北京四中高中數(shù)學(xué) 對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)講解 新人教A版必修1

1、對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解對(duì)數(shù)的概念，能夠進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化；2.了解常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)的意義；3能夠熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；4了解換底公式及其推論，能夠運(yùn)用換底公式及其推論進(jìn)行對(duì)數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)與證明5能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)、體會(huì)換底公式在解題中的作用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、對(duì)數(shù)概念1.對(duì)數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作:logaN=b.其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).要點(diǎn)詮釋：對(duì)數(shù)式logaN=b中各字母的取值范圍是：a>0且a¹1， N>0， bÎR.2.對(duì)數(shù)具有下列性質(zhì)：(1)0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即；(2)

2、1的對(duì)數(shù)為0，即；(3)底的對(duì)數(shù)等于1，即.3兩種特殊的對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，.以e（e是一個(gè)無理數(shù)，）為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)， .4對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知:對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化.它們的關(guān)系可由下圖表示.由此可見a，b，N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化.要點(diǎn)二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則已知(1) 正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和；推廣：(2) 兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被乘數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；(3) 正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)；要點(diǎn)詮釋：（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等

3、式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因?yàn)殡m然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)與log2(-5)是不存在的.（2）不能將和、差、積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯(cuò)誤的：loga(M±N)=logaM±logaN，loga(M·N)=logaM·logaN，loga.要點(diǎn)三、對(duì)數(shù)公式1對(duì)數(shù)恒等式：2換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a>0， a1， M>0的前提下有:(1) 令 logaM=b，

4、則有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.(2) ，令logaM=b， 則有ab=M， 則有 即， 即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性.而且由(2)還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論:.【典型例題】類型一、對(duì)數(shù)的概念例1.求下列各式中的取值范圍：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）且【解析】（1）由題意，即為所求（2）由題意即（3）由題意解得且【總結(jié)升華】在解決與對(duì)數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，一定要注意：對(duì)數(shù)真數(shù)大于零，對(duì)數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1舉一反三：【變式1】函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】類型二、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用例2.將下列指

5、數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行互化.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問題的重要手段.舉一反三：【變式1】求下列各式中x的值：(1) (2) (3)lg1000=x (4)【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4【解析】將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求出x.(1)；(2)；(3)10x=1000=103，于是x=3；(4)由.高清課程：對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算 例1【變式2】計(jì)算：并比較【解析】 類型三、利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值

6、例3求值： 【答案】35 【解析】.【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)恒等式中要注意格式：它們是同底的；指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；其值為真數(shù).舉一反三：【變式1】求的值(a，b，cR+，且不等于1，N>0)【答案】【解析】將冪指數(shù)中的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為冪的冪，再進(jìn)行運(yùn)算.類型四、積、商、冪的對(duì)數(shù)高清課程：對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算例3例4. 表示下列各式 【解析】（1）；（2）；（3）；（4）=【總結(jié)升華】利用對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式的重要途徑，因此我們必須準(zhǔn)確地把握它們?cè)谶\(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，一要注意真數(shù)必須大于零；二要注意積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)著對(duì)數(shù)的和、差、積得運(yùn)算舉一反三：【變式1】求值(

7、1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 【答案】（1）22；（2）1；（3）2【解析】(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.類型五、換底公式的運(yùn)用例5.已知，求【答案】【解析】解法一：，于是解法二：，于是解法三：，解法四：，又令，則，即【總結(jié)升華】（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對(duì)數(shù)化成同底的對(duì)數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)（2）題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形式（3）解決這類問題要注意隱含條件“”的靈活運(yùn)用舉一反三：【變式1】求值：(1)；(2)；(3).【答案】（1）；（2）；（3）【解析】(1) ；(2)；(3)法一：法二：.類型六、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例6.求值(1) (2) (3)(4)【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13【解析】(1)原式=(2) 原式=(3)原式=(4)原式