shù)列求數(shù)列通項公式運用乘、除、去分母、添項、去項、取對數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推公式變形成為f(n 1) f(n)=A (其中 A 為常數(shù))形式，根據(jù)等差數(shù)列的定義知f(n)是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，先求出f (n)的通項公式，再根據(jù)f (n)與an，從而求岀an的通項公式。13a例 1在數(shù)列an中，a ，an1 =- (n N)，求數(shù)列an通項公式2an33an解析：由 an+1=亍得 ，an+1an= 3 an+1

2、-3 an=0， 兩邊同除以 an+1an得,1an 11an設 bn=，則 bn+1- bn=3，根據(jù)等差數(shù)列的定義知,數(shù)列 bn2是首相 b1=2，公差 d=7j的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得bn=2 +吉(n-1 )詔 n+ |數(shù)列通項公式為 an=e評析:本例通過變形，將遞推公式變形成為A形式, 應用等差數(shù)列的通an 1an項公式，先求岀 的通項公式，從而求岀an的通項公式。an例 2在數(shù)列 an 中，S 是其前 n 項和，且 5 工 0，a1=1，2S2an= (n 2)，求 Sn與 an。2Sn 1解析：當 n 2 時,2S2an= S-Sn-1代入 an=23得， Sn-S

3、n-1=n 12 S2才，變形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1n 1兩邊除以 SnSn-1得，右-S1=2，.右是首相為 1，公差為 2 的等差數(shù)列Sn41Sn占=1+2 ( n-1 ) =2n-1,Sn- Sn=n(n 2),n=1 也適合， S=wjh (n 1)當 n2 時，an=S-S“1=2, 11=-22n 34n28n 3n=1 不滿足此式,精品文檔2歡迎下載124n28n 3精品文檔3歡迎下載評析：本例將所給條件變形成f(n 1) f(n) A，先求岀f(n)的通項公式，再求岀原數(shù)列的通項公式，條件變形是難點。二、構造等比數(shù)列求數(shù)列通項公式運用乘、除、去分母、添項、去項、取

4、對數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推公式變形成為 f (n+1) =Af (n)(其中 A 為非零常數(shù))形式，根據(jù)等比數(shù)列的定義知f(n)是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，先求出f(n)的通項公式，再根據(jù)f(n)與an，從而求岀an的通項公式。例 3在數(shù)列an中,a1=2, an=an-12(n 2)，求數(shù)列 an通項公式。解析：Ja1=2， an=an-i2(n 2) 0,兩邊同時取對數(shù)得，lg an=2lg an-i列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得lg an=2n-1lg2=|g22n 1數(shù)列通項公式為 an=22評析：本例通過兩邊取對數(shù)，變形成logan2 log an 1形式，構造等比數(shù)列l(wèi)og

5、 an，先求岀log an的通項公式，從而求岀an的通項公式例 4在數(shù)列 an中，a1=1， an+1=4an+3n+1，求數(shù)列 an通項公式。- an+1+ (n+1) +3=4 (an+n+ )，根據(jù)等比數(shù)列的定義知,數(shù)列通項公式為an=X3 -n- -|評析：待定系數(shù)法是構造數(shù)列的常用方法。例 5在數(shù)列 an中，a1=1 ，an+1an=4n，求數(shù)列 an通項公式。解析：Jan+1an=4n anan-1=4n-1兩式相除得 乩 =4，an 1 a1，aa，a5.與 a2，a4，a6 .是首相分別為 a，a2，公比都是 4 的等比數(shù)列,又Ja1=1,an+1an=4, a2=4n 14丁

6、nlg an=2lgan 1，根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列l(wèi)g an是首相為 lg2，公比為 2 的等比數(shù)解析：設 an+1+A ( n+1)+B=4 (an+An+B), (AB 為待定系數(shù))，展開得 an+1=4an+3An+3B-A，與已知比較系數(shù)得3A 33B A 1A數(shù)列 an+n+舟是首項為8，公比為 q=3 的等比數(shù)列,2Qan+n+p =X3n-1n 1精品文檔4歡迎下載an=n42n精品文檔5歡迎下載練習：1. .已知數(shù)列an滿足a ,an 1nan，求an3n 1解：由條件知an 1ann，分別令nn 11,2,3,(n1），代入上式得（n1）個等式累乘之，即即竺？竺？豈？a

7、n12 3n1an1a1a2a3an 123 4na1np22又a1- -, ,an33n解：由條件知an 1n，分別令n1,2,3,(n1），代入上式得（n1）個等式累乘ann 1之，即即魚？聖？色？c an12 3n1an1a1a2a3an 123 4na1n口22又a1,an33n2.數(shù)列a an滿足a彳1彳1= =1，an= =an 1+12(n(n 2 2),求數(shù)列an的通項公式。1解：由an= =an 1+1+1(n2 2)得an 2=2=1(an 12 2), 而a 2=12=1 2=2= 1 1,221數(shù)列an 2 2是以丄為公比，一 1 1 為首項的等比數(shù)列2精品文檔6歡迎下

8、載二an 2=2=_(= =1(3)n1“ 31、n 1)173 “11)1= =1 (-(113434434.設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n n 項和為Sn，對于任意正整數(shù)n n,都有等式an22an4Sn成立，求an的通項an.an.解:a：2an4Snan22a1n 14Sn 1， a；a(12an2an 14( SnSn1) 4an(anan 1)(anan 12)0 , anan 10,anan12. .即卩an是以 2 2 為公差的等差數(shù)列，且a22a14a1a12二an= =23.數(shù)列a中,a11,a22,3an 22an 1an，求數(shù)列an的通項公式。解：由3an 22an 1

9、an得ann,設an 2kan 1h(an 1kan)比較系數(shù)得kkh解得1,h若取k1,h，則有anan 1(anan)-an 11為公比,31、n 1an（3）an是以以a1為首項的等比數(shù)列由逐差法可得an（anan1）(an 1an(a2a1)a1= =(1)n2= =(3)1n 33)1)1(3)1 1精品文檔7歡迎下載二an2 2(n 1) 2n(1 1)通過分解常數(shù)，可轉化為特殊數(shù)列an+k的形式求解。一般地，形如an1=pan+q(p豐1，pqz0 0)型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設an 1+k=p(an+k)與原式比較系數(shù)可得pkk= =q,即k=J，從而得等比

10、數(shù)列an+k。p 1(2 2)通過分解系數(shù)，可轉化為特殊數(shù)列anan 1的形式求解。這種方法適用于an 2pan 1qan型的遞推式，通過對系數(shù)p p 的分解，可得等比數(shù)列anan 1:設an 2kan 1h(an 1kan)，比較系數(shù)得hk p, hkq，可解得h, k。3、構造法構造法就是在解決某些數(shù)學問題的過程中，通過對條件與結論的充分剖析，聯(lián)想出一種適當?shù)妮o助模型，進行命題轉換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點就是“構造” 若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項公式(1 1)構造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然，對于一些遞推數(shù)列問題， 若能構造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構造方法(2 2 )構造差式與和式解題的基本思路就是構造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通